?江蘇省溧陽市實驗初級中學(xué) 王麗潔

2021年江蘇鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷的函數(shù)壓軸題以知識探究的形式呈現(xiàn)，并將函數(shù)曲線與幾何旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，側(cè)重對軌跡意識、相對運(yùn)動的考查.把握動靜聯(lián)系，確定相對轉(zhuǎn)換是突破的關(guān)鍵，下面對其進(jìn)行深入探究.

1 問題呈現(xiàn)

考題(2021年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷第27題)學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個新的點P′，經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動時，點P′也隨之運(yùn)動，并且點P′的運(yùn)動軌跡能形成一個新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點A的坐標(biāo)、角度α的大小來解決相關(guān)問題.

【初步感知】

如圖1所示，設(shè)A(1，1)，α=90°，點P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動點，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P1(-1，1).

圖1

(1)點P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點P1′的坐標(biāo)為；

(2)若點P1′的運(yùn)動軌跡經(jīng)過點P2′(2，1)，求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

【深入感悟】

圖2

【靈活運(yùn)用】

圖3

2 解析探究

此題為探究性問題，題干首先給出了相應(yīng)的探究背景：點P繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α，可得P′，當(dāng)點P在某一函數(shù)圖象上運(yùn)動時，點P′的運(yùn)動軌跡可形成新圖形.顯然問題探究的核心是動點關(guān)聯(lián)，以及動點軌跡.問題探究共分三環(huán)節(jié)，下面逐問探究.

環(huán)節(jié)一:初步感知

該環(huán)節(jié)以一次函數(shù)圖象為背景，點P位于一次函數(shù)y=kx+b圖象上，旋轉(zhuǎn)過程為點P1(-1，1)繞著點A(1，1)順時針旋轉(zhuǎn)α=90°得到了點P1′.根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可得兩大條件：①P1A=P1′A=2(旋轉(zhuǎn)前后的點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等)；②∠P1AP1′=90°.

(1)根據(jù)點A和P1的坐標(biāo)可知兩點位于平行于x軸的直線y=1上，故旋轉(zhuǎn)后的點P1′與點A位于平行于y軸的直線x=1上，從而可確定點P1′(1,3).

評析：該環(huán)節(jié)是對幾何旋轉(zhuǎn)知識的強(qiáng)化，引導(dǎo)學(xué)生把握旋轉(zhuǎn)過程，提取其中的旋轉(zhuǎn)特性，掌握旋轉(zhuǎn)逆向推導(dǎo)的方法.

環(huán)節(jié)二:深入感悟

該環(huán)節(jié)以位于反比例函數(shù)圖象上點的旋轉(zhuǎn)為背景，且旋轉(zhuǎn)角度變?yōu)?5°，即點P繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°.

根據(jù)相對運(yùn)動，可將P視為固定點，將二、四象限角平分線繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后與x軸相重合.如圖4,過點P作x軸垂線，設(shè)垂足為B，連接PO.可證△PBO≌△P′MO，理由如下.

圖4

評析：上述對位于雙曲線上的點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角作了變更，探究三角形的面積時采用了相對運(yùn)動的策略，即將點的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為直線的旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點的相對位置是不變的，因此可將△P′MO視為是△PBO旋轉(zhuǎn)所得.

環(huán)節(jié)三:靈活運(yùn)用

圖5

圖6

3 評析思考

上述對一道探究性問題進(jìn)行了解析，其問題的特征及破解方法均具有一定的參考價值，下面深入反思.

3.1 關(guān)于問題特點的評析

本考題為探究性問題，共分“初步感知”“深入感悟”“靈活運(yùn)用”三個環(huán)節(jié).問題構(gòu)建有兩大特點：一是三個環(huán)節(jié)緊密相扣，步步深入，引導(dǎo)學(xué)生從簡單的一次函數(shù)深入到復(fù)雜的二次函數(shù)；二是環(huán)節(jié)設(shè)計針對性強(qiáng)，符合探究的思維過程.環(huán)節(jié)一注重基礎(chǔ)知識的強(qiáng)化，引出旋轉(zhuǎn)特性；環(huán)節(jié)二側(cè)重圖形旋轉(zhuǎn)，初步構(gòu)建相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換，具有一定的特殊性；環(huán)節(jié)三則上升到拋物線中，引出面積最值問題，具有極強(qiáng)的應(yīng)用性.問題設(shè)計思維連續(xù)性強(qiáng)，可幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)，總結(jié)方法，增強(qiáng)應(yīng)用，是函數(shù)與幾何相融合的典型代表.

3.2 關(guān)于問題解法的思考

動點軌跡、相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換是上述探究性問題重要的破題策略，尤其是相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換實現(xiàn)了“動點”與“定點”的互換，構(gòu)建了條件之間的聯(lián)系，簡化了解題思路.相對運(yùn)動是物理上重要的思想，即把原動點作為參照標(biāo)準(zhǔn)，將“動點”變?yōu)椤岸c”，將“定點”變?yōu)椤皠狱c”.相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換的使用需滿足兩大條件：一是運(yùn)動的點多于定點，如上述問題中繞著定點旋轉(zhuǎn)，顯然動點較多；二是動點關(guān)聯(lián)，具有一定的聯(lián)動性，如上述旋轉(zhuǎn)過程中動點位于同一直線或曲線上，則動點坐標(biāo)滿足對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.從幾何視角來看，動點圍成的圖形形狀和大小不發(fā)生改變，也是幾何旋轉(zhuǎn)的核心內(nèi)容.

4 方法拓展

上述考題采用相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換的方法，主要目的是為了串聯(lián)條件，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)前后圖形之間的聯(lián)系，利用原條件來求解.如環(huán)節(jié)二構(gòu)建S△OMP′=S△PBO關(guān)系，環(huán)節(jié)三利用原拋物線構(gòu)建面積最值模型.實際上通過相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換還可減少動點，使問題簡單化.

例題在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC為矩形，已知點A(5,0)，B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，可得矩形ADEF，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn).

(1)如圖7所示，當(dāng)點D落在BC上時，求點D的坐標(biāo)；

圖7

(2)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為△KDE的面積，求S的取值范圍.

解析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性，并在Rt△ADC中使用勾股定理即可求得BD=1，所以點D(1,3).

(2)求△KDE面積的取值范圍，只需考慮K，D，E三點即可，如圖8所示.但D和E兩點為動點，僅K為定點，三角形的面積不容易確定.

圖8

此時就可采用相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換來減少動點個數(shù)，即固定點D和點E，讓其回到初始位置，即點O和點B處，則可視為點K繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)的運(yùn)動軌跡如圖9所示.

圖9

評析：上述求解動態(tài)三角形的面積，采用相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換的方法構(gòu)建了“一動兩定”面積模型，實現(xiàn)了復(fù)雜問題簡化作答.

5 寫在最后

幾何旋轉(zhuǎn)是圖形運(yùn)動的一種方式，其中隱含著不變的規(guī)律.對于融合圖形旋轉(zhuǎn)的幾何探究題，可采用相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換的方法來分析其中的動靜關(guān)系，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)前后的條件聯(lián)系.相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換的思維難點是視角變換，具體探究可從物理視角思考，分析動靜條件以及條件之間的聯(lián)系，如點的對應(yīng)關(guān)系、運(yùn)動參照系等.

教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生用相對運(yùn)動的觀念看待問題，關(guān)注運(yùn)動過程，提取運(yùn)動規(guī)律，繪制動點軌跡，同時充分理解相對運(yùn)動轉(zhuǎn)換的目的.通過運(yùn)動轉(zhuǎn)換、圖形變換來增強(qiáng)學(xué)生的軌跡意識，提升數(shù)學(xué)思維.