基于Mooney-Rivlin模型的高水頭伸縮式水封非線性仿真

胡堅(jiān)柯，陳吉豐，汪振寧，胡葆文，王 玨，郝楠楠，蔡 錕，胡夢(mèng)溪

（1.中國電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州311122；2.河海大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，常州213022）

隨著我國水利水電事業(yè)的不斷發(fā)展，高壓大流量水電站的建設(shè)也越來越多［1］。閘門作為水電站的核心部分之一，其止水可靠性問題也越來越突出。水封是閘門止水的核心裝置，其結(jié)構(gòu)性能是影響閘門止水能力的關(guān)鍵因素。閘門水封種類繁多，按照其結(jié)構(gòu)的不同可以分為預(yù)壓式水封以及伸縮式水封［2］，對(duì)于高水頭閘門而言，由于傳統(tǒng)的預(yù)壓式水封需要過大的預(yù)壓量而易導(dǎo)致止水元件在工作中磨損嚴(yán)重，壽命降低，因此高水頭閘門多采用伸縮式水封作為止水裝置［3-4］。

閘門止水裝置在設(shè)計(jì)不當(dāng)?shù)那闆r下容易產(chǎn)生漏水的問題，惡化閘門的工作條件，甚至造成閘門的破壞。此外，高水頭閘門止水裝置一旦投入使用，檢修以及更換都比較困難。因此，對(duì)伸縮式水封性能的研究就顯得尤為重要。目前對(duì)水封性能的研究主要采用模型試驗(yàn)方法與數(shù)值仿真方法［5-6］，其中數(shù)值仿真方法是對(duì)不同工況下不同斷面水封的工作情況進(jìn)行仿真，從而確定水封的工作性能。數(shù)值仿真方法不受試驗(yàn)條件的限制，靈活性強(qiáng)，適用范圍廣。因此，數(shù)值仿真方法作為傳統(tǒng)試驗(yàn)方法的補(bǔ)充在當(dāng)前對(duì)水封性能的研究中被廣泛的采用［7］。

水封由橡膠制成，橡膠具有大變形、不可壓縮等特點(diǎn)，是典型的超彈性材料［8］。在對(duì)水封的仿真分析中，選用合理的材料本構(gòu)模型用以準(zhǔn)確地描述水封材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是保證模型分析精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。對(duì)超彈性材料力學(xué)性能的描述方法主要分為兩大類［9］，一類是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的唯象理論，典型的有以Mooney-Rivlin（M-R）模型為代表的多項(xiàng)式模型；另一類是基于分子結(jié)構(gòu)及構(gòu)象熵改變的統(tǒng)計(jì)理論，典型的有Arruda-Boyce模型等。其中M-R模型能夠很好地描述橡膠材料在中等應(yīng)變情況下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系且形式簡(jiǎn)單、適用性強(qiáng)，因此，該類模型被廣泛地應(yīng)用在橡膠材料的非線性計(jì)算中［10，11］。根據(jù)參數(shù)數(shù)量的不同，M-R 模型可以分為二參數(shù)、三參數(shù)、五參數(shù)、九參數(shù)四種。低階參數(shù)M-R 模型的公式簡(jiǎn)短、參數(shù)個(gè)數(shù)少，計(jì)算效率高且易收斂，但是隨著模型參數(shù)的減少，對(duì)材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的擬合精度也會(huì)有所下降。因此，在工程實(shí)例中，需要綜合考慮所需計(jì)算精度以及計(jì)算效率從而選擇最合適的本構(gòu)模型。

在水封仿真領(lǐng)域內(nèi)，當(dāng)前國內(nèi)已有較多的研究。薛小香等［12］對(duì)高水頭P 型水封進(jìn)行了非線性有限元模擬，得到了該類水封止水性能隨預(yù)壓縮量、封頭幾何尺寸變換的規(guī)律；熊威等［13］對(duì)山型水封進(jìn)行了仿真，并比較了兩種不同材質(zhì)水封的止水性能。但以上的研究均缺乏對(duì)不同本構(gòu)模型適用性的比較。劉禮華等［14］分析了不同參數(shù)M-R 模型在方形水封仿真中的適用性；譚顯文等［15］研究了不同本構(gòu)模型在不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)、應(yīng)變范圍等條件下的適用性。但目前不同參數(shù)M-R 模型本構(gòu)對(duì)高水頭伸縮式水封的仿真精度影響還不明確，不同高水頭工況對(duì)水封接觸應(yīng)力及變形的影響也有待進(jìn)一步探究。因此，本文首先對(duì)不同參數(shù)M-R 模型在伸縮式水封數(shù)值分析中的精度進(jìn)行了分析，從計(jì)算精度及效率的角度選擇了合理的本構(gòu)模型用于后續(xù)仿真。隨后，本文對(duì)水封的自由外伸量、接觸應(yīng)力以及外偏移量在不同工作階段的隨水封所受背壓、庫壓等因素影響而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究，為該類水封的設(shè)計(jì)提供了重要依據(jù)。

1 水封材料超彈性本構(gòu)

基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的唯象理論假設(shè)橡膠是各向同性材料，用單位體積的應(yīng)變能來表征其力學(xué)行為［16］，應(yīng)變能對(duì)應(yīng)變分量的導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)的應(yīng)力分量。應(yīng)變能W的多項(xiàng)式表達(dá)如下［17］：

式中：n是多項(xiàng)式的階數(shù)；Cij是材料系數(shù)；I1，I2都與主伸長率λ1，λ2和λ3有關(guān)，。

式中的n取不同的值對(duì)應(yīng)的就是不同的多項(xiàng)式模型，就MR模型而言，各參數(shù)模型對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能表達(dá)式分別如下。

二參數(shù)M-R模型：

三參數(shù)M-R模型：

五參數(shù)M-R模型：

九參數(shù)M-R模型：

水封在工作時(shí)的荷載情況及應(yīng)力狀態(tài)比較復(fù)雜，為了較為全面的預(yù)測(cè)水封的應(yīng)力應(yīng)變特性，通常通過試驗(yàn)考察水封材料單軸拉壓以及純剪切三種應(yīng)力狀態(tài)，得到材料的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)以進(jìn)行本構(gòu)模型參數(shù)的計(jì)算。

2 有限元仿真

伸縮式水封止水裝置主要由山型水封、止水面板、壓板以及水封座板四部分構(gòu)成。其中水封由橡膠制成，其余部分均為鋼制。水封在工作過程中主要受到庫壓及背壓的作用。止水裝置具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 伸縮式水封結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of expansion water seal structure

2.1 單元的選擇

閘門水封的軸向尺寸遠(yuǎn)大于切向尺寸且水封所受荷載均平行于橫截面作用，沿軸向保持不變，故閘門水封的仿真屬于典型的平面應(yīng)變問題。本文選用PLANE183單元建立水封止水裝置的有限元模型。ANSYS 軟件通過設(shè)置接觸對(duì)實(shí)現(xiàn)物體的接觸，本文使用CONTAC172- TARGE169 接觸對(duì)單元，根據(jù)水封實(shí)際工作情況，在水封封頭與止水面板之間、水封兩側(cè)及翼頭與壓板之間以及水封底部與水封座板之間分別設(shè)置接觸對(duì)。經(jīng)過上述工作，最終得到伸縮式水封止水裝置的有限元模型如圖2所示。

圖2 止水裝置有限元模型Fig.2 Finite element model of water stop device

2.2 約束與荷載

伸縮式水封止水的工作過程主要分為三步，對(duì)應(yīng)的仿真分析過程也分為三個(gè)荷載步：

第一步，水封座板固定，兩側(cè)壓板下壓與水封座板共同擠壓水封翼頭，完成水封的安裝。

第二步，對(duì)水封背部施加壓力荷載（背壓），同時(shí)止水面板向下位移至與壓板上表面達(dá)到指定初始間隙。水封封頭在背壓作用下伸出與止水面板接觸，完成水封的預(yù)壓縮。

第三步：對(duì)水封迎水側(cè)未有效接觸部分施加庫水壓力。由于預(yù)壓縮前水封與止水面板間接觸狀態(tài)未知，因此，需要首先進(jìn)行荷載步一、二的仿真，并根據(jù)仿真結(jié)果確定庫壓施加范圍。此外，施加庫壓后水封的受載發(fā)生變化，導(dǎo)致變形情況及接觸狀態(tài)同施加庫壓前不一致。因此，需要根據(jù)此時(shí)水封新的變形及接觸情況重新施加荷載進(jìn)行仿真并不斷循環(huán)此過程，直至水封變形及接觸狀態(tài)趨于穩(wěn)定。本文通過APDL語言中的循環(huán)與判斷指令實(shí)現(xiàn)上述過程，具體命令如下。

DO，I，1，1000！開始循環(huán)

NSEL，S，，，180

*SET，K，1

*SET，L，K

*DO，J，160，206，2

！設(shè)置接觸狀態(tài)判斷區(qū)域（迎水側(cè)表面）

*GET，STOT，NODE，J，CONT，STOT

！提取施加庫壓后節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力

*IF，STOT，LE，2000000，THEN

！判斷施加庫壓后節(jié)點(diǎn)接觸狀態(tài)

NSEL，A，，，J，J+1

！收集未能有效接觸節(jié)點(diǎn)

*SET，K，K+1

*ENDIF

*ENDDO

*IF，L，EQ，K，THEN

！判斷施加庫壓后接觸狀態(tài)是否發(fā)生變化

*EXIT！沒有變化，結(jié)束循環(huán)

*ENDIF

/PREP7！發(fā)生變化重新仿真

SF，ALL，PRES，P

！對(duì)此時(shí)未有效接觸區(qū)域施加庫壓

ALLSEL，ALL

LSWRITE，3，

/SOLU

LSSOLVE，1，3，1，！計(jì)算

*ENDDO！結(jié)束循環(huán)

2.3 特征參數(shù)

在伸縮式水封的仿真分析中，主要采用以下特征參數(shù)衡量水封止水性能。

接觸應(yīng)力：水封封頭與止水面板間由擠壓而產(chǎn)生的，用于衡量水封能否有效止水。

接觸寬度：水封封頭與止水面板間接觸區(qū)域的寬度，用于衡量水封止水的可靠性。

外偏移量：庫壓作用下水封封頭右側(cè)偏出右壓板左端線的最大距離，該值過大不利于撤去背壓后水封的復(fù)原且易降低水封壽命。

3 不同參數(shù)的M-R模型的比選

3.1 M-R模型參數(shù)擬合

本文基于水封橡膠材料的單軸拉壓及純剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)［14］，進(jìn)行材料超彈性參數(shù)的擬合。針對(duì)M-R模型，基于最小二乘法原理分別對(duì)其二參數(shù)、三參數(shù)、五參數(shù)以及九參數(shù)模型進(jìn)行了擬合分析，得到的各本構(gòu)模型參數(shù)如表1所示，擬合曲線如圖3和圖4所示。

表1 高水頭水封橡膠本構(gòu)模型系數(shù)Tab.1 Coefficient of constitutive model of high water head water seal rubber

圖3和圖4表明：基于相同材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同參數(shù)M-R模型的擬合精度有所不同，且擬合精度隨著模型階數(shù)的增加而提升，從而可以在仿真計(jì)算中更真實(shí)的反應(yīng)出水封在止水過程中的力學(xué)性能及變形特性。

圖3 單軸拉壓試驗(yàn)擬合曲線Fig.3 Uniaxial tension and compression experiment curve fitting

圖4 純剪切試驗(yàn)擬合曲線Fig.4 Pure shear experimental curve fitting

3.2 不同參數(shù)M-R模型在工程實(shí)例中的比較

由各參數(shù)M-R模型擬合曲線的對(duì)比可知，參數(shù)越多的模型對(duì)材料應(yīng)力應(yīng)變特性的描述就越精確。但是隨著參數(shù)的增加，仿真所需的計(jì)算量及計(jì)算時(shí)間也隨之增加，為了在提高計(jì)算精度和加快計(jì)算速率之間取得最優(yōu)方案，本文以伸縮式水封的預(yù)壓縮為例，采用各參數(shù)M-R 模型分別進(jìn)行仿真，對(duì)比仿真結(jié)果從而選取最優(yōu)方案。

水封材料超彈性參數(shù)如表1所示。工程中真實(shí)的摩擦系數(shù)還需根據(jù)材料摩擦試驗(yàn)確定，但本文為探究水封特征參數(shù)隨庫壓、止水面板與壓板間初始間隙等因素變化的規(guī)律，根據(jù)《水電工程閘門止水裝置設(shè)計(jì)規(guī)范》［18］以橡膠對(duì)鋼濕摩擦系數(shù)0.5 為例進(jìn)行相關(guān)參數(shù)分析。選取初始間隙25 mm，背壓2 MPa 的工況進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如表2、圖5所示。

不同參數(shù)M-R模型仿真所得水封接觸狀態(tài)大致相同（如圖5），特征參數(shù)具體數(shù)值有所不同（如表2）。就接觸應(yīng)力而言，二、三、五參數(shù)模型仿真結(jié)果同九參數(shù)模型仿真結(jié)果分別相差8.4%、1.1%以及1.7%；就接觸長度而言，二、三、五參數(shù)模型仿真結(jié)果同九參數(shù)模型仿真結(jié)果分別相差18.4%、0.14%、0.12%。由此可知，三參數(shù)、五參數(shù)模型的仿真結(jié)果同九參數(shù)模型的仿真結(jié)果相近，二參數(shù)模型的仿真結(jié)果同九參數(shù)模型的仿真結(jié)果相差較大。在保證仿真精度的前提下，為提高仿真計(jì)算速率及收斂穩(wěn)定性，建議采用三參數(shù)M-R模型進(jìn)行伸縮式水封的有限元仿真。

表2 不同模型計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results of different models

圖5 九參數(shù)模型計(jì)算接觸應(yīng)力云圖Fig.5 Contact stress nephogram was calculated by M-R model with nine parameters

為驗(yàn)證三參數(shù)M-R模型在伸縮式水封仿真中的準(zhǔn)確性，使用該模型對(duì)水封自由外伸試驗(yàn)進(jìn)行仿真［19］。仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比表明：使用該模型仿真的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相近（最大誤差為7.6%）且變化規(guī)律相同（如圖6）。該結(jié)果驗(yàn)證了三參數(shù)M-R 模型用于伸縮式水封仿真中的準(zhǔn)確性，因此，本文采用三參數(shù)M-R模型進(jìn)行水封的有限元分析。

圖6 仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.6 Simulation results and experimental data

4 仿真結(jié)果分析

為探究水封特征參數(shù)隨所受背壓、庫壓以及止水面板與壓板之間初始間隙等因素變化的規(guī)律，對(duì)不同工況下的水封進(jìn)行仿真并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。

4.1 背壓對(duì)自由外伸量的影響

為了確定止水面板同壓板之間的初始間隙，首先對(duì)水封自由外伸進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。由仿真結(jié)果可知，水封自由外伸量隨背壓的增加而增加且增加速率不斷減小。背壓在0.5 MPa 以下時(shí)，水封以結(jié)構(gòu)自身的變形為主，背壓達(dá)到0.5 MPa 左右時(shí)，水封結(jié)構(gòu)自身變形達(dá)到極限，此后水封的變形以材料的拉伸為主。因此，自由外伸量在背壓0.5 MPa 以下時(shí)隨背壓快速增加，在背壓達(dá)到0.5 MPa 左右時(shí)，增加速率顯著降低。此后，由于隨著應(yīng)變?cè)龃笏馔瑝喊灞砻嬷g摩擦的加劇以及過大應(yīng)變下材料本身的硬化，在背壓增大的同時(shí)，自由外伸量的增加速率也在逐漸放緩。

圖7 不同背壓下封頭自由外伸量變化曲線Fig.7 Change curve of free stretch of head under different back pressure

4.2 預(yù)壓縮接觸應(yīng)力受背壓及初始間隙影響

預(yù)壓縮階段接觸應(yīng)力主要受止水面板與壓板上表面間初始間隙以及水封所受背壓的影響，為探究預(yù)壓縮接觸應(yīng)力隨初始間隙以及背壓變化的情況，對(duì)不同初始間隙、背壓下的水封進(jìn)行仿真。得到了不同背壓、初始間隙下封頭的最大接觸應(yīng)力（如圖8）、不同初始間隙下接觸應(yīng)力的分布情況（如圖9）以及不同背壓下接觸應(yīng)力的分布情況（如圖10）。

圖9 不同初始間隙下接觸應(yīng)力分布情況Fig.9 Contact stress distribution under different initial clearances

如圖8所示，接觸應(yīng)力隨初始間隙增大而減小，隨背壓增大而增大。具體的，在背壓不變時(shí)，接觸應(yīng)力隨初始間隙的降低而增加，且在不同初始間隙范圍內(nèi)的增加速率不同。在初始間隙40～20 mm 階段，接觸應(yīng)力與初始間隙呈近似的線性關(guān)系；在初始間隙20～10 mm 階段，接觸應(yīng)力的增加放緩；在初始間隙10～5 mm 階段，接觸應(yīng)力的增加速率提升。這主要是由于在不同初始間隙下水封的變形特點(diǎn)及水封兩側(cè)同壓板間接觸情況不同所導(dǎo)致的。此外，在較小背壓下水封兩側(cè)同壓板間接觸情況受預(yù)壓量影響較大，因此這一趨勢(shì)在較小背壓下體現(xiàn)的尤為明顯。在初始間隙不變的情況下，接觸應(yīng)力隨背壓增大而增大，且二者呈近似的線性關(guān)系（圖10 中橫坐標(biāo)相同的各數(shù)據(jù)點(diǎn)間縱向距離大致相同）。

圖8 不同背壓及初始間隙下的接觸應(yīng)力Fig.8 Contact stress under different back pressure and initial clearance

圖10 不同背壓下接觸應(yīng)力分布情況Fig.10 Contact stress distribution under different back pressures

如圖9、10所示，水封接觸寬度隨初始間隙增大而減小，隨背壓增大而增大，接觸應(yīng)力分布情況及最大應(yīng)力位置基本保持不變。

4.3 施加庫壓后接觸應(yīng)力的變化

伸縮式水封按背壓來源可以分為不同種類，其中自封閉伸縮式水封的背壓是通過引入庫壓實(shí)現(xiàn)的，因此，該類水封的背壓同庫壓大小一致。由預(yù)壓縮仿真結(jié)果可知：自封閉伸縮式水封在初始間隙大于25 mm 的情況下，水封預(yù)壓量不足導(dǎo)致接觸應(yīng)力小于庫壓，不能夠有效止水；在初始間隙小于10 mm 的情況下，水封預(yù)壓量過大導(dǎo)致水封整體變形嚴(yán)重，影響水封工作壽命。綜上所述，為保證自封閉伸縮式水封在有效止水的同時(shí)能夠工作較長時(shí)間，止水面板同壓板之間的初始間隙應(yīng)控制在10～25 mm的范圍之內(nèi)。

水封止水過程中還受到庫壓的作用，因此水封在工作中的受力情況同預(yù)壓縮階段并不相同。為探究施加庫壓后水封同止水面板接觸及水封形變情況的變化，本文選取自封閉伸縮式水封能夠有效止水范圍（庫壓1.4～2.4 MPa，初始間隙10～25 mm）的水封施加相應(yīng)的庫壓并進(jìn)行仿真分析。得到施加庫壓前后水封的接觸應(yīng)力變化情況（如表3）及水封受庫壓后的接觸及變形情況（如圖11）。

表3 施加庫壓前后接觸應(yīng)力大小Tab.3 Size of contact stress before and after applying reservoir pressure

圖11 20 mm初始間隙2.0 MPa庫壓下水封接觸應(yīng)力云圖Fig.11 Contact stress nephogram of water seal under reservoir pressure with initial clearance of 20 mm and 2.0 MPa

由表3可知，相較于預(yù)壓縮階段，施加庫壓后水封的接觸應(yīng)力明顯增大。這主要是由于水封封頭形狀不對(duì)稱且?guī)靿菏┘釉诜忸^較高一側(cè)，封頭在庫壓及止水面板的共同作用下受擠壓所導(dǎo)致的（如圖11）。因此，封頭不對(duì)稱的自封閉伸縮式水封，在預(yù)壓縮可靠的情況下施加庫壓，不僅不會(huì)因?yàn)閹靿簩?dǎo)致止水失效反而會(huì)因?yàn)閹靿簩?dǎo)致的水封變形使得水封接觸應(yīng)力增大，止水可靠。

4.4 外偏移量受庫壓及初始間隙的影響

對(duì)水封施加庫壓，除了使接觸應(yīng)力發(fā)生變化，還會(huì)加劇封頭的偏移。為探究水封外偏移量受庫壓及初始間隙的影響，將施加庫壓后水封封頭的外偏移量提取出來，結(jié)果如圖12所示。

圖12 不同庫壓及初始間隙下的外偏移量Fig.12 External offset at different reservoir pressures and initial clearances

由結(jié)果可知，在初始間隙相同時(shí)，水封外偏移量隨庫壓的增加而增加。在庫壓相同時(shí)，水封外偏移量隨初始間隙的變化在不同階段有不同的特點(diǎn)。在初始間隙10～15 mm 階段，水封外偏移量很小且隨初始間隙變化不大。這主要是由于在初始間隙很小時(shí)，庫壓的作用范圍很小且封頭大部分部位被右側(cè)壓板阻擋。在初始間隙15～22.5 mm階段，水封外偏移量隨初始間隙增加而增加，且增加速率隨著初始間隙的增大而減小。這主要是由于水封材料隨著應(yīng)變?cè)龃螽a(chǎn)生硬化以及止水裝置結(jié)構(gòu)限制所導(dǎo)致的。在初始間隙大于22.5 mm 階段，外偏移量隨初始間隙增加的速率顯著提升。這主要是由于在初始間隙較大時(shí)庫壓作用范圍較大以及止水面板對(duì)封頭摩擦阻礙作用的下降所導(dǎo)致的。

5 結(jié)論

通過對(duì)伸縮式水封的非線性仿真及參數(shù)分析，得到以下結(jié)論。

（1）基于相同試驗(yàn)數(shù)據(jù)，參數(shù)越多的M-R 模型的擬合精度越高且所需計(jì)算量也越大。在伸縮式水封的仿真中，二參數(shù)模型的仿真誤差較大，三參數(shù)、五參數(shù)模型的仿真精度同九參數(shù)模型的仿真精度相近。綜合考慮計(jì)算精度及仿真效率，建議采用三參數(shù)M-R模型進(jìn)行水封的仿真分析。

（2）在伸縮式水封的預(yù)壓縮過程中，水封接觸應(yīng)力主要受止水面板與壓板間初始間隙及水封所受背壓的影響。在初始間隙不變的情況下，接觸應(yīng)力隨著背壓的上升而上升且與背壓呈近似的線性關(guān)系。在背壓不變的情況下，接觸應(yīng)力隨初始間隙的降低而增加，且增加速率同水封的變形情況有關(guān)。

（3）由于結(jié)構(gòu)形式的原因，封頭不對(duì)稱的自封閉伸縮式水封只需要在預(yù)壓縮階段有效止水即可保證其在庫壓下的工作可靠。

（4）在初始間隙不變的情況下，水封外偏移量隨庫壓的增加而增加。在庫壓不變的情況下，水封外偏移量隨初始間隙的增加而增加，且增加速率同水封的變形情況有關(guān)。□