孫瀟然

[摘 要]“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的重難點(diǎn)在于將行列法改成數(shù)對(duì)法，使方位符號(hào)化，初步建立直角坐標(biāo)系。為此，教學(xué)中，教師先以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則，創(chuàng)造數(shù)對(duì);再繞開(kāi)行列，引入數(shù)軸，接軌坐標(biāo);最后追本溯源，豐富結(jié)構(gòu)，凸顯符號(hào)思想。

[關(guān)鍵詞]數(shù)對(duì);確定位置;重點(diǎn);解讀;評(píng)析

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）05-0066-03

“用數(shù)對(duì)確定位置”是蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，此前學(xué)生已學(xué)過(guò)“第幾排第幾個(gè)”“第幾行第幾列”，其實(shí)這就是數(shù)對(duì)的知識(shí)，可教材為何還要編排“用數(shù)對(duì)確定位置”？有序數(shù)對(duì)“先列后行”的編排規(guī)定與日常生活中的“先行后列”的習(xí)慣相去甚遠(yuǎn)，教材為何非得使用數(shù)對(duì)表示位置？2011年版的課程標(biāo)準(zhǔn)中提到“讓學(xué)生在具體情境中，能在方格紙上用點(diǎn)表示位置，能將數(shù)對(duì)與點(diǎn)位一一對(duì)應(yīng)起來(lái)”，由此看來(lái)，用數(shù)學(xué)方法描述點(diǎn)的位置是教學(xué)總目標(biāo)，因此“方法”“過(guò)程”“思想”缺一不可，應(yīng)該整合起來(lái)。本課重難點(diǎn)是：將行列法改良成規(guī)范的數(shù)對(duì)法，扭轉(zhuǎn)和糾正學(xué)生“行在前，列在后”的習(xí)慣;使方位符號(hào)化，初步建立直角坐標(biāo)系。

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)則，創(chuàng)造數(shù)對(duì)

【教師1】

（出示電影院座位表，學(xué)生嘗試采用第幾排第幾個(gè)的方式來(lái)描述A觀眾的位置。）

師：如果請(qǐng)一位數(shù)學(xué)家來(lái)描述，他會(huì)用什么樣的語(yǔ)言來(lái)描述呢？

師（板書(shū)：（4，2））：你們覺(jué)得這兩個(gè)數(shù)字指的是什么？

生1：我認(rèn)為指的是從上往下數(shù)第4排，然后從左往右數(shù)第2個(gè)座位。

生2：我認(rèn)為是從下往上數(shù)第4排，然后從左往右數(shù)第2個(gè)座位。

生3：我覺(jué)得應(yīng)該是從下往上數(shù)第2排的第4個(gè)座位;也有可能是從上往下數(shù)第2排……

師（圈出所有可能的點(diǎn)）：怎么會(huì)有這么多種可能？（暴露數(shù)對(duì)指向不明的問(wèn)題）

師：老師再給出其他線索。A觀眾的好友也一起來(lái)看電影，他的座位用同樣編排規(guī)則的數(shù)對(duì)（2，1）來(lái)表示。（教師在座位表上標(biāo)出該友人的位置）

生4：這位友人的座位數(shù)對(duì)是（2，1），根據(jù)圖示，正好是第2列、第1排。這樣就清楚了，數(shù)對(duì)的前一個(gè)數(shù)表示列數(shù)，后一個(gè)數(shù)表示排數(shù)。A觀眾的座位位置數(shù)對(duì)是（4，2），說(shuō)明他的座位在第4列、第2排，都是從左往右數(shù)列，從下往上數(shù)行。

【教師2】

（出示座位表，學(xué)生采用第幾排第幾個(gè)的方式描述A觀眾的座位在哪里。）

師：大家都能很好地描述座位了，那么接下來(lái)要學(xué)習(xí)什么呢？

生：我覺(jué)得應(yīng)該有更簡(jiǎn)潔的表示方法。

師：那么到底可用什么方法來(lái)表示呢？現(xiàn)在就有請(qǐng)第四組的同學(xué)對(duì)“第3排第4個(gè)、第4排第3個(gè)”進(jìn)行壓縮改造，使其更簡(jiǎn)練。

（學(xué)生的探究結(jié)果如下：①4排3個(gè);②4～3;③4·3;④豎4橫3;⑤4↑3→;⑥4，3。）

師：每種方法似乎都很簡(jiǎn)練，到底哪一種才是正宗的數(shù)學(xué)方法呢？（生答略）

師：第⑥種方法才是正宗的數(shù)學(xué)方法：用行列來(lái)表示位置，并默認(rèn)將列數(shù)寫(xiě)在前，行數(shù)寫(xiě)在后。

【解讀與評(píng)析】雖然兩位教師對(duì)于數(shù)對(duì)的引入方式不同，但都是在對(duì)行列表示法進(jìn)行精簡(jiǎn)改良的基礎(chǔ)上引入數(shù)對(duì)法。前者直接出示數(shù)學(xué)家的“數(shù)對(duì)”表示法，讓學(xué)生根據(jù)一個(gè)已知數(shù)對(duì)和確切位置來(lái)推理兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而后者則是讓學(xué)生自主構(gòu)建編碼規(guī)則，然后甄選出最優(yōu)項(xiàng)。前者重在推導(dǎo)，后者重在探究。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)已經(jīng)很出色了，唯一值得商榷的是，這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是探尋“簡(jiǎn)潔方法”來(lái)確定座位，然后找到“有序數(shù)對(duì)”。然而“有序數(shù)對(duì)”就一定是最簡(jiǎn)潔的嗎？日常用語(yǔ)中的“第幾排第幾個(gè)”“第幾組第幾個(gè)”已經(jīng)通俗易懂、言簡(jiǎn)意賅了。如果硬要縮簡(jiǎn)，直接采用“幾排幾座”，比如“4排2座”，語(yǔ)意也很明確，而用（4，2），反而模糊了行列的界限。那么“有序數(shù)對(duì)”的價(jià)值在哪里？又用在哪里呢？其實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)已有明確的交代，即為了建立平面直角坐標(biāo)系的雛形。數(shù)對(duì)其實(shí)就是坐標(biāo)的前身，有了數(shù)對(duì)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離計(jì)算、動(dòng)點(diǎn)的軌跡描述就十分明了了。因此，在教學(xué)中應(yīng)將座位圖抽象成點(diǎn)陣圖（如圖1），并以點(diǎn)陣圖為背景來(lái)探究數(shù)對(duì)表示法，促進(jìn)學(xué)生建立動(dòng)態(tài)位移的數(shù)對(duì)認(rèn)知。比如，把點(diǎn)（1，5）每次右移1格，將會(huì)得到哪些點(diǎn)？（2，6）、（3，6）、（4，6）、（5，6）……（x，6），從這些點(diǎn)的坐標(biāo)中可發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？如果把點(diǎn)（2，5）不斷地上移或下移，得到的新坐標(biāo)會(huì)有什么規(guī)律？把點(diǎn)（1，2）、（2，3）、（3，4）連成線，會(huì)有什么奇特的現(xiàn)象？以此類(lèi)推，下一個(gè)點(diǎn)應(yīng)該是什么？等等。由此使有序數(shù)對(duì)成為描述位置的新方法，讓學(xué)生在新情境中感受數(shù)對(duì)表示法的優(yōu)越性和準(zhǔn)確性，并學(xué)會(huì)其規(guī)則。

數(shù)對(duì)的來(lái)源其實(shí)是為了解決平面坐標(biāo)的確定問(wèn)題，直線上的位置可以通過(guò)一個(gè)數(shù)來(lái)確定，而對(duì)于平面上的位置，由于存在橫縱坐標(biāo)，所以一個(gè)數(shù)字無(wú)法確定，投射到生活中就是對(duì)座位的確定和描述。一個(gè)平面內(nèi)的座位，需要借助對(duì)行和列的限定才能最終確定，這個(gè)行和列其實(shí)就是平面坐標(biāo)系里的橫軸、縱軸，而行數(shù)和列數(shù)就是橫縱坐標(biāo)，只不過(guò)表述的順序沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，生活中習(xí)慣先說(shuō)行后說(shuō)列，而坐標(biāo)系則是先橫后縱，列數(shù)就是橫坐標(biāo)，行數(shù)就是縱坐標(biāo)。再有，生活中的排列順序很隨意，行數(shù)的排列可以從左至右，也可以從右至左，列數(shù)的排列可以從上至下，也可以從下至上，而數(shù)學(xué)則是硬性規(guī)定的，橫坐標(biāo)從左至右，縱坐標(biāo)從下往上。

二、繞開(kāi)行列，引入數(shù)軸，接軌坐標(biāo)

數(shù)對(duì)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)是一年級(jí)的“方向”辨認(rèn)，還有二年級(jí)的“找位置”的行列描述法，將兩者結(jié)合起來(lái)就是數(shù)對(duì)表示法。經(jīng)驗(yàn)是一把雙刃劍，帶來(lái)便利的同時(shí)也會(huì)形成負(fù)遷移，能否避開(kāi)排與座、行與列這些慣用語(yǔ)呢？

【教師3】

師（出示座位表，如圖2）：誰(shuí)能找出王俊凱的位置？

生1：從左往右數(shù)第4個(gè)。

師：圖2有方向，也有數(shù)，像什么？

生2：數(shù)軸。

師：嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)該是橫著的數(shù)軸，也叫作“橫軸”，如果是豎著的數(shù)軸，則可稱(chēng)之為“豎軸”。

師：由生活中的位置可以聯(lián)想到數(shù)學(xué)中的數(shù)軸。有了數(shù)軸，描述位置就變得簡(jiǎn)單易行了。（教師出示電影院的座位表，再抽象成點(diǎn)陣，如圖3）

師：現(xiàn)在，如何表示王俊凱的位置？（學(xué)生探究后反饋交流）

生3：（4-3），（4·3），（4↑3→），（4，3）……

師：為了規(guī)范化，必須事先約定，先看所在列，再看所在行。列數(shù)一定，行數(shù)一定，位置也就唯一確定。為了以示區(qū)別，兩數(shù)之間使用逗號(hào)間隔。這樣的一對(duì)數(shù)稱(chēng)為數(shù)對(duì)，并用括號(hào)括起來(lái)表示，是一個(gè)整體。（板書(shū)：（4，3））

【解讀與評(píng)析】怎樣引出數(shù)對(duì)呢？利用已有經(jīng)驗(yàn)，先從一維數(shù)軸切入，橫著數(shù)就是從左至右，豎著數(shù)就是從下往上。因?yàn)槭墙柚鷶?shù)軸，所以在數(shù)軸箭頭的暗示下，數(shù)的方向非常明確。在二維坐標(biāo)系中，學(xué)生先嘗試描述位置，然后由教師介紹數(shù)對(duì)法——先從左到右橫著數(shù)，再?gòu)南峦县Q著數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)“先橫后豎”。這樣教學(xué)直接抽象成數(shù)學(xué)點(diǎn)位，刪減了實(shí)物對(duì)照，省去了優(yōu)化過(guò)程，直接硬性規(guī)定先橫看再豎看。想象力豐富的學(xué)生可能會(huì)在腦海中用符號(hào)“ ”過(guò)渡，而這先橫后豎的形象，正好對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的橫縱坐標(biāo)。用數(shù)軸教學(xué)，與生活化的“行列”描述法并不是格格不入的，如果是為了避開(kāi)錯(cuò)誤就棄用行列描述法，人為地將生活與數(shù)學(xué)割裂，也不利于學(xué)生從生活中抽象出坐標(biāo)系的模型。而教完點(diǎn)陣圖，再回歸座位圖，是一個(gè)不錯(cuò)的方法。

這種教法一開(kāi)始就將數(shù)對(duì)的最本質(zhì)特征暴露出來(lái)，先通過(guò)一排座位簡(jiǎn)單地引入，然后馬上抽象出橫向坐標(biāo)軸，因?yàn)閿?shù)軸自帶方向性，不需要重新規(guī)定橫軸的排列方向，接著自然提到將橫軸豎起來(lái)就是縱軸，這樣在類(lèi)比之下，學(xué)生不需要花太多時(shí)間來(lái)認(rèn)知縱軸。問(wèn)題集中在先確定橫坐標(biāo)還是先確定縱坐標(biāo)上，在象征性地讓學(xué)生自由描述王俊凱的坐標(biāo)位置后，教師直接提出硬性要求：必須統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，先看橫坐標(biāo)，再看縱坐標(biāo)。這樣規(guī)范的數(shù)對(duì)表示法就新鮮出爐了。最后回歸平面直角坐標(biāo)系，實(shí)際上就相當(dāng)于回歸到座位圖，后期學(xué)生就會(huì)先入為主地尊奉這種坐標(biāo)表示法，而行與列的說(shuō)法則沒(méi)有抬頭的機(jī)會(huì)。

三、追本溯源，豐富結(jié)構(gòu)，凸顯符號(hào)思想

用數(shù)對(duì)確定位置不能粗暴地將“行、列、排、座”進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，而是要有邏輯性地逐步推進(jìn)。點(diǎn)的位置在線性、平面、立體空間中的參照維度不一樣，有序數(shù)對(duì)是二維參照法。能不能根據(jù)空間延伸的層次性來(lái)展開(kāi)教學(xué)呢？

【教師4】

師：今天老師請(qǐng)來(lái)了岳云鵬為大家說(shuō)相聲，只不過(guò)他藏身于幕后。（在黑板上畫(huà)5個(gè)點(diǎn)）你們知道岳云鵬藏在哪里嗎？

生1（疑惑）：每個(gè)點(diǎn)都有可能，信息量不夠。

師（板書(shū)數(shù)字“2”）：現(xiàn)在呢？

生2：我覺(jué)得要么是順數(shù)第二個(gè)點(diǎn)，要么是倒數(shù)第二個(gè)點(diǎn)，皆有可能。

師（標(biāo)出方向“→”）：現(xiàn)在呢？

生3：從左至右第二個(gè)點(diǎn)。

師（畫(huà)出5行5列共25個(gè)點(diǎn)）：岳云鵬此時(shí)又在何處？（板書(shū)（2，5），隨后圈出所有可能的點(diǎn)）

師：還缺少什么信息？（畫(huà)→，↑）這是什么含義？這樣能幫你找到岳云鵬嗎？

師：沒(méi)錯(cuò)，就是從左至右第二列，從下往上第5行，可以用數(shù)對(duì)（2，5）表示。（2，5）在數(shù)學(xué)上叫數(shù)對(duì)，列在前，行在后，用括號(hào)括起來(lái)表示一個(gè)整體。你們會(huì)寫(xiě)了嗎？

【解讀與評(píng)析】以上教學(xué)中也用到了猜位置的游戲，略有不同的是，這是一個(gè)維度升級(jí)的發(fā)展變化過(guò)程：①在一維線段，確定點(diǎn)位只需要距離和方向，此時(shí)只需要一個(gè)數(shù)字和一個(gè)約定的方向。②在二維平面，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字和一個(gè)方向不夠用了，需要兩個(gè)數(shù)字和兩個(gè)方向才能確定。教師“還缺少什么重要信息”的問(wèn)題，既體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的尊重，又啟示學(xué)生繼續(xù)探索新的方法。像這樣建立在維度升級(jí)上的引入，把一個(gè)幾何概念的來(lái)龍去脈全部展示得清清楚楚。有的教師可能會(huì)質(zhì)疑這種方法難度過(guò)大，其實(shí)適當(dāng)加入數(shù)軸后，借助數(shù)軸，對(duì)應(yīng)關(guān)系更加明顯。畢竟，點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是數(shù)形結(jié)合思想的生動(dòng)體現(xiàn)。

很多教師都是將先學(xué)生置身于坐標(biāo)圖中，然后學(xué)生在錯(cuò)綜復(fù)雜的方位中慢慢摸索，像走迷宮一樣，教師再一步步引領(lǐng)學(xué)生找到合適的準(zhǔn)確描述位置的方法，期間還要不斷地強(qiáng)調(diào)和規(guī)定順序，這很容易讓學(xué)生迷失方向。而最后一種教法則可以完全避免上述麻煩。先讓學(xué)生猜測(cè)位置，再讓學(xué)生自己根據(jù)現(xiàn)實(shí)需要去創(chuàng)造規(guī)則和補(bǔ)充條件，由一個(gè)無(wú)序的坐標(biāo)排列入手慢慢豐富各種線索。先完善橫坐標(biāo)的各項(xiàng)要素，然后擴(kuò)充到平面二維坐標(biāo)，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，提出補(bǔ)充一個(gè)數(shù)字的需求，再根據(jù)數(shù)對(duì)（2，5）畫(huà)出所有可能的位置，重復(fù)前面的操作，讓學(xué)生自動(dòng)遷移第一次的經(jīng)驗(yàn)和做法，根據(jù)現(xiàn)實(shí)需要規(guī)定縱坐標(biāo)的方向。整個(gè)過(guò)程邏輯嚴(yán)密，絲絲入扣，學(xué)生排除一切干擾，順其自然地邊操作邊歸納出二維坐標(biāo)的位置確定法。

綜上，數(shù)學(xué)規(guī)則的形成既有人為規(guī)定的成分，又有科學(xué)發(fā)展的必然性，不同的解讀方式產(chǎn)生不同的目標(biāo)設(shè)定和教案。“教什么”與“怎么教”是一體兩面，不可偏廢。

（責(zé)編 羅 艷）