藺海曉，邵元元，周淼

(1.河南理工大學 土木工程學院，河南 焦作 454000；2.河南省地下工程與災(zāi)變防控重點實驗室，河南 焦作 454000)

混凝土是工程建筑中的重要材料之一，影響混凝土力學性能的因素很多，其中裂紋的影響尤為顯著[1-3]，其中水泥漿硬化的干燥收縮引起混凝土由外向內(nèi)的干縮變形裂紋，進而影響混凝土的健康發(fā)展，引起人們高度重視[4-5]。水泥漿硬化收縮會導致特征應(yīng)力的變化，達到凝膠的抗拉強度時，將萌生裂紋。而特征應(yīng)力是物體內(nèi)一個或多個特征應(yīng)變引起的自平衡力，不受任何其他外力和表面約束。眾多學者對混凝土硬化過程中的收縮導致裂紋擴展問題開展了一系列研究。宋義敏等[6]以數(shù)字散斑相關(guān)方法對試驗中采集的散斑圖像數(shù)據(jù)進行分析,研究混凝土試件硬化過程中試件表面變形場演化特征。于本田等[7]開展了混凝土的早期收縮、抗裂和力學試驗，并利用核磁共振儀和掃描電子顯微鏡對混凝土孔結(jié)構(gòu)和微觀形貌進行了測試，揭示抑制收縮開裂的機制。EGUCHI 等[8]將骨料、水泥漿作為混凝土兩相，建立了混凝土硬化收縮預(yù)測模型，預(yù)測結(jié)果與試驗測試值基本吻合。LI 等[9]基于毛細張力理論和混凝土微觀孔隙，建立了自密實混凝土早期自收縮的預(yù)測方法。YOO 等[10]認為自收縮的起點應(yīng)從應(yīng)變和內(nèi)部溫度發(fā)生變化時開始，分別提出了考慮減縮劑影響的自收縮終值計算公式及預(yù)測模型。尹月明等[11]基于斷裂力學理論得到界面層中弧形裂紋的應(yīng)力強度因子，并根據(jù)復合型裂紋冪準則判斷弧形裂紋是否發(fā)生開裂，進而來研究混凝土開裂強度的變化規(guī)律。SIRTOLI等[12]探究了ACI 209.R-92 預(yù)測模型的適應(yīng)性，發(fā)現(xiàn)ACI209.R 模型雖然在干燥收縮方面模型計算值與實驗結(jié)果吻合良好，但自收縮預(yù)測值與實驗結(jié)果差異較大。為了預(yù)測混凝土硬化收縮產(chǎn)生微裂紋，將混凝土視為由線彈性球形骨料和均勻的線彈性水泥漿基體組成，建立了簡單的線彈性預(yù)測模型，推導骨料中的特征應(yīng)力狀態(tài)[13]。但由于引起骨料周圍裂紋的特征應(yīng)力的大小和類型未知，這些模型的應(yīng)用均受到了限制。因此，本文在采用環(huán)向傳感器測試特征應(yīng)力的基礎(chǔ)上，通過光滑界面和完全結(jié)合界面斷裂力學數(shù)理模型，數(shù)值分析裂紋擴展應(yīng)力水平的上限和下限，并計算作為時間函數(shù)的預(yù)期裂紋擴展。

1 圓柱內(nèi)特征應(yīng)力測試

由于混凝土硬化過程中的收縮、剛度和黏彈性以不同速率變化，因此難以采用合適的數(shù)學模型對混凝土硬化的復雜過程進行預(yù)測。為了測得水泥漿收縮產(chǎn)生的特征應(yīng)力，采用一種環(huán)向壓力傳感器，測試周圍水泥漿收縮時環(huán)向壓力傳感器中形成的特征應(yīng)力。

試驗中使用高收縮水泥漿體，通過添加大量的硅微粉來增加硬化過程中的早強性，加快混凝土早期的自收縮，水泥漿的組分分別為水泥、硅微粉、水和超塑化劑，按120:24:36:1 的比例混合混合均勻。環(huán)向壓力傳感器放置在圓柱形模型的中心(如圖1)，在傳感器周圍澆筑水泥漿，在水泥漿硬化過程中，通過環(huán)向壓力傳感器測試特征應(yīng)力，如圖2 所示，同時在顯微鏡(SAM-DENEB)下觀測試件缺口處裂紋的萌生及擴展情況。

從圖2 可以看出，大概在前16 h，水泥漿未出現(xiàn)裂紋，而大約22 h 左右，出現(xiàn)裂紋，而且隨時間增加裂紋逐漸增長，大約115 h 時，裂紋形成并貫穿整個試件。試驗中使用的水泥漿體硬化迅速，而且由于貫通裂紋是在超過100 h 形成的，因此在100 h的齡期內(nèi)，彈性模量和斷裂能幾乎保持不變。為了便于后面斷裂力學模型中的計算，采用Langmuir 函數(shù)關(guān)系對圓柱體中的測試壓力進行曲線擬合，曲線擬合曲線如圖2所示，擬合函數(shù)如式(1)所示，相關(guān)系數(shù)達0.979 3以上。

式中：pe為測試壓力，MPa；t為時間，h。

嵌入水泥漿柱體中心的環(huán)向壓力傳感器承受水泥漿自由收縮(εmf)作用，對傳感器的約束作用將產(chǎn)生夾緊壓力。假定應(yīng)力分布為平面，則傳感器承受的壓力(pe)在平面內(nèi)是靜壓力，傳感器上的壓力將產(chǎn)生線性彈性應(yīng)變(εs)，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

式中：Es和νs為傳感器的彈性模量和泊松比。

在水泥漿和傳感器界面的平衡條件下，傳感器對水泥漿基體施加均勻壓力，則水泥漿內(nèi)部的應(yīng)力可表示為：

式中：r1和r2分別為傳感器外徑和水泥漿基體外徑(如圖1)；σm(r)和τm(r)分別為水泥漿內(nèi)r位置的徑向和切向應(yīng)力。

將水泥漿基體的自由收縮率(εmf)與界面壓力引起的彈性應(yīng)變量(εm)疊加，得到水泥漿基體中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

式中：Em和νm為水泥漿基體的彈性模量和泊松比。

考慮水泥漿基體和傳感器界面(r=r1)的相容性(基體變形和傳感器變形相等)，則：

求解給出平面應(yīng)力條件下嵌入水泥漿收縮基體中的傳感器內(nèi)壓力的線性彈性解：

式中：cc為體積分數(shù)傳感器體積相對于總體積的比值。

式(7)中水泥漿彈性模量和收縮率的乘積控制著壓力，混凝土硬化過程中這2 種性能變化迅速。因此，在計算時必須對這些材料特性進行精確測試。應(yīng)力傳感器只能測量球體內(nèi)部的應(yīng)力，同時使用應(yīng)力測量的結(jié)果以及式(7)中的線彈性解來估計其他幾何形狀中的應(yīng)力。為此，引入了一個表示“有效剛度和收縮率(Emεmf)*”的參數(shù)。

當測得的特征應(yīng)力與式(7)中的線彈性解相等時，有效剛度和收縮率的乘積可表示為：

2 球內(nèi)特征應(yīng)力理論

在混凝土內(nèi)部，骨料總是包裹在水泥漿內(nèi)，在此，為了計算方便，假設(shè)骨料為球形，建立混凝土骨料水泥漿硬化過程的特征應(yīng)力模型，如圖3所示，其中，骨料半徑為R1，周圍均勻地包裹一層水泥漿，半徑為R2。

圖3 球形骨料水泥漿收縮特征應(yīng)力分析模型Fig.3 Eigenstress analysis model of spherical aggregate and cement paste

球形骨料受水泥漿自由收縮率(εmf)的約束，將在球體內(nèi)部產(chǎn)生壓力(p)。壓力與球形骨料的線彈性應(yīng)變(εa)相關(guān)，在靜壓力狀態(tài)，球形骨料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

式中：Ea和νa分別為骨料的彈性模量和泊松比。

在水泥漿的內(nèi)表面，需要一個均勻壓力p來平衡，則水泥漿內(nèi)部的應(yīng)力可表示為[14]：

式中：σm(R)和τm(R)分別為水泥漿內(nèi)部R位置的徑向和切向應(yīng)力。

水泥漿基體中的應(yīng)力與彈性應(yīng)變(εm)有關(guān)，水泥漿基體中的總應(yīng)變與彈性應(yīng)變和收縮應(yīng)變的關(guān)系可表示為：

式中：Em和νm分別為水泥漿的彈性模量和泊松比。

在傳感器和水泥漿界面處(R=R1)，應(yīng)其相容性要求，則有：

通過求解上述方程，得到球內(nèi)壓力的線彈性解為：

式中：ca為球體骨料體積與總體積(球體和水泥漿)的比值，。

將式(8)(有效剛度和收縮率的乘積)代入式(14)，即可得到水泥漿基體收縮中骨料的特征應(yīng)力：

3 斷裂力學模型

假設(shè)球形骨料附近存在裂紋尖端，由于水泥漿基體收縮作用在骨料上加緊壓力是裂紋擴展的驅(qū)動應(yīng)力?；贚EUNG[15]提出的2 種斷裂力學模型進行水泥漿基體的斷裂力學分析。該模型給出了裂紋尖端在加緊應(yīng)力下的應(yīng)力強度因子的上下界。通過將應(yīng)力強度因子與水泥漿基體的臨界應(yīng)力強度因子相等來確定臨界驅(qū)動應(yīng)力，進而確定裂紋擴展的臨界驅(qū)動應(yīng)力。

基于2條裂紋在骨料兩側(cè)無限大水泥漿基體擴展的假設(shè)，特征應(yīng)力p作為裂紋開口處的驅(qū)動應(yīng)力，在此采用線彈性斷裂力學模型。通過假設(shè)水泥漿基體和骨料之間的2種不同邊界條件，分析臨界應(yīng)力強度因子的上限和下限(如圖4 所示)[16]：1)假設(shè)水泥漿基體和骨料之間完全脫黏且無摩擦，推導臨界應(yīng)力強度因子的下限。2) 考慮水泥漿基體和骨料界面的完全結(jié)合，確定上限。

圖4 斷裂分析模型Fig.4 Fracture analysis model

對于光滑界面的應(yīng)力強度因子(Ka)可表示為：

對于完全結(jié)合界面的應(yīng)力強度因子(Kb)可表示為：

式中：F1和F2為裂紋長度a的函數(shù)，該長度a與骨料半徑R0歸一化處理。

為了使得2 個應(yīng)力強度因子Ka和Kb易于比較，它們應(yīng)具有相同類型的表達式，因此，引入2個依賴于歸一化裂紋長度(a/R0)的裂紋長度因子Fa和Fb，進而分別得到式(16)和式(17)的新的應(yīng)力強度因子表達式：

式(18)和式(19)表明邊界條件的差異僅受影響因子Fa和Fb的影響。

當應(yīng)力強度因子K大于或等于臨界應(yīng)力強度因子Kcr時，裂紋將擴展。臨界應(yīng)力強度因子是一種材料特性，用裂紋尖端平面應(yīng)力的假設(shè)來確定：

式中：Gm為水泥漿基體的斷裂能。

當應(yīng)力強度因子Ka和Kb與臨界應(yīng)力強度因子Kcr相等時，可獲得裂紋擴展的臨界驅(qū)動應(yīng)力pcr，在該臨界驅(qū)動應(yīng)力作用下，靠近骨料的裂紋將進一步擴展到水泥漿基體中。通過式(18)～(20)，獲得臨界壓力pcr的上限和下限。

對于光滑界面，臨界壓力成為裂紋擴展的下限壓力(pcr-low)：

對于完全結(jié)合界面，臨界壓力成為裂紋擴展的上限壓力(pcr-up)：

對于硬化基體材料，材料性能隨時間而變化，因此臨界壓力也隨時間而變化。

4 數(shù)值結(jié)果與分析

在假定傳感器和骨料的性質(zhì)相同的情況下，給定材料的物性參數(shù)如表1 所示，對式(15)中水泥漿材料性質(zhì)的影響進行計算，結(jié)果如圖5所示。

表1 材料物性參數(shù)Table 1 Material physical parameters

圖5 材料參數(shù)變化特性Fig.5 Variation characteristics of material parameters

圖5 為在表1 給定參數(shù)的情況下，根據(jù)式(15)計算得到的水泥漿基體參數(shù)變化對相對特征壓力變化的影響。從圖5中可以看出，水泥漿材料性能νm和Em/Ea對相對特征應(yīng)力的影響非常有限。因此，這些特性參數(shù)的時間的依賴性和黏彈性對計算特征應(yīng)力時的影響是無關(guān)緊要的，可以將其排除在分析之外。即通過使用與時間無關(guān)的線彈性材料特性和環(huán)形傳感器中特征應(yīng)力的測試結(jié)果，可以以合理的精度估算嵌入水泥漿體的骨料中的約束應(yīng)力。

圖6給出了裂紋長度因子隨著歸一化裂紋長度(a/R0)的變化規(guī)律。從圖6 可以看出，對于0.01 到3的歸一化裂紋長度，邊界條件的差異導致因子F1和F2隨著歸一化裂紋長度變化趨勢不同，F(xiàn)1隨著歸一化裂紋長度增大呈指數(shù)增大，而F2隨著歸一化裂紋長度增大呈指數(shù)減小[16]。這不僅使得應(yīng)力強度因子的表達式(16)和式(17)不同，而且因子變化趨勢也不同。為了獲得相同形式的應(yīng)力強度因子表達式(18)和式(19)，引入的裂紋長度因子Fa和Fb具有相同的變化趨勢，僅定量上存在差別。圖6還顯示了歸一化裂紋長度(a/R0)在0.64 和0.56 時2 個因子(Fa和Fb)的最大值(0.74 和0.45)，這種尺寸的裂紋很可能會進一步擴展到水泥漿基體中。

圖6 裂紋長度因子與歸一化裂紋長度的關(guān)系曲線Fig.6 Crack length factor on normalized crack length

假設(shè)水泥漿基體在超過100 h 時的臨界應(yīng)力強度因子為常數(shù)，并基于拉伸試驗測試的水泥漿體的彈性模量和三點彎曲法測試的水泥漿體的斷裂能(Em=22 GPa，Gm=5 N/m)[17]，可根據(jù)式(21)和式(22)計算得到隨歸一化裂紋長度變化的臨界壓力。在圖7 中分別給出了水泥漿基體(R0=10 mm)和骨料在光滑界面和完全結(jié)合界面時臨界壓力隨歸一化裂紋長度增大的變化規(guī)律。從圖7可以看出，臨界壓力對裂紋尺寸具有顯著的的依賴性，當裂紋尺寸較小時，臨界壓力隨裂紋尺寸增大急劇減小，在歸一化裂紋長度在0.5～0.7之間達到極小值，當裂紋尺寸較大時，臨界壓力隨裂紋尺寸增大緩慢增大。對于光滑界面，歸一化裂紋長度為0.64 時，最小臨界壓力為4.46 MPa；而完全結(jié)合界面，歸一化裂紋長度為0.56 時，最小臨界壓力為7.45 MPa。同時，同一歸一化裂紋長度時，光滑界面時的臨界壓力均小于完全結(jié)合界面時的臨界應(yīng)力，即光滑界面時比完全結(jié)合界面更容易導致裂紋擴展。而實際界面的臨界壓力介于光滑界面和完全結(jié)合界面裂紋擴展所需臨界壓力之間。

根據(jù)式(1)和光滑界面模型和完全結(jié)合界面模型，裂紋擴展的臨界時間隨歸一化裂紋長度的變化規(guī)律如圖8 所示。根據(jù)圖2 中的特征應(yīng)力和圖7中所示的臨界壓力，可以確定特征應(yīng)力等于給定裂紋長度(a)的臨界壓力的臨界時間。在圖8中，分別給出了完全結(jié)合界面和光滑界面的臨界時間與歸一化裂紋長度的函數(shù)關(guān)系。并使用式(1)中特征應(yīng)力關(guān)系式對臨界時間進行了預(yù)測(450 h測試時間之后)。從圖8 可以看出，在相同歸一化裂紋長度時，完全結(jié)合界面的裂紋擴展臨界時間遠大于光滑界面裂紋擴展臨界時間。同時，在歸一化裂紋長度0.64 時，光滑界面在115 h 時裂紋擴展；而在歸一化裂紋長度0.56 時，完全結(jié)合界面在673 h 時裂紋擴展。而且，對于完全結(jié)合界面，只有歸一化裂紋長度在一定范圍內(nèi)，才存在裂紋擴展臨界時間?？偠灾?，在水泥漿硬化過程中收縮時，水泥漿基體與骨料的完全結(jié)合界面難以導致裂紋擴展，而光滑界面更容易導致裂紋擴展，實際界面對應(yīng)裂紋擴展難易程度介于完全結(jié)合界面和光滑界面之間。

圖7 臨界壓力隨歸一化裂紋長度的變化規(guī)律Fig.7 Critical pressure on normalized crack length

圖8 臨界時間隨裂紋增長變化規(guī)律Fig.8 Variation of critical time with crack growth

5 結(jié)論

1) 水泥漿硬化過程中特征應(yīng)力隨時間的變化可采用Langmuir 函數(shù)關(guān)系進行擬合，相關(guān)系數(shù)達0.97以上。而且，水泥漿材料性能對相對特征應(yīng)力的影響非常有限。

2) 光滑界面和完全結(jié)合界面模型中裂紋長度因子均隨歸一化裂紋長度的增大先迅速增大而后緩慢減小，且歸一化裂紋長度分別在0.64 和0.56時2個裂紋長度因子的最大值分別為0.74和0.45。

3)臨界壓力和臨界時間隨著歸一化裂紋長度增大顯示急劇減小，而后緩慢增大，歸一化裂紋長度在0.5～0.7 之間臨界壓力和臨界時間存在極小值，即此時裂紋擴展所需要的驅(qū)動應(yīng)力最小，時間也最短。

4) 在水泥漿硬化過程中收縮時，實際界面的臨界壓力和臨界時間介于光滑界面和完全結(jié)合界面裂紋擴展所需臨界壓力和臨界時間之間，由此可以判斷水泥漿與骨料的結(jié)合程度。