“線上+線下”模式下線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計探究

劉海玉 魏曉奇

摘?要：在“線上+線下”混合式教學(xué)模式下，根據(jù)線上與線下兩種教學(xué)模式的特點，本文探討了線性代數(shù)教學(xué)過程的課前、課中與課后三個階段的教學(xué)方式與教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計安排。

關(guān)鍵詞：混合式教學(xué);教學(xué)設(shè)計;線性代數(shù)

中圖分類號：G642.0??文獻標(biāo)識碼：A

Exploration?of?Teaching?Design?of?Linear?Algebra?in

Online?and?Offline?Mixed?Teaching?Mode

Liu?Haiyu?Wei?Xiaoqi

School?of?Mathematics?and?Physics，Jiangsu?University?of?Technology?JiangsuChangzhou?213001

Abstract：Based?on?the?characteristics?of?online?teaching?mode?and?offline?teaching?mode，designs?and?arrangements?of?teaching?method?and?teaching?contents?of?the?three?stages，Preclass?stage，Whileclass?stage，and?Postclass?stage，of?teaching?process?design?of?linear?algebra?are?explored.

Keywords：mixed?teaching?mode;teaching?design;linear?algebra

“線上+線下”混合式教學(xué)是網(wǎng)絡(luò)教學(xué)與課堂教學(xué)兩種教學(xué)模式的結(jié)合。其目的是以學(xué)生為中心，以教師為主導(dǎo)，充分調(diào)動學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的積極性、主動性和創(chuàng)造性。傳統(tǒng)的線下教學(xué)模式，也就是線下課堂教學(xué)，具有學(xué)習(xí)氛圍濃厚、師生互動方便直接、情感交流豐富等優(yōu)勢。但也有其明顯的短板，比如嚴(yán)重受到時間和空間的限制、學(xué)習(xí)進度完全取決于教師等。線上教學(xué)，也就是利用網(wǎng)絡(luò)在線教學(xué)，雖然突破了時間、地域的限制，但因為師生之間的互動與情感交流相對比較困難、對學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性與主動性要求高等原因，導(dǎo)致線上教學(xué)的效果并不理想。線上教學(xué)與線下教學(xué)兩種教學(xué)模式各有優(yōu)勢與短板，如何將這兩種教學(xué)模式有機融合起來，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，需要不斷地進行探索。

一、線性代數(shù)課程特點和教學(xué)設(shè)計中存在的問題

線性代數(shù)是一門重要的大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。其理論和方法不僅已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，也是物理、化學(xué)等很多學(xué)科不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識。線性代數(shù)內(nèi)容抽象，概念與理論繁多，邏輯性強，前后知識聯(lián)系非常緊密。同時，線性代數(shù)課程普遍存在課時較少、教學(xué)模式單一、關(guān)于拓展應(yīng)用方面的教學(xué)內(nèi)容缺乏等特點。因此，為保證教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量，近年，高校的一線教師通過優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、改變教學(xué)模式、豐富教學(xué)資源等多方位聯(lián)合的方式對線性代數(shù)這門課程進行改革。教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)資源的優(yōu)化改革包括補充一些概念的知識文化背景、引入相關(guān)的計算軟件、增加具體的應(yīng)用案例、增強拓展實踐環(huán)節(jié)等。新的教學(xué)模式主要包括翻轉(zhuǎn)課堂模式、線上教學(xué)模式，比如慕課、微課、私播課（Small?Private?Online?Courses，簡稱SPOC）等，以及線上與線下相結(jié)合的混合式教學(xué)模式這三種模式。實踐表明，“線上+線下”混合式教學(xué)模式對于線性代數(shù)這門課程來說是教學(xué)效果比較好的一種模式。該教學(xué)模式既能發(fā)揮教師教學(xué)過程中的引導(dǎo)、啟發(fā)與監(jiān)督等主導(dǎo)作用，又能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的積極性、主動性和創(chuàng)造性。

在“線上+線下”混合式教學(xué)模式下，教學(xué)設(shè)計起到至關(guān)重要的作用。為了將線上與線下兩種教學(xué)模式緊密融合，使教學(xué)內(nèi)容有效填充，教師需要根據(jù)課程的特點、線上與線下兩種教學(xué)模式的特點以及學(xué)生的特點等，對教學(xué)過程中線上與線下的教學(xué)時間、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)資源等各個部分進行合理的安排與準(zhǔn)備。線性代數(shù)這門課程，因其概念與理論過于抽象，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來會有畏難情緒。因此大部分教學(xué)內(nèi)容需要在教師的帶領(lǐng)和督促下，學(xué)生才能有效地完成學(xué)習(xí)。為了取得更好的教學(xué)效果，同時為了減輕線下課堂教學(xué)學(xué)時少的壓力，線性代數(shù)這門課程應(yīng)該遵循“線上為輔、線下為主”的教學(xué)原則。教學(xué)過程可以分為課前預(yù)習(xí)、課中教學(xué)、課后拓展三個階段，其中課前預(yù)習(xí)和課后拓展兩個階段可以通過線上教學(xué)的方式進行，而課中教學(xué)階段則宜采用傳統(tǒng)的線下教學(xué)模式。

二、“線上+線下”混合式教學(xué)模式下教學(xué)設(shè)計的改革

（一）課前線上預(yù)習(xí)階段

一方面因為線上學(xué)習(xí)對學(xué)生的學(xué)習(xí)自覺性要求很高，另一方面為了不給學(xué)生課外的學(xué)習(xí)增加過多的負(fù)擔(dān)，所以課前的線上教學(xué)又可以分成必修和選修兩個部分。在時間安排上，課前線上教學(xué)的總時長最好控制在30分鐘以內(nèi)，其中必修部分最好控制在15分鐘以內(nèi)。教學(xué)資料主要有教學(xué)計劃、教學(xué)大綱、思維導(dǎo)圖和微課視頻等。其中教學(xué)計劃、教學(xué)大綱和思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生對學(xué)習(xí)任務(wù)和所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個總體的認(rèn)識，了解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及其中的重點、難點。微課視頻的內(nèi)容，可以是所要學(xué)習(xí)知識點的背景、相關(guān)的數(shù)學(xué)史、科學(xué)家傳記等能夠反映線性代數(shù)文化性的素材。因為線性代數(shù)中的一些概念非常抽象，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)這些概念之前能夠了解相應(yīng)的背景，那么就比較容易接受和理解這些概念。而微課視頻的來源，可以是網(wǎng)上共享的精品課程、MOOC課程或自制微課視頻課程。如果為了更符合不同學(xué)校、不同專業(yè)或者不同基礎(chǔ)學(xué)生的需求，那么自制微課視頻是首選。

比如在為方陣的特征值與特征向量這一教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)備的課前預(yù)習(xí)視頻中，既可以介紹特征值與特征向量的知識背景，也可以介紹與特征值與特征向量這一概念相關(guān)的數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)家勵志故事。比如可以介紹被稱為“數(shù)學(xué)世界的亞歷山大”的德國的偉大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特，因為是他首次使用特征值與特征向量這一稱呼。視頻內(nèi)容還可以介紹特征值與特征向量的相關(guān)應(yīng)用，特征值與特征向量的應(yīng)用非常廣泛，比如特征值與特征向量在Google搜索引擎中的應(yīng)用、在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用、在人臉識別中的應(yīng)用等。通過這些相關(guān)的知識背景、數(shù)學(xué)家或應(yīng)用案例的介紹，可以幫助學(xué)生了解特征值與特征向量的實際意義和應(yīng)用前景。讓學(xué)生看到的特征值與特征向量這些概念是立體而豐滿的，而不僅僅是一個個抽象的數(shù)學(xué)定義。通過這些應(yīng)用背景和應(yīng)用案例的介紹，還能夠幫助學(xué)生了解這些概念聯(lián)系著哪些實際問題。這不僅可以為后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，而且能夠讓學(xué)生體會到特征值與特征向量的重要作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生帶著強烈的好奇心和求知欲去完成接下來的學(xué)習(xí)任務(wù)。課前線上教學(xué)內(nèi)容還可以對學(xué)習(xí)特征值與特征向量需要用到的知識基礎(chǔ)適當(dāng)做一些補充。比如，因為求方陣的特征值需要用到關(guān)于一元高次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)根的存在性與個數(shù)這一知識點，所以教師可以推送一些介紹這一知識點的視頻，讓學(xué)生在課前完成學(xué)習(xí)。因為線下學(xué)時的限制，這么做可以有效地緩解線下課堂教學(xué)的壓力。

（二）課中線下教學(xué)階段

線性代數(shù)這門課程具有理論抽象、知識點零碎等特點，很多定義、定理或命題因為過于抽象而不易于被學(xué)生理解。如果沒有老師面對面的啟發(fā)、引導(dǎo)與鼓勵，學(xué)生很容易因此而產(chǎn)生畏難情緒，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)難以推進。所以對于教學(xué)內(nèi)容中的重點和難點采用教師線下面授、著重講解和針對訓(xùn)練的方式更有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)。同時因為線下課堂學(xué)習(xí)氛圍濃厚，且教師能夠及時地發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的困難，所以線下課堂教學(xué)應(yīng)該是教學(xué)過程中的核心部分。

線下課堂的授課方式可以是教師講授和學(xué)生主講兩種。教學(xué)內(nèi)容中的重點和難點由教師主講并帶領(lǐng)學(xué)生進行針對性的訓(xùn)練。而相對比較易于理解的教學(xué)內(nèi)容，可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的方式，由學(xué)生主講。教師可以首先將學(xué)生分成若干小組，然后將教學(xué)任務(wù)分派到每個小組。各小組的組員合作準(zhǔn)備分配到的教學(xué)任務(wù)，然后由每個小組派出學(xué)生代表講授相應(yīng)的內(nèi)容。利用這種翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式，可以充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)能動性，而且學(xué)生通過備課、授課這種輸出的方式進行學(xué)習(xí)，對知識點的理解會更加深刻全面。采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方式時，教師在此過程中需要對各小組準(zhǔn)備的情況、小組成員的參與度進行把關(guān)。

仍以特征值與特征向量這一教學(xué)內(nèi)容為例。因為有了課前線上的預(yù)習(xí)，線下課堂上，教師便可以直接給出特征值與特征向量的概念。隨后帶領(lǐng)學(xué)生一起探討如何求解特征值和特征向量。接下來引導(dǎo)學(xué)生去探索特征值和特征向量的性質(zhì)與應(yīng)用。因為這部分教學(xué)內(nèi)容的重點與難點是特征值與特征向量的求法，所以教師要慢慢地對其進行分析講解。尤其是特征向量的求法。因為要利用齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示出方陣的所有特征向量，所以對于這一知識點的講解，要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析為什么要這么求以及怎么求。為了更好地理解這些知識、方法，教師可以根據(jù)常用的解題方法和解題技巧等，精心設(shè)計典型例題，幫助學(xué)生通過訓(xùn)練提高邏輯分析能力與解題能力。而對于特征值與特征向量的性質(zhì)等相對比較容易理解的知識點，可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的方式，由學(xué)生講解。

（三）課后拓展評價階段

課后線上教學(xué)的內(nèi)容是課中課堂教學(xué)內(nèi)容的適當(dāng)補充和重要延展，便于學(xué)生在課后對所學(xué)知識進行鞏固、自測與提升。課后線上學(xué)習(xí)的時長安排彈性較大，教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的情況酌情安排。課后線上資源在包括作業(yè)、自測、答疑等內(nèi)容的同時，還可以含有對教學(xué)內(nèi)容中的重點和難點的總結(jié)回顧，另外對課堂所學(xué)知識點的拓展和補充也是重要的一部分內(nèi)容。對于教學(xué)內(nèi)容中的重點和難點，教師可以將知識點碎片化，并將這些小知識點錄制成一些簡短的微課視頻，便于學(xué)生根據(jù)自身的情況，選取相應(yīng)的視頻重新觀看學(xué)習(xí)。學(xué)生在觀看視頻時，不僅可以根據(jù)自身對視頻內(nèi)容的理解程度自由設(shè)置播放速度，對于難以理解的部分還可以反復(fù)回看學(xué)習(xí)。實踐證明，利用課后線上這些教學(xué)輔導(dǎo)視頻，大部分學(xué)生可以解決在課堂中留下的問題。

線性代數(shù)這門課程由于普遍存在課時緊張的情況，所以教師往往為了完成教學(xué)任務(wù)，只能“重理論知識，輕實踐拓展”，這就導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容中的拓展部分很少，或者直接沒有實踐拓展。所以，為了培養(yǎng)能夠適應(yīng)和支撐產(chǎn)業(yè)發(fā)展的應(yīng)用型工程人才，課后的線上知識拓展部分是不可或缺的。而目前大部分線性代數(shù)的教材和教學(xué)資源中關(guān)于知識點的應(yīng)用拓展都比較缺乏，所以教師要補充并及時更新相關(guān)的教學(xué)資源，將一些實際應(yīng)用案例以微視頻或文字的形式推送給學(xué)生觀看學(xué)習(xí)，彌補這方面的不足。這些應(yīng)用案例既可以涉及同學(xué)們感興趣的一些熱點話題，還可以和學(xué)生的后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)相關(guān)。對每一個應(yīng)用案例，可以按照問題描述、建立模型、求解模型、實驗結(jié)果與分析、提高與拓展分為五個部分，對學(xué)生進行指導(dǎo)。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過具體應(yīng)用案例的學(xué)習(xí)，可以初步建立建模思想，從而提高他們運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。課后線上的應(yīng)用案例教學(xué)和拓展部分，雖然可以不做期末考試要求，但是為學(xué)有余力的同學(xué)提供了有效的能力提高途徑。

以方陣的特征值與特征向量這一知識點的補充和拓展內(nèi)容為例，對于特征值與特征向量的求法、幾何意義這些知識點，可以從互聯(lián)網(wǎng)的共享資源中選取或自制一些微課視頻推送給學(xué)生課后復(fù)習(xí)、鞏固。因為特征值與特征向量有重要的應(yīng)用價值，比如在工業(yè)增長模型中、生態(tài)模型中、人臉識別系統(tǒng)中、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)問題中等，很多地方都有應(yīng)用，所以拓展實踐部分的內(nèi)容應(yīng)圍繞其實際應(yīng)用設(shè)計。這方面的應(yīng)用案例可以通過有關(guān)的文章、微視頻或設(shè)計成數(shù)學(xué)建模問題等多種形式推送到線上，供學(xué)生閱讀、學(xué)習(xí)并實踐。雖然線下課堂學(xué)時有限，在課堂上很難進行過多的拓展，但是利用課后線上的這些教學(xué)資源，可以很好地彌補這方面的不足，極大地豐富學(xué)生的視野，鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力。

教師通過平臺上的簽到情況、作業(yè)的質(zhì)量以及視頻學(xué)習(xí)時長等，再根據(jù)學(xué)生對課后線上學(xué)習(xí)的體會與反饋，可以較好地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并及時對學(xué)生進行答疑輔導(dǎo)。經(jīng)過教學(xué)實踐證明，課后線上的這種拓展、評價方法對學(xué)生的課外學(xué)習(xí)起到了很好的輔助作用，取得了良好的教學(xué)效果。

結(jié)語

從線性代數(shù)這門課程“線上+線下”混合式教學(xué)的實踐過程及取得的教學(xué)效果來看，混合式教學(xué)具有傳統(tǒng)線下教學(xué)或完全線上教學(xué)不能夠比擬的優(yōu)勢。是否能夠充分發(fā)揮混合式教學(xué)的優(yōu)勢，合理有效的教學(xué)過程設(shè)計、線上線下教學(xué)素材的準(zhǔn)備都是至關(guān)重要的。線性代數(shù)課程的教學(xué)設(shè)計應(yīng)該根據(jù)線上與線下課堂的優(yōu)勢與短板、課程本身的特點及不同專業(yè)、不同基礎(chǔ)學(xué)生的特點，合理地安排教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)時間，并采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，充分發(fā)揮線上、線下兩種教學(xué)模式各自的優(yōu)勢，實現(xiàn)優(yōu)勢互補。

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基金項目：江蘇理工學(xué)院校級教改課題：大學(xué)數(shù)學(xué)“線上與線下”教學(xué)模式的探索（項目編號：11611212050）;江蘇省高等教育教改課題：兩分類、兩貼近：應(yīng)用型本科院校公共數(shù)學(xué)課程的改革與實踐（項目編號：2021JSJG623）;國家自然科學(xué)基金（項目編號：12171206）

作者簡介：劉海玉（1979—?），女，在讀博士，講師，研究方向：同調(diào)代數(shù)與環(huán)論;魏曉奇（1989—?），男，博士，講師，研究方向：交換代數(shù)。