物理問題的數(shù)學(xué)建模例析
——基于云南省2021年中考物理第18題的反思

張?jiān)苿?/p>

（云南省德宏州民族初級(jí)中學(xué)，云南 芒市 678400）

許多物理問題一旦轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)模型來處理，就變得目標(biāo)明確、思路順暢，因此它是一種很重要的思維方法，在物理學(xué)中運(yùn)用廣泛.物理問題的數(shù)學(xué)模型的建立，都大致經(jīng)過以下幾個(gè)主要步驟：物理原型的分析、物理原型的簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)模型的建立.

1 物理原型的分析

對(duì)物理原形的認(rèn)真研究和分析，是建立數(shù)學(xué)模型的第一步，主要經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟.

（1）確定所要研究的物理系統(tǒng).物理學(xué)系統(tǒng)中，又可具體地分為力學(xué)系統(tǒng)、熱學(xué)系統(tǒng)、電磁學(xué)系統(tǒng)等，而適用于每一種具體物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論和方法是不同的，因此也就對(duì)應(yīng)于不同的數(shù)學(xué)模型.

（2）了解物理原型的基本特征.了解物理原型的基本特征，有利于數(shù)學(xué)理論和方法的選擇.

（3）確定物理原型的基本描述量.數(shù)學(xué)模型反映的就是系統(tǒng)中各物理量之間的數(shù)量關(guān)系，所以確定基本描述量對(duì)建立數(shù)學(xué)模型是十分重要的.

2 物理原型的簡(jiǎn)化

任何一個(gè)物理原型都是由各種復(fù)雜因素共同構(gòu)成的，這些因素彼此關(guān)聯(lián)，共同處于一個(gè)運(yùn)動(dòng)、發(fā)展和變化的體系之中.簡(jiǎn)化物理原型，就是要忽略次要因素，抓住主要因素；就是要忽略各因素之間的次要關(guān)系，而突出它們之間的主要關(guān)系.

物理原型的簡(jiǎn)化過程，實(shí)際上是對(duì)物理原型進(jìn)行簡(jiǎn)單化、理想化處理的過程，是一個(gè)質(zhì)的抽象的過程，是一個(gè)抓主要矛盾的過程.不經(jīng)過這個(gè)過程，考慮的因素太多，各因素間關(guān)系過于復(fù)雜，根本就無法建立簡(jiǎn)潔實(shí)用的數(shù)學(xué)模型.

3 數(shù)學(xué)模型的建立

建立數(shù)學(xué)模型，首先要根據(jù)物理原型的性質(zhì)選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論.其次是要將所選擇的數(shù)學(xué)工具與已有的物理規(guī)律緊密結(jié)合起來.第三是要合理巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法.

以上簡(jiǎn)要地論述了建立物理問題的數(shù)學(xué)模型的3個(gè)主要步驟.在實(shí)際的應(yīng)用中，3個(gè)步驟之間并不存在明顯的界限，它們是相互交叉、相互影響的整體工程.本文以2021年云南省中考物理第18題為例，分類說明建立物理問題轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用及步驟.

3.1 利用數(shù)學(xué)函數(shù)研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

首先，根據(jù)物體的受力情況可以確定物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們知道重力是質(zhì)量的一次函數(shù)；質(zhì)量是體積的一次函數(shù)……反之亦然，故如果確定了物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就可以得出物體的受力情況，這樣一來對(duì)確定物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律之類的物理問題就轉(zhuǎn)化為求物體的狀態(tài)量與物質(zhì)特性的函數(shù)關(guān)系問題.

例1.（2021年云南卷）如圖1所示，水中有一支長(zhǎng)14 cm、底部嵌有鐵塊的蠟燭，露出水面的長(zhǎng)度為1 cm.點(diǎn)燃蠟燭，至蠟燭熄滅時(shí)，對(duì)水容器底部產(chǎn)生的壓強(qiáng)_________（選填“變大”、“變小”或“不變”）.熄滅時(shí)蠟燭所剩長(zhǎng)度為_________cm.（ρ蠟=0.9×103kg／m3）

圖1

物理原型：合力概念.物理原型的分析：① 蠟燭長(zhǎng)度為h剛點(diǎn)燃時(shí)，處于漂浮狀態(tài)如圖2所示，蠟燭所受合力為零.蠟燭燃燒過程中引起質(zhì)量變化，而影響到蠟燭在液體的狀態(tài)，這些作用中，蠟燭所受的重力作用是蠟燭運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的根本動(dòng)力，起著決定性的作用，而鐵塊的重力、浮力不變可以忽略.這樣，研究的系統(tǒng)就可以確定為“蠟燭、水”二體力學(xué)系統(tǒng).② 原型的基本特征.蠟燭燃燒掉長(zhǎng)度為L(zhǎng)剛熄滅時(shí)，剩余蠟燭處于懸浮狀態(tài)如圖3所示，是可以準(zhǔn)確確定和預(yù)測(cè)的，屬于物體系的規(guī)則運(yùn)動(dòng).③ 確定基本描述量.蠟燭兩次運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與所受的重力、浮力有關(guān)，因此蠟燭的質(zhì)量m、蠟燭排開水的體積V排是基本描述量，并且蠟燭從開始點(diǎn)燃到熄滅m、V排是變量，剩余蠟燭的長(zhǎng)度h-L即為待求的量.

圖2

圖3

物理原型的簡(jiǎn)化：① 確定二體力學(xué)系統(tǒng).這實(shí)際就已經(jīng)對(duì)物理原型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，即排除了鐵塊的影響，突出了蠟燭的關(guān)鍵作用.② 忽略燃燒了的蠟燭，只考慮剩余蠟燭.③ 忽略蠟燭和剩余蠟燭的大小，把蠟燭和剩余蠟燭抽象為質(zhì)點(diǎn).這樣，物理原型就簡(jiǎn)化為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了.

數(shù)學(xué)模型的建立：因?yàn)橄灎T與水靜止是有確定性因果關(guān)系的運(yùn)動(dòng)，所以通常選用經(jīng)典數(shù)學(xué)理論所提供的方法.第2空演算過程如下.

解析：設(shè)蠟燭長(zhǎng)度為h，剛點(diǎn)燃受力分析如圖2所示.

因?yàn)槠?，故F浮=G總，

設(shè)燃燒掉蠟燭長(zhǎng)度為L(zhǎng)，剛熄滅受力分析如圖3所示，

因?yàn)閼腋?，故F浮=G總.

由（1）-（2）式得

整理得H／L=（ρ水-ρ蠟）／ρ水.

這個(gè)方程，即為我們要建立的蠟燭漂浮水面的數(shù)學(xué)模型.即H／L的關(guān)系.

數(shù)學(xué)模型建立后，就可以用純數(shù)學(xué)的方法，在考慮“初始條件”和“邊界條件”的情況下對(duì)方程求解.這是一個(gè)L與H的函數(shù)，蠟燭對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)狀態(tài)是剛點(diǎn)燃時(shí)漂浮和剛熄滅時(shí)懸浮.通過計(jì)算可以確定底部嵌有鐵塊的蠟燭，任意露出水面長(zhǎng)度為Hcm（H≤h／10，H大小由嵌鐵質(zhì)量調(diào)節(jié)）時(shí)刻燃燒至熄滅剩余蠟燭長(zhǎng)度.

當(dāng)H=1 cm；L=10 cm.

點(diǎn)評(píng)：本題涉及的知識(shí)主要有受力分析、二力平衡條件、阿基米德原理、物體的浮沉條件等.從知識(shí)體系看，這些內(nèi)容都屬于核心知識(shí)，而且與高中學(xué)習(xí)關(guān)系密切，重基礎(chǔ)可持續(xù)學(xué)習(xí).要求學(xué)生搞清漂浮蠟燭燃燒過程中，它的質(zhì)量在減小，浮力也會(huì)減小，它會(huì)逐漸露出水面.特別是漂浮蠟燭燃燒時(shí)，會(huì)將蠟燭芯附近的蠟熔化，外面的一層蠟因?yàn)樗睦鋮s不會(huì)熔化.隨著蠟燭不斷燃燒，蠟燭芯的位置越來越低，燭火就慢慢燃燒到水面下約1.8 cm左右，于是出現(xiàn)了如圖4所示“水火相容”的景象.最終，如圖5所示邊緣的蠟燭也會(huì)熔化，水便將蠟燭沖滅，剩余蠟燭在水中懸浮.

圖4

圖5

本題要抽象出燃燒蠟燭漂浮、懸浮模型，對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)理解能力的要求很高，要運(yùn)用純字母運(yùn)算建立數(shù)學(xué)模型才能求解.整個(gè)題目求解思路靈活、方法多樣，區(qū)分度很高，成為本卷“熱點(diǎn)”.深剖本題提煉出解決初中物理力學(xué)問題常用程序：（1）確定研究對(duì)象，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)和受力分析；（2）分析物理過程，按特點(diǎn)劃分階段；（3）選用相應(yīng)規(guī)律解決不同階段的問題，列出規(guī)律性方程；（4）找出關(guān)鍵性問題，挖掘隱含條件，根據(jù)具體特點(diǎn)，列出輔助性方程；（5）檢查未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是否匹配；（6）解方程組.

3.2 用數(shù)學(xué)函數(shù)定量（定性）分析物理量的變化

物理問題中經(jīng)常遇到某一物理量變化導(dǎo)致其它一些物理量的變化問題，這些問題的實(shí)質(zhì)用數(shù)學(xué)分析的觀點(diǎn)來看屬于討論函數(shù)y=f（x）中x發(fā)生變化y如何變化的問題.

例如例1中的第1空解析如下.

解析：設(shè)蠟燭長(zhǎng)度為h，剛點(diǎn)燃受力分析如圖2所示.

因?yàn)槠顟B(tài)，故F浮=G總.

燃燒蠟燭時(shí)G總變小，F(xiàn)浮變小，V排變小，h水變小.

ρ液=ρ水g h水=＞ρ水、g不變，h水變小，則ρ液變小.

3.3 用數(shù)學(xué)函數(shù)極值問題

極值問題是中學(xué)物理難點(diǎn)，解決這類問題的常用思維方法是建立所求極值的物理量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，在一定條件下求函數(shù)極值.

例2.（2020年云南卷）實(shí)驗(yàn)后，小明將一支5Ω的定值電阻與“標(biāo)有20Ω 1 A”的滑動(dòng)變阻器串聯(lián)在電壓恒定為3 V的電源上，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算出滑動(dòng)變阻器的最大功率為_______W.

對(duì)比例1（1）、例2兩題，異同點(diǎn)見表1.中考試題是命題專家團(tuán)隊(duì)集體智慧的結(jié)晶，也是全省考生和教師的一次學(xué)習(xí)成果和教學(xué)的檢驗(yàn)，無疑是教師教學(xué)的最佳素材，也是今后教學(xué)工作和研究的風(fēng)向標(biāo).縱觀近幾年的云南省中考物理試卷，其中力、電內(nèi)容向高中物理“滲透”的部分逐年增多，通過兩道題對(duì)比分析，現(xiàn)在的“壓軸題”不僅需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要具有巧妙解決具體問題的數(shù)學(xué)能力.因此，教師在物理教學(xué)過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

表1