求三角函數(shù)周期的三種途徑

王小梅

三角函數(shù)的性質(zhì)較多，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等.求三角函數(shù)的周期性問(wèn)題常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，側(cè)重于考查函數(shù)周期的定義、三角函數(shù)的周期公式以及三角函數(shù)的圖象.對(duì)于不同的三角函數(shù)式，求周期的方法并不相同.下面，結(jié)合例題談一談求三角函數(shù)周期的三種途徑.

一、利用定義法

定義法是運(yùn)用函數(shù)周期的定義來(lái)解題的方法.對(duì)于函數(shù)fx，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f（x + T）=f（x），那么函數(shù)fx叫做周期函數(shù)，其中 T 為函數(shù)fx的周期.一般情況下，函數(shù)的周期有多個(gè)，我們?nèi)∽钚〉恼龜?shù)作為函數(shù)的周期.在求三角函數(shù)的周期時(shí)，可直接將函數(shù)式進(jìn)行變形，通過(guò)恒等變換得到 f（x + T）=f（x），便可求得函數(shù)的周期.

例1.求函數(shù) y =3 sin（ x+ ）的周期.

解：

所以函數(shù) y =3 sin（ x+）的周期 T =3π.

對(duì)于較為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)，可以直接根據(jù)函數(shù)周期的定義來(lái)解題，該方法簡(jiǎn)單便捷.在變形函數(shù)式的過(guò)程中，要明確變形的方向以及基本三角函數(shù)的周期性.

二、采用最小公倍數(shù)法

對(duì)于形如 f（x）=f1（x）+f2（x）的三角函數(shù)式，通常采用最小公倍數(shù)法.首先要分別求出兩個(gè)三角函數(shù) f1（x）和f2（x）的周期，然后再找出這兩個(gè)周期的最小公倍數(shù)，就能求得原函數(shù)的周期.

例2.已知函數(shù) f（x）= sin 3x + cos5x，求此函數(shù)的周期.

解：

所以函數(shù)f（x）= sin 3x+ cos5x 的周期為2π.

觀察目標(biāo)函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)式是 y = sin 3x、 y = cos5x 兩個(gè)函數(shù)的和，于是利用最小公倍數(shù)法求解. 分別求出兩個(gè)函數(shù) y = sin 3x、 y = cos5x 的周期，再尋找兩個(gè)周期的最小公倍數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)的周期.

三、運(yùn)用公式法

我們知道y =A sin（ωx+φ）（A >0，ω>0）、y =A cos（ωx+φ）的周期公式為 T = ; y =Atan（ωx+φ）（A >0，ω>0）的周期公式為 T =ω.對(duì)于含有多項(xiàng)式的三角函數(shù)式，在求三角函數(shù)的周期時(shí)，可先對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變換，將函數(shù)變形為 y =A sin（ωx+φ）、 y =Acos（ωx+φ）、y =Atan（ωx+φ）的形式，再利用三角函數(shù)的周期公式來(lái)求三角函數(shù)的周期.

例3.求 y = sin6ωx + cos6ωx 的周期.

解：.

由于該三角函數(shù)式的次數(shù)較高，且函數(shù)名稱并不統(tǒng)一，因此需先運(yùn)用二倍角公式、重要關(guān)系式 sin2x+cos2x =1、輔助角公式將函數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)式，再根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解，即可求得函數(shù)的周期.

求三角函數(shù)的周期問(wèn)題雖然較為簡(jiǎn)單，但是運(yùn)算量較大，且函數(shù)式的形式變化多樣，同學(xué)們也不可掉以輕心.在解題時(shí)，需根據(jù)三角函數(shù)式的形式，如簡(jiǎn)單的基本函數(shù)式、兩個(gè)不同函數(shù)式的和、可以化簡(jiǎn)的多項(xiàng)式等，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省如東高級(jí)中學(xué)）