怎樣證明數(shù)列不等式

嚴(yán)抒

數(shù)列不等式的綜合性較強(qiáng)，不僅考查了數(shù)列知識(shí)，還考查了不等式知識(shí).此類(lèi)問(wèn)題的難度一般較大，在解題時(shí)不僅需熟練運(yùn)用數(shù)列知識(shí)、不等式知識(shí)，還需靈活運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想等.下面主要談一談證明數(shù)列不等式的兩種常用方法.

一、作差法

作差法是比較兩數(shù)大小的常用方法，在證明不等式時(shí)，我們可將不等式左右兩邊的式子作差，再將所得結(jié)果與0進(jìn)行比較.一般地，若a -b >0，則a >b;若a -b <0，則 a <b .可通過(guò)因式分解、配方、構(gòu)造函數(shù)、利用基本不等式等方式化簡(jiǎn)、變形差式，以便快速比較出差式與0之間的大小關(guān)系.

例1.在數(shù)列{xn}中，x1=a >0，xn+1= xn +? ?.求證：當(dāng)xn ≥? 時(shí)，xn ≥xn+1 .

證明：由xn+1= xn +? 可得xn+1 -xn =? - xn，

令 f（x）=xn+1 -xn，

則f（x）= - xn，在xn ≥? 時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞減，所以xn+1 -xn ≤f（ ）= -?? =0.

綜上，當(dāng)xn ≥? 時(shí)，xn ≥xn+1成立.

解答本題主要采用作差法，我們將不等式左右兩邊的式子作差，構(gòu)造出函數(shù) f（x），通過(guò)分析函數(shù) f（x）的單調(diào)性，判斷出與0之間的大小關(guān)系，從而證明不等式.

二、放縮法

放縮法是證明不等式的常用手段.在求解數(shù)列不等式問(wèn)題時(shí)，首先要仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，研究數(shù)列的和式，運(yùn)用數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式以及不等式的傳遞性、可加性等，進(jìn)行合理的放縮，由已知條件向目標(biāo)式靠攏，從而證明不等式.可通過(guò)添加某些項(xiàng)、去掉某些項(xiàng)、配湊系數(shù)、擴(kuò)大分子、縮小分母等方式

來(lái)放縮不等式.常見(jiàn)的放縮形式有>（b >a >0， m >0）、 = 、<<等.

例2.

證明：（1）略;

（2）

在求得 bn以及 Tn后，用到了一個(gè)常見(jiàn)的根式放再結(jié)合不等號(hào)的方向，采用裂項(xiàng)相消的方式進(jìn)行求和，就能證明不等式.在放縮的過(guò)程中，要把握放縮的“度”，不可“放”得過(guò)大，也不可“縮”得過(guò)小.

數(shù)列不等式問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的綜合能力要求較高，大家不僅要扎實(shí)掌握數(shù)列和不等式知識(shí)，還要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用作差法、放縮法來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市新洋高級(jí)中學(xué)）