三類概率問題的解法剖析

吳玲

概率是高考中的重要考點(diǎn).概率問題常與生活實(shí)際相關(guān)，不僅考查了古典概型概率公式、幾何概型概率公式、分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）、分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）等數(shù)學(xué)知識(shí)，還考查了同學(xué)們綜合分析能力以及解決實(shí)際問題的能力.常見的概率問題主要有求等可能事件的概率、求相互獨(dú)立事件的概率、求條件概率.下面，結(jié)合例題談一談這三類概率問題的解法.

一、求等可能事件的概率

若一個(gè)事件由n 個(gè)基本事件組成，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么稱每一個(gè)基本事件為等可能事件.等可能事件的概率問題主要有古典概型問題和幾何概型問題.在求等可能事件的概率時(shí)，要先明確問題的類型，然后運(yùn)用古典概型和幾何概型的概率公式來求解.

例1.某號(hào)碼鎖有6個(gè)撥盤，每個(gè)撥盤上有從0到9共 10個(gè)數(shù)字，當(dāng)6個(gè)撥盤上的各個(gè)數(shù)字組成某1個(gè)6位數(shù)字號(hào)碼（開鎖號(hào)碼）時(shí)，鎖才能打開.如果不知道開鎖號(hào)碼，試開1次就能把鎖打開的概率是多少？

解析：號(hào)碼鎖每個(gè)撥盤上的數(shù)字，從0到9共有10個(gè).6個(gè)撥盤上的各個(gè)數(shù)字排在—起，就是1個(gè)6位數(shù)字號(hào)碼.根據(jù)乘法原理可求得這種號(hào)碼的個(gè)數(shù).由于試開時(shí)選取每1個(gè)號(hào)碼的可能性都相等，所以該問題為古典概型，可根據(jù)古典概型概率公式進(jìn)行求解.

解：號(hào)碼鎖每個(gè)撥盤上的數(shù)字共有10個(gè)，則每次有 10種選法，根據(jù)乘法原理可得，6個(gè)撥盤上的數(shù)字組成的6位數(shù)字號(hào)共有106個(gè).試開時(shí)選取每1個(gè)號(hào)碼的可能性都相等，且開鎖號(hào)碼只有1個(gè)，所以根據(jù)古典概型概率公式可得試開1次就把鎖打開的概率為

二、求相互獨(dú)立事件的概率

若兩個(gè)事件之間相互獨(dú)立，并不互相影響，則稱這兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件.若事件 A 與 B 為相互獨(dú)立事件，則 P（AB）=P（A）P（B）.在求相互獨(dú)立事件的概率時(shí)，需先明確事件的類型，然后運(yùn)用公式進(jìn)行求解.

例2.一位家長(zhǎng)送孩子去幼兒園的路上要經(jīng)過4個(gè)有紅綠燈的路口，假設(shè)在各路口遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且遇到紅燈的概率都是.求這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率.

解：設(shè)“這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈”為事件.這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈表示，這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)時(shí)在第一個(gè)路口和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，其概率為

1-3，在第三個(gè)路口遇到紅燈.所以事件 A 的概率為

本題中“遇到紅燈”與“沒有遇到紅燈”是互斥的，并且是對(duì)立事件，屬于相互獨(dú)立事件，可以用乘法公式 P（AB）=P（A）P（B）求解.

三、求條件概率

條件概率是事件 A 在另外一個(gè)事件 B 已經(jīng)發(fā)生條件下發(fā)生的概率.設(shè) A，B 為兩個(gè)事件，且 P（A）>0，則事件 A 發(fā)生的條件下，事件B 發(fā)生的條件概率為P（B|A）= P（A）.在遇到條件概率問題時(shí)，要借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件數(shù) n（A），再求事件 AB 所包含的基本事件數(shù) n（AB），得

例3.袋中有10個(gè)球，其中6個(gè)白球，4個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球，摸到球后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率.

解：袋中有10個(gè)球，每個(gè)球被摸到的可能性相等.兩次從袋中不放回地摸出2個(gè)球，共有 A 0種可能的情況.第1次摸到白球有 C 種可能的情況，第2次摸到的可能是白球或黑球，只能從9個(gè)球中摸一個(gè)球，有 C 種可能的情況，因此第1次摸到白球有 C C種可能

的情況，則第1次摸到白球的概率為第1次摸到白球且第2次摸到黑球有 C C種可能的情況，則第1次摸到白球且第2次摸到黑球的概率為由條件概率公式可知，第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率為 P（B|A）= = ?.

條件概率問題較為復(fù)雜.在解題時(shí)要先求 P（A）和P（AB），再根據(jù)公式 P（B|A）= P（A） ，求 P（B|A）.

在解答概率問題時(shí)，同學(xué)們要先仔細(xì)審題，判斷出問題的類型，是否為等可能事件的概率問題、相互獨(dú)立事件的概率問題、條件概率問題，然后選擇與之相應(yīng)的概率公式進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省溧陽(yáng)市南渡高級(jí)中學(xué)）