由平方反比力引入等效勢能巧解競賽題

鄭 金

（凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500）

1 利用等效萬有引力與等效引力勢能

兩個或多個質(zhì)點(diǎn)通過萬有引力相互作用，只要推導(dǎo)出其中一個質(zhì)點(diǎn)受到萬有引力的合力的表達(dá)式，即可寫出等效引力勢能的表達(dá)式或者等效總能量的表達(dá)式.

例1.如圖1所示，宇宙中有4個可看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的恒星，它們穩(wěn)定地組成了一個邊長為L的正方形，求星體做勻速圓周運(yùn)動的速度.

圖1

解法1.由向心力公式和牛頓第二定律列方程［1］

每個星球受到其余三星萬有引力的合力大小為

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是推導(dǎo)每個星球受到的萬有引力合力大小的表達(dá)式，并且指明方向，判斷力心不動.

解法2.由機(jī)械能公式和機(jī)械能守恒定律列方程

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是推導(dǎo)合力與半徑的關(guān)系式并設(shè)置等效質(zhì)量M，再利用平方反比力的關(guān)系式得出等效勢能的關(guān)系式以及勻速圓周運(yùn)動對應(yīng)的等效機(jī)械能的關(guān)系式.要注意系統(tǒng)具有的引力勢能、每個星球在系統(tǒng)中具有的引力勢能以及每個星球在系統(tǒng)中具有的等效引力勢能的區(qū)別和聯(lián)系.位于正方形四個頂點(diǎn)的星球系統(tǒng)具有的引力勢能等于系統(tǒng)內(nèi)任意兩個星球的引力勢能的代數(shù)和，即

由此可見，對稱系統(tǒng)具有的引力勢能等于各星球具有的引力勢能之和的一半，每個星球在質(zhì)心參考系中具有的等效引力勢能等于每個星球在系統(tǒng)中具有的引力勢能的一半.

2 利用等效庫侖力與等效電勢能

兩個或多個帶電質(zhì)點(diǎn)通過庫侖力相互作用，只要推導(dǎo)出其中一個質(zhì)點(diǎn)受力的表達(dá)式，即可寫出等效電勢能的表達(dá)式或者等效總能量的表達(dá)式.

例2.如圖2所示，兩個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m和M，帶相等的正電荷q，相距為l，處在勻強(qiáng)電場內(nèi)，場強(qiáng)大小為E，方向從質(zhì)點(diǎn)m指向M.兩個質(zhì)點(diǎn)的初速度均為0，求它們在后續(xù)運(yùn)動過程中距離的最大值.假設(shè)質(zhì)點(diǎn)一直沿直線運(yùn)動，不計(jì)萬有引力.

圖2

解法1：利用勢能曲線以及對勾函數(shù)的性質(zhì)

分析質(zhì)點(diǎn)m和M的受力情況如圖3所示.［2］

圖3

若以質(zhì)點(diǎn)M為參考系，則質(zhì)點(diǎn)m受到慣性力的大小為F′=maM，方向水平向左.

在質(zhì)點(diǎn)M參考系中分析質(zhì)點(diǎn)m的受力情況如圖4所示.以向左為正方向，設(shè)距離變量為r，則質(zhì)點(diǎn)m受到的合力大小為

圖4

圖5

圖6

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)m在非慣性系中的受力關(guān)系式，并且寫出等效勢能的表達(dá)式，以利用勢能曲線來分析勢能的極值條件，從而得到所求結(jié)果.值得注意的是，在利用圖像法解題時，需靈活應(yīng)用對勾函數(shù)的一些性質(zhì)，包括圖像的形狀、函數(shù)取最小值的條件以及某一函數(shù)值對應(yīng)的共軛點(diǎn)方程x1·x2=x02.

解法2：利用運(yùn)動轉(zhuǎn)折點(diǎn)的特點(diǎn)以及求根公式

由于相對直線運(yùn)動距離存在最大值，則相對運(yùn)動存在轉(zhuǎn)折點(diǎn)，由于在轉(zhuǎn)折點(diǎn)的相對速度為0，則系統(tǒng)的勢能最大，等于開始時的總能量，因此轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的最大距離滿足方程U（r）=E=U（l），其中

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是推導(dǎo)系統(tǒng)的等效勢能的表達(dá)式，以便利用直線運(yùn)動轉(zhuǎn)折點(diǎn)的特點(diǎn)列方程，由此得到關(guān)于距離的一元二次方程，利用求根公式求極值.在解方程的過程中，為了便于書寫和運(yùn)算，需多次設(shè)置不同的參量符號；在求極值時，需把判別式的平方根與作用力的絕對值進(jìn)行聯(lián)系，以便進(jìn)行分類討論.

綜上可見，兩道物理競賽題都屬于平方反比力的問題，在解答過程中都需推導(dǎo)系統(tǒng)中一個質(zhì)點(diǎn)受到合力的表達(dá)式，以便得出等效勢能的表達(dá)式以及等效總能量的表達(dá)式，即可從能量的角度使問題迎刃而解.值得注意的是，若幾個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成相互作用的系統(tǒng)是對稱的，則系統(tǒng)的質(zhì)心靜止不動，那么各質(zhì)點(diǎn)繞系統(tǒng)的質(zhì)心做圓周運(yùn)動或橢圓運(yùn)動，只需以質(zhì)心為參考點(diǎn)；若系統(tǒng)由兩個相互作用的自由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，則需選擇一個質(zhì)點(diǎn)為參考系，引入慣性力，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)另一個質(zhì)點(diǎn)受到的合力，由此得出等效勢能的表達(dá)式.通過引入等效勢能，即可應(yīng)用能量守恒定律列方程，或者利用勢能曲線求極值，或者根據(jù)直線運(yùn)動轉(zhuǎn)折點(diǎn)的特點(diǎn)列方程，利用求根公式求極值.