“多法并用”，解答平面向量最值問題

羅雪峰

最值問題在平面向量中比較常見，這類問題的綜合性一般較強(qiáng)，且難度系數(shù)較大，對同學(xué)們的運算能力和綜合分析能力的要求較高.筆者從不同角度對一道平面向量最值問題的解法進(jìn)行了探討，下面談一談個人的一些見解.

題目：設(shè)e1，? e2為單位向量，其夾角為 60°.若

方法一：利用函數(shù)的性質(zhì)

在求解平面向量最值問題時，我們經(jīng)常要用到函數(shù)的性質(zhì).需首先根據(jù)題意，運用平面向量知識，如模的公式、數(shù)量積公式、數(shù)乘運算等求得目標(biāo)式，再根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造合適的函數(shù)模型，運用函數(shù)的單調(diào)性、最值等來解題.

解法一：因為 =x e1+y e2，

我們先運用平面向量的模的公式求得的模的平方，再將其看作函數(shù)式，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，通過配方將二次函數(shù)式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得 t 的最值.

解法二：以點 O 為坐標(biāo)原點，以e2的方向為 x 軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則

通過建立直角坐標(biāo)系，運用平面向量的坐標(biāo)運算法則求得 t 的表達(dá)式后，將其看作二次函數(shù)式，就能利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

方法二：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在求解平面向量最值問題時，也可根據(jù)題意引入有關(guān)角度的參數(shù)，或通過三角代換，將問題轉(zhuǎn)化三角函數(shù)最值問題，利用三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性、最值來解題.

解：設(shè)單位向量e3 與向量e2垂直， e1與 e3之間所成的夾角為θ，

我們構(gòu)造出與向量 e2垂直的單位向量 e3，引入?yún)?shù)θ，運用平面向量的數(shù)乘運算法則和數(shù)量積公式求得，再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，就能利用余弦函數(shù)的有界性求得最值.

方法三：數(shù)形結(jié)合

在解答平面向量最值問題時，可根據(jù)三角形法則、平行四邊形法則畫出相應(yīng)的幾何圖形，這樣便將問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題，利用幾何圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系以及相關(guān)的定理、公式來求解.

解：如圖所示，

我們根據(jù) =x e1+y e2以及平行四邊形法則構(gòu)造平行四邊形 ABCO，在△OAC 中根據(jù)正弦定理求得t 的表達(dá)式，再根據(jù)圖形確定∠OCA 的取值范圍以及最值，進(jìn)而求得目標(biāo)式的最值.

由此可見，解答平面向量最值問題的方法有很多種.在解題時，我們需展開聯(lián)想，將函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何知識進(jìn)行遷移，靈活運用函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、正弦定理建立關(guān)系式，求得最值.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學(xué)）