求數(shù)列和的兩種常用技巧

祁曉莉

解答數(shù)列求和問題的技巧有很多種，如錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和、倒序相加等.每種求和方法的特點(diǎn)、適用情形都不相同.本文重點(diǎn)談一談求數(shù)列的和的兩種技巧：錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消.

一、錯(cuò)位相減

若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為一個(gè)等差數(shù)列、一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的乘積，則可采用錯(cuò)位相減的方法來求數(shù)列的和.在解題時(shí)，需首先寫出數(shù)列的和式，設(shè)其為 Sn ，然后在和式的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比 q，再將兩式作差，得 Sn - qSn，化簡所得的結(jié)果，即可求得數(shù)列的和.在作差時(shí)，需將其中一個(gè)和式錯(cuò)開一位，以便使q 的指數(shù)冪相同的項(xiàng)相減，這樣有利于提升運(yùn)算的效率.

例1.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為1，公比 q >0.若 a3+ b3= 21，a5+ b5= 13.（1）求和的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

解：（1）略;

（2）由（1）可得

仔細(xì)觀察的通項(xiàng)公式，可發(fā)現(xiàn)該式由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的乘積構(gòu)成.求得等比數(shù)列的公比，便可通過錯(cuò)位相減來求得數(shù)列的和.

二、裂項(xiàng)相消

有些數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式，我們很難快速求得數(shù)列的和，可將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式，如等.在求和時(shí)，中間的部分項(xiàng)便可相互抵消，這樣就能順利求得數(shù)列的和.在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意三點(diǎn)：①根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)尋找裂項(xiàng)的規(guī)律;②要確保裂開的前后項(xiàng)的絕對值相同，符號相反;③重新組合后，前面剩下的項(xiàng)數(shù)與后面剩下的相同.

例2.

分析：仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為

解：

在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和時(shí)，需先仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，明晰其規(guī)律和特征，對其進(jìn)行合理的裂項(xiàng)，這樣便能為求和創(chuàng)造有利的條件.

例3.

解：

，

因此，

我們將，再將各項(xiàng)相加，便能使中間的部分項(xiàng)相互抵消，從而求得數(shù)列的和.

求解數(shù)列求和問題，需重點(diǎn)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式、和式，可對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如在和式的左右同乘以公比、將通?xiàng)公式裂項(xiàng)，以明晰其中的規(guī)律和特點(diǎn)，為求和鋪平道路.

（作者單位：甘肅省平?jīng)鍪徐`臺(tái)縣第一中學(xué)）