劉金剛 鄭劍云 張聰悅 傅兵 王高升 肖紹熙

摘要：由于齒槽結(jié)構(gòu)的影響，無刷直流電機(jī)（brushless direct current motor，BLDCM）中存在齒槽轉(zhuǎn)矩，會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)增加，從而影響無刷直流電機(jī)的性能.為此，以電子液壓制動(dòng)系統(tǒng)（Electro-hydraulic brake system，EHB）用BLDCM為研究對(duì)象，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析及改進(jìn)，來抑制BLDCM的齒槽轉(zhuǎn)矩.首先，通過對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)和分析，發(fā)現(xiàn)其數(shù)值由基本結(jié)構(gòu)參數(shù)以及傅里葉分解系數(shù)B（rnz/2p）和Gn所決定;其次，分別推導(dǎo)了偏心距、極弧系數(shù)和輔助槽與傅里葉分解系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而得到三者與齒槽轉(zhuǎn)矩的變化關(guān)系;最后，通過有限元方法研究了偏心距改變、極弧系數(shù)變更和輔助槽添加三種情況下齒槽轉(zhuǎn)矩的變化情況.結(jié)果表明：當(dāng)偏心距、極弧系數(shù)和輔助槽形狀分別為7.90mm、0.74、橢圓形時(shí)，對(duì)應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值分別降低96.65%、90.48%、86.74%，齒槽轉(zhuǎn)矩都得到明顯抑制.

關(guān)鍵詞：無刷直流電機(jī);結(jié)構(gòu)參數(shù);轉(zhuǎn)矩抑制;有限元分析

中圖分類號(hào)：TM351

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2021-07-06

基金項(xiàng)目：湖南省杰出青年基金資助項(xiàng)目（2019JJ20015）;國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（52075465）;湖南省戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)科技攻關(guān)與重大科技成果轉(zhuǎn)化項(xiàng)目（2019GK4025）;湖南省科技創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（2020RC4038）;湖南省自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目（2020JJ5540）

作者簡(jiǎn)介：劉金剛（1979—），男，山東聊城人，湘潭大學(xué)教授，博士

?通信聯(lián)系人，E-mail：2682833218@qq.com

無刷直流電機(jī)（BLDCM）具有體積小、質(zhì)量輕、功率密度高、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，非常適合用作電子液壓制動(dòng)系統(tǒng)（EHB）的助力電機(jī)[1-3].然而，由于轉(zhuǎn)子永磁體與定子鐵心的齒槽相互作用，包括BLDCM在內(nèi)的齒槽結(jié)構(gòu)永磁電機(jī)都會(huì)產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩[4].齒槽轉(zhuǎn)矩的存在將導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)增加，帶來振動(dòng)與噪聲，影響無刷直流電機(jī)的性能.

如何降低永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩，至今都是國內(nèi)外學(xué)者研究熱點(diǎn)之一，眾多學(xué)者在電機(jī)本體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改進(jìn)方面做了大量工作[5]，在定子側(cè)的結(jié)構(gòu)參數(shù)改進(jìn)上，WangD等人[6]在保證槽口寬度相同前提下，采用非均勻齒冠寬度的方法，并通過解析分析確定了齒冠寬度比，大大降低齒槽轉(zhuǎn)矩;黃守道等人[7]根據(jù)齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式，分析了單個(gè)槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩增加規(guī)律的影響，提出通過槽口偏移來減弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法;WangK等人[8]利用定子齒的偏心結(jié)構(gòu)來減小齒槽轉(zhuǎn)矩，并在一臺(tái)外轉(zhuǎn)子PMSM上驗(yàn)證了所提方法的有效性.在轉(zhuǎn)子側(cè)的結(jié)構(gòu)參數(shù)改進(jìn)上，安治國等人[9]研究了轉(zhuǎn)子輔助槽添加位置、開槽深度和寬度等參數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和漏磁的作用情況，獲得最佳開槽結(jié)構(gòu)參數(shù);ZhaoJ等人[10]對(duì)永磁體邊緣的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了研究，通過改變參數(shù)減少了轉(zhuǎn)子端部效應(yīng)的影響，抑制了齒槽轉(zhuǎn)矩;李松生等人[11]進(jìn)行了轉(zhuǎn)子永磁體對(duì)齊安裝和錯(cuò)位安裝的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)分段斜極安裝可以大幅降低齒槽轉(zhuǎn)矩.上述提出的結(jié)構(gòu)改進(jìn)方法能降低電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩，但鮮有同時(shí)兼顧永磁體形狀參數(shù)和電樞參數(shù)改進(jìn)的方法，也很少綜合考慮齒槽轉(zhuǎn)矩和電機(jī)其他基本性能.

本文通過對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)和分析，發(fā)現(xiàn)其數(shù)值由基本結(jié)構(gòu)參數(shù)以及傅里葉分解系數(shù)B（rnz/2p）和Gn所決定，以此為依據(jù)，推導(dǎo)了傅里葉分解系數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系式.再利用有限元方法分別研究了BLDCM偏心距改變、極弧系數(shù)變更和添加輔助槽三種情況下齒槽轉(zhuǎn)矩、氣隙磁密和反電動(dòng)勢(shì)的變化情況.結(jié)果表明，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行合理地改進(jìn)，可以在保持電機(jī)性能基本不變的情況下抑制齒槽轉(zhuǎn)矩.

1結(jié)構(gòu)參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系分析

1.1齒槽轉(zhuǎn)矩分析

由于齒槽結(jié)構(gòu)的影響，當(dāng)轉(zhuǎn)子永磁體處于不同位置時(shí)，磁路中的磁阻會(huì)發(fā)生變化，從而引起磁場(chǎng)能量變化，導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生.因此，將齒槽轉(zhuǎn)矩定義為磁場(chǎng)能量W相對(duì)于位置角a的函數(shù)[12]，即：

為便于分析，做以下假設(shè)：定子鐵心磁導(dǎo)率為無窮大;不同永磁體之間結(jié)構(gòu)及磁性能處于理想狀態(tài)，無加工制造誤差，磁導(dǎo)率與空氣相同;硅鋼片的疊裝系數(shù)為1.因此，永磁電機(jī)磁場(chǎng)中存儲(chǔ)的磁能可近似[13]為氣隙與永磁體磁能之和，可表示為：

式中，B為氣隙磁通密度;μ0為磁導(dǎo)率;V為氣隙體積.其中氣隙磁密沿電樞表面分布可表示為：

式中，B（rθ）為永磁體剩磁沿圓周方向的分布;hm（θ）、δ（θ，α）分別為沿圓周、磁化方向的氣隙長(zhǎng)度.

將式（2）和式（3）代入式（1），進(jìn)行傅里葉分解展開并求導(dǎo)，可得齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式如下：

式中，R1、R2分別為轉(zhuǎn)子外徑和定子內(nèi)徑;Z為槽數(shù);L為鐵心長(zhǎng)度;Gn和B（rnz/2p）為傅里葉分解所對(duì)應(yīng)n次和nz/2p次諧波系數(shù);p0為極對(duì)數(shù).

由式（4）可知，齒槽轉(zhuǎn)矩由基本結(jié)構(gòu)參數(shù)、分解系數(shù)B（rnz/2p）和Gn決定.電機(jī)設(shè)計(jì)完成后，R1、R2、Z、L等基本結(jié)構(gòu)參數(shù)已經(jīng)確定，因此抑制齒槽轉(zhuǎn)矩可從分解系數(shù)B（rnz/2p）和Gn上著手.B（rnz/2p）的數(shù)值主要由永磁體偏心距、極弧系數(shù)等決定，而Gn的幅值主要與槽口寬度和輔助槽添加等有關(guān).

1.2偏心距與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系分析

BLDCM轉(zhuǎn)子采用面包形表貼式結(jié)構(gòu)，永磁體形狀如圖1所示，為方便分析將面包形永磁體分為a、b兩部分，b部分的圓心與轉(zhuǎn)子圓心重合.

永磁磁體a、b兩部分充磁厚度之和為h′以表示為：

式中，Ra、Rb分別表示a、b部分的半徑;Δh表示偏心距，是永磁體外部弧面圓心Oa與轉(zhuǎn)子中心Ob的距離;lδ表示永磁體底部平面與轉(zhuǎn)子中心Ob的距離.

面包形永磁體偏心時(shí)，氣隙長(zhǎng)度隨之產(chǎn)生變化，但實(shí)際氣隙長(zhǎng)度與永磁體的充磁方向厚度之和保持不變，因此徑向氣隙磁密B′（θ，α）可以表示為：

進(jìn)一步可以得到B’（0），其表達(dá)式為：

式中，hmax表示永磁體最大充磁厚度.將hm′（θ）的表達(dá)式（5）代入式（7），得到B2（0）的表達(dá)式：

永磁體偏心設(shè)計(jì)的目的是使得氣隙不均勻，從而獲取預(yù)想的氣隙磁通密度分布，其程度可通過偏心距Δh的數(shù)值大小來體現(xiàn).以Δh為變量時(shí)，不考慮極弧系數(shù)km的影響，將km設(shè)置為初始值0.86，則Br′2（θ）可轉(zhuǎn)化為關(guān)于偏心距Δh和位置θ的函數(shù)，即：

經(jīng)過推導(dǎo)，得到B2（0）在分解區(qū)間[-πk2p，πk/2p]上的傅里葉各次分解系數(shù)Bm：

由式（10）和式（4）可知，隨著Δh的增大，Br′2（θ）的傅里葉分解系數(shù)Bm降低，進(jìn)而減小齒槽轉(zhuǎn)矩.

1.3極弧系數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系分析

永磁體極弧的寬度bm和極距τ之比被稱之為極弧系數(shù)km，其表達(dá)式為：

以極弧系數(shù)km為改進(jìn)變量，研究其對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩Tc的影響時(shí)，不考慮偏心情況，設(shè)置Δh取值為零，則Br′2（θ）可以表示為關(guān)于位置角θ和極弧系數(shù)km的函數(shù)，其表達(dá)式為：

B，2（0）在區(qū)間[-Tkn/2p，πkn/2p]上的傅里葉各次分解系數(shù)B的函數(shù)，可以轉(zhuǎn)換為與極弧系數(shù)飛相關(guān)的函數(shù)，其表達(dá)式如下：

由式（13）和式（4）可知，調(diào)整極弧系數(shù)km可以使得分解系數(shù)Bm取較小值，從而可以對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行抑制.

1.4輔助槽與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系分析

電樞是電機(jī)實(shí)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化中起到關(guān)鍵樞紐作用的部分，在BLDCM中電樞指的是定子部分，其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于槽形參數(shù)選取.槽形參數(shù)的設(shè)計(jì)會(huì)影響

在定子內(nèi)表面的分布，改變其傅里葉展開系數(shù)Gn的取值，進(jìn)而改變齒槽轉(zhuǎn)矩Tc的大小.

在分析電樞參數(shù)對(duì)Tc影響情況時(shí)，可忽略轉(zhuǎn)子

其中，槽口寬度β（以弧度制表示）是重要的槽形參數(shù)之一，其數(shù)值會(huì)直接改變

的分解區(qū)間，槽口寬度與積分區(qū)間的關(guān)系如圖2所示.

考慮槽口寬度影響時(shí)，

式中：β為用弧度表示的槽口寬度，

b0表示定子槽口寬度.

由式（14）可知，適當(dāng)?shù)剡x取槽口寬度，可以改變

Gn，從而抑制齒槽轉(zhuǎn)矩.然而，槽口過小時(shí)可能會(huì)引起漏磁，過大時(shí)容易造成定子齒部飽和，因此槽口取值范圍要合理選取.

槽口寬度β的改變常與輔助槽添加配合使用，添加輔助槽等于增加BLDCM開槽數(shù)目，更改極槽配比，使得新添加的槽與原先的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行抵消，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行削弱.矩形的定子輔助槽均勻添加在齒頂上，寬度為β，與原槽口的寬度一致，具有一定開槽深度，輔助槽添加示意圖如圖3所示.

傅里葉展開區(qū)間會(huì)發(fā)生改變，當(dāng)每齒添加1個(gè)輔助槽的情況下，∫得∫到的Gn如下所示：

由式（15）和式（4）可知，適當(dāng)?shù)剡x取輔助槽，可以改變傅里葉分解系數(shù)Gn，從而抑制齒槽轉(zhuǎn)矩.

2無刷直流電機(jī)有限元建模

理論分析了偏心距、極弧系數(shù)和輔助槽與齒槽轉(zhuǎn)矩傅里葉分解系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)改變?nèi)叩臄?shù)值大小可以減小齒槽轉(zhuǎn)矩.但是，這是基于假設(shè)推導(dǎo)得到的，而實(shí)際情況十分復(fù)雜，需要仿真來進(jìn)一步分析.有限元方法可以全面考慮電機(jī)漏磁、磁飽和等復(fù)雜情況，相較于理論分析更為精確.因此，為準(zhǔn)確分析齒槽轉(zhuǎn)矩敏感結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電機(jī)其他性能的影響，本文基于電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示，搭建了無刷直流電機(jī)三維模型，如圖4所示.并使用Ansoft Maxwell軟件建立了8極12槽BLDCM的有限元分析模型，對(duì)其進(jìn)行材料定義、邊界設(shè)置、激勵(lì)添加和網(wǎng)格剖分，建立的有限元模型如圖5所示.

在有限元求解設(shè)置中，將電機(jī)設(shè)置為恒轉(zhuǎn)速工況，繞組電流設(shè)置為零，以永磁體磁場(chǎng)為激勵(lì)，對(duì)該電機(jī)進(jìn)行有限元仿真計(jì)算.

3仿真結(jié)果分析

3.1偏心距改變對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響為獲取能有效抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的偏心距數(shù)值，在其取值范圍0.00～9.00mm內(nèi)，以1.00mm為步長(zhǎng)進(jìn)行仿真分析.得到齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax隨偏心距Δh的變化情況，如圖6所示.

由圖6可知，隨偏心距Δh的增加齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，這與理論分析中的Bm變化趨勢(shì)相一致.同時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)偏心距Δh取值為8.00mm時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值取到最小值3.51mN·m;當(dāng)Δh取值為9.00mm時(shí)次之，峰值為5.74mN·m.

為更準(zhǔn)確地分析偏心距改變對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，對(duì)上述取值進(jìn)行再次細(xì)分后仿真.在有限元分析中，偏心距取值以8.00mm為中心，在7.00～9.00mm范圍內(nèi)，以0.10mm為步長(zhǎng)進(jìn)行仿真，Tcmax隨Δh變化情況，如圖7所示.由圖7可知，Δh=7.9mm時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)最小值，峰值為3.48mN·m.

偏心距Δh改變前后齒槽轉(zhuǎn)矩Tc的曲線波形對(duì)比、氣隙磁密對(duì)比和反電動(dòng)勢(shì)曲線的波形對(duì)比分別如圖8～10所示.由圖8可知，改變前永磁體不偏心，即Δh=0mm，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax為103.91mN·m;改變后，Δh為7.90mm，Tcmax減少為3.48mN·m，相比改變前降低了96.65%.由圖9可知，改變前，氣隙磁密Bδ的峰值為0.88T;改變后，由于永磁體最大厚度沒有改變，所以氣隙磁密Bδ的峰值基本不變，但是由于Δh的增加，導(dǎo)致曲線波形變尖.由圖10可知，改變前，反電動(dòng)勢(shì)E的峰值為5.27V;改變后，波形平頂寬度變窄，反電動(dòng)勢(shì)E的峰值減小為4.71V，相較于改變前降低了10.66%.

3.2極弧系數(shù)變更對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響在極弧系數(shù)取值范圍0～1內(nèi)，以0.1為步長(zhǎng)進(jìn)行仿真，得到齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax隨極弧系數(shù)km變化情況，如圖11所示.

由圖11可知，Tcmax隨km變化而波動(dòng)，km取值為0.40時(shí)，Tcmax出現(xiàn)最小值為10.84mN·m;km取值為0.70時(shí)次之，峰值為46.40mN·m.為更準(zhǔn)確地分析極弧系數(shù)變更對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，對(duì)上述取值再次細(xì)分后仿真.在有限元仿真分析中，極弧系數(shù)取值以0.70為中心，在0.60～0.80范圍內(nèi)，以0.01為步長(zhǎng)進(jìn)行仿真，得到齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax隨極弧系數(shù)km的變化情況，如圖12所示.從圖12可以看出，當(dāng)時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)最小值，峰值為9.89mN·m.李輝等人[14]觀察到齒槽轉(zhuǎn)矩峰值與極弧系數(shù)之間有相似的趨勢(shì).

極弧系數(shù)km變更前后齒槽轉(zhuǎn)矩Tc的曲線波形對(duì)比、氣隙磁密波形對(duì)比和反電動(dòng)勢(shì)曲線分別如圖13～15所示.由圖13可知，極弧系數(shù)變更前，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值T為103.91mN·m;變更后，Tcmax減小到9.89mN·m，相比于變更前降低了90.47%，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值得到了明顯抑制.由圖14可知，變更前，氣隙磁密Bδ的峰值為0.88T;變更后，由于永磁體最大厚度不變，所以氣隙磁密的峰值基本不變，但極弧系數(shù)的減小會(huì)導(dǎo)致曲線頂部的寬度略微變窄.由圖15可知，變更前，反電動(dòng)勢(shì)E的峰值為5.27V;變更后，反電動(dòng)勢(shì)E的峰值降低了0.76%，變?yōu)?.23V.

3.3添加輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

在齒槽槽口取值范圍0～5mm內(nèi)進(jìn)行仿真分析，得到了齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax隨齒槽槽口寬度b0的變化情況，如圖16所示.

由于b0的取值受到限制，在現(xiàn)有范圍內(nèi)并沒有出現(xiàn)最佳的取值，可以通過添加輔助槽等手段進(jìn)一步對(duì)Gn進(jìn)行抑制，進(jìn)而減少齒槽轉(zhuǎn)矩.但是，添加輔助槽后定子鐵心的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，磁導(dǎo)率隨之改變，從而改變齒槽轉(zhuǎn)矩，而不同形狀輔助槽形產(chǎn)生的影響也會(huì)不同，因此需要對(duì)輔助槽的形狀進(jìn)行分析.本文針對(duì)矩形、三角形和橢圓形3種不同形狀的定子輔助槽進(jìn)行分析，不同槽形比較時(shí)，將槽寬和槽深設(shè)置為不變量，以便比較形狀對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，添加不同形狀輔助槽時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩Tc的曲線波形對(duì)比、氣隙磁密對(duì)比和反電動(dòng)勢(shì)曲線分別如圖17～19所示.

由圖17可知，添加的輔助槽形狀為矩形時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值Tcmax為23.10mN·m;為三角形輔助槽時(shí)，Tcmax增大為29.59mN·m，相較于矩形輔助槽增加了28.10%;為橢圓形輔助槽時(shí)，Tcmax降低到13.78mN·m，相較于矩形輔助槽降低了40.35%，因此橢圓形輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱效果最佳.由圖18可知，添加輔助槽前，氣隙磁密Bδ的曲線波形由于受到原槽口作用，頂部存在1處凹陷;而添加輔助槽后，凹陷數(shù)量增加至3個(gè)，相比于橢圓形輔助槽，添加矩形輔助槽和三角形輔助槽時(shí)氣隙磁密波形會(huì)變得更尖.由圖19可知，添加輔助槽前，反電動(dòng)勢(shì)E的峰值為5.27V;而添加不同形狀輔助槽后，對(duì)應(yīng)的反電動(dòng)勢(shì)E的峰值也有著不同程度地降低，其中添加橢圓形輔助槽時(shí)變化最小，其反電動(dòng)勢(shì)E的峰值為4.95V，相較于開槽之前僅降低了6.07%.

4結(jié)論

本文以EHB用無刷直流電機(jī)為研究對(duì)象，通過對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)和分析，發(fā)現(xiàn)其數(shù)值由基本結(jié)構(gòu)參數(shù)以及傅里葉分解系數(shù)B（rnz/2p）和Gn所決定，以此為依據(jù)，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)參數(shù)與傅里葉分解系數(shù)的關(guān)系式.并分別研究了偏心距改變、極弧系數(shù)變更和添加輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩和電機(jī)其他性能的影響，得到了以下結(jié)論.

1）當(dāng)偏心距、極弧系數(shù)和輔助槽形狀分別為7.90mm、0.74、橢圓形時(shí)，對(duì)應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值分別為3.48mN·m、9.89mN·m、13.78mN·m，相比于改變前分別降低96.65%、90.48%、86.74%，齒槽轉(zhuǎn)矩都得到了明顯抑制.

2）偏心距改變、極弧系數(shù)變更和添加輔助槽會(huì)增加氣隙磁密波形的凹陷數(shù)量，也會(huì)使反電動(dòng)勢(shì)曲線變窄，說明其對(duì)電機(jī)性能產(chǎn)生了一定的影響，相較而言，添加橢圓形輔助槽的影響最小.

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