用Mathematica軟件探究大小恒定有心力作用下物體的運(yùn)動(dòng)

呂俊君

（九江市同文中學(xué)，江西 九江 332000）

題.如圖1所示，質(zhì)量為m的物體被經(jīng)過(guò)光滑小孔的輕繩牽引，在光滑水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng).拉力為F時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力增大為6F時(shí)，物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)半徑為，則拉力對(duì)物體做的功為

圖1 原題圖

從解析推知命題者的意圖是考查“圓周運(yùn)動(dòng)”和“動(dòng)能定理”，看似無(wú)懈可擊.但筆者對(duì)該題的情境提出質(zhì)疑：“拉力從F增加到6F后，物體真的做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)嗎？這一情境是否真實(shí)？如果不是圓周運(yùn)動(dòng)，物體在什么范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)呢？軌跡又是什么形狀？”針對(duì)這些問(wèn)題筆者進(jìn)行了探究.

1 建立平面極坐標(biāo)系探究物體的運(yùn)動(dòng)范圍

如果運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力的作用線始終通過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)，我們就說(shuō)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力是有心力，而這個(gè)定點(diǎn)則叫做力心［1］.在該題情境中，無(wú)論拉力大小如何變化，拉力的方向始終指向定點(diǎn)（即光滑小孔），所以物體受到的力為有心力，在平面極坐標(biāo)系下研究比較方便.

如圖2所示建立平面極坐標(biāo)系，取小孔為極點(diǎn)O，物體做曲線運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，位矢為r.i為沿位矢方向的單位矢量，j為垂直位矢方向的單位矢量，將速度v分解成i和j方向的兩個(gè)分量，有

圖2

在方程（7）中，有心力為引力時(shí)F（r）取負(fù)值，為斥力時(shí)F（r）取正值.原題情境中，物體在拉力F作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初始條件為

2 物體的軌道微分方程

通過(guò)前面的探究已經(jīng)得到了物體的運(yùn)動(dòng)范圍，但物體的運(yùn)動(dòng)軌跡究竟是什么形狀？我們還需要獲得r，θ的關(guān)系式，即軌道方程，并在極坐標(biāo)下作出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡.

（16）式正是所求的軌道微分方程，叫做比耐公式.在原題情境中，F(xiàn)（r）為引力，取F（r）=-6F，并將（10）式代入（16）式得到物體的軌道微分方程為

3 用Mathematica軟件探究物體的運(yùn)動(dòng)軌跡

物體軌跡的微分方程是變系數(shù)常微分方程，［2］十分復(fù)雜，沒(méi)有辦法獲得其解析解.但我們可以借助Mathematica軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解.為了計(jì)算方便，取半徑R=1 m進(jìn)行分析，代入（18）式得

打開(kāi) Mathematica軟件，新建文檔，對(duì)方程（19）求數(shù)值解，輸入如下命令：

其中NDSolveValue表示求數(shù)值解，PolarPlot表示繪出極坐標(biāo)圖，｛x，0，2Pi｝表示極角的范圍，這里表示的是0-2π.如果要研究0-4π，則將命令行改為｛x，0，4Pi｝.隨后框選命令行內(nèi)容，選擇“計(jì)算單元”，即可作出運(yùn)動(dòng)軌跡圖像.

筆者分別在極角為0-2π，0-4π，0-8π，0-100π這四種情況下作出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3、圖4、圖5、圖6所示.

圖3 極角0-2π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 極角0-4π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 極角0-8π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖6 極角0-100π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

從圖中發(fā)現(xiàn)，物體轉(zhuǎn)動(dòng)1圈過(guò)程中，軌跡顯然不是圓形，且不能回到出發(fā)點(diǎn)，只能回到距離極點(diǎn)大約0.5 m的位置；當(dāng)物體轉(zhuǎn)了2圈時(shí)，依舊無(wú)法回到出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡看似凌亂，無(wú)規(guī)律可循；當(dāng)物體轉(zhuǎn)了4圈時(shí)，逐漸顯示出運(yùn)動(dòng)的范圍以及運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性；當(dāng)物體轉(zhuǎn)了50圈時(shí)，能夠明顯看出物體在一定范圍內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng).我們通過(guò)Mathematica軟件獲取坐標(biāo)的功能得知距離極點(diǎn)的最近距離約為0.333，最遠(yuǎn)距離為1.00，印證了本文第1節(jié)中“物體在距離極點(diǎn)與R的范圍之間做曲線運(yùn)動(dòng)”這一結(jié)論.

4 結(jié)論

通過(guò)極坐標(biāo)系下的定量計(jì)算和Mathematica軟件作出運(yùn)動(dòng)軌跡，我們得出結(jié)論：“原題中拉力變?yōu)?F后物體做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)這一條件不符合實(shí)際情境.事實(shí)上物體在距離極點(diǎn)與R范圍內(nèi)做往復(fù)的曲線運(yùn)動(dòng)，拉力6F時(shí)而做正功，時(shí)而做負(fù)功.故原題的情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)均不合理.”

在命制試題的過(guò)程中，應(yīng)該保證情境的真實(shí)性與可靠性，條件之間也應(yīng)該彼此自洽，不能為了刻意考查某個(gè)知識(shí)點(diǎn)而隨意編造.