巧用絕對(duì)值的性質(zhì)解函數(shù)題

祝均林

我們知道，絕對(duì)值有多個(gè)性質(zhì)，如1. |a| ≥ 0 ;2.|a+ b|≤|a|+|b|（a，b∈R）;3.|x|<a?-a<x<a，|x|>a?x<-a 或 x< a;4.如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù).這些性質(zhì)是解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具.很多函數(shù)問(wèn)題常與絕對(duì)值相結(jié)合，側(cè)重于考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì).在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)可有效避免因分類(lèi)討論帶來(lái)的麻煩，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

一、判斷函數(shù)的奇偶性

對(duì)于分段函數(shù)或含有絕對(duì)值的函數(shù)式，在判斷其單調(diào)性時(shí)，我們可利用絕對(duì)值的性質(zhì)：如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，來(lái)構(gòu)造絕對(duì)值或含有絕對(duì)值的函數(shù)式，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義去分析和判斷.若 f （x） = f （-x） ，則函數(shù)為偶函數(shù);若 f （x） = -f （-x） ，則函數(shù)為奇函數(shù).

例1.已知函數(shù) f （x） = ìí?x2（ ） x - 1 （ ） x ≥ 0 ， -x2（ ） x + 1 （ ） x < 0 ，試判斷其奇偶性.

解：函數(shù) f （x） = ìí?x2（ ） x - 1 （ ） x ≥ 0 ， -x2（ ） x + 1 （ ） x < 0 ，等價(jià)于 f （x） = x2（| x| - 1）（x ∈ R） ，而 f （-x） = （-x）2（|-x| - 1） = x2（| x| - 1） = f （x） ，即 f （x） = f （-x） ，

所以函數(shù) f （x） = ìí?x2（ ） x - 1 （ ） x ≥ 0 ， -x2（ ） x + 1 （ ） x < 0 ，是偶函數(shù).

該函數(shù)為分段函數(shù)，且兩個(gè)區(qū)間段上的函數(shù)式的結(jié)構(gòu)類(lèi)似，于是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)1和4，構(gòu)造絕對(duì)值式，這樣便能快速得出 f （x） = f （-x） ，從而判斷出函數(shù)的奇偶性.一般地，函數(shù) f （x） 是偶函數(shù)的充要條件為： f （x）=f （|x|） .

二、求參數(shù)的取值范圍

對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)不等式問(wèn)題，我們可根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和偶函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造含有絕對(duì)值的函數(shù)式，這樣便能將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，利用絕對(duì)值的性質(zhì)3來(lái)解題.

例 2.已知函數(shù) f （x） 在 [-2，2] 上為偶函數(shù)，且在[0，2] 上單調(diào)遞減，若 f （1 - m） < f （m） ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.

分析：由于該函數(shù)為偶函數(shù)，所以可假設(shè) f （x）= f （|x|） ，那么函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，由此便可去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”，建立含有絕對(duì)值的不等式，解不等式即可求得參數(shù)的取值范圍.

解：因?yàn)?f x為偶函數(shù)，因此 f1- m <fm ，

又因?yàn)楹瘮?shù) f x在0， 2上為減函數(shù)，

解得：- 1≤ m <，

因此，實(shí)數(shù)m 的取值范圍為- 1，.

利用絕對(duì)值對(duì)的性質(zhì)來(lái)求參數(shù)的取值范圍，能有效回避對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論，使得解題的過(guò)程變得更加簡(jiǎn)明.

三、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，需重點(diǎn)研究函數(shù)的解析式.對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)式，可把函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，將其轉(zhuǎn)化對(duì)稱(chēng)區(qū)間上具有相同結(jié)構(gòu)的函數(shù)式，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)構(gòu)造絕對(duì)值式，這樣就能輕易地判定出它們的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

例3.已知函數(shù)fx=8+2x - x2，gx=f2- x2，下列說(shuō)法正確的是（）.

A. gx在區(qū)間-2， 0上單調(diào)遞增

B. gx在區(qū)間0， 2上單調(diào)遞增

C. gx在區(qū)間-1， 0上單調(diào)遞減

D. gx在區(qū)間0， 1上單調(diào)遞減

解：由題意可得，f x=8 +2x - x2= -x -12+9，

又因?yàn)間x=f2- x2，所以gx=-2- x2-12+9= -x2- 12+9=-x2- 12+9，

因此gx和hx=-x2- 12的單調(diào)區(qū)間相同，

而hx在-1， 0上單調(diào)遞減，即gx在區(qū)間-1， 0上單調(diào)遞減，

故正確答案為C選項(xiàng).

我們先將函數(shù)式變形，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)1將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有絕對(duì)值的式子，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

總之，在解答分段函數(shù)、偶函數(shù)以及函數(shù)式較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們可先在不同區(qū)間上尋找結(jié)構(gòu)類(lèi)似的函數(shù)式，抓住偶函數(shù)的特性，構(gòu)造出含有絕對(duì)值的函數(shù)式，再利用絕對(duì)值的性質(zhì)來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省靖江市第一高級(jí)中學(xué)）