俞瑜

【摘 要】本文以“圓柱的表面積”教學(xué)為例，探索在幾何教學(xué)中，通過(guò)為學(xué)生創(chuàng)建探索的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、比較等數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索新知，溝通與舊知之間的聯(lián)系;通過(guò)多維建構(gòu)，助力學(xué)生思維品質(zhì)的提升，讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以提升。

【關(guān)鍵詞】探索 深度學(xué)習(xí) 核心素養(yǎng)

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的四個(gè)領(lǐng)域之一。在這一板塊的學(xué)習(xí)中，通常需要學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等具體活動(dòng)來(lái)獲得感性認(rèn)識(shí)和理性思維。本文以“圓柱的表面積”教學(xué)為例，談一談如何在幾何教學(xué)中為學(xué)生創(chuàng)建探索的空間，促進(jìn)學(xué)生真正意義上的深度學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、逆向思維，化難為易，突破知識(shí)難點(diǎn)

學(xué)生接觸的長(zhǎng)方體和正方體都是由平面圖形圍成的幾何體，而圓柱作為旋轉(zhuǎn)體，表面既有平面又有曲面。因此，在教學(xué)圓柱的表面積計(jì)算時(shí)，如何突破曲面的面積計(jì)算成了教學(xué)難點(diǎn)。按照教材的編排，從圓柱的側(cè)面這個(gè)曲面入手進(jìn)行探究，提出“圓柱形罐頭側(cè)面的商標(biāo)紙的面積大約是多少平方厘米”這樣一個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考。教材引導(dǎo)學(xué)生沿著接縫把商標(biāo)紙剪開(kāi)，看展開(kāi)后的圖形與圓柱之間的關(guān)系，并提示學(xué)生思考兩個(gè)問(wèn)題：①這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓柱有什么關(guān)系？②怎樣計(jì)算圓柱的側(cè)面積？通常這一環(huán)節(jié)并不具有普遍的操作性，學(xué)生根據(jù)教材的示意圖，直觀建立商標(biāo)紙剪開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)方形這樣的表象，并沒(méi)有實(shí)際操作，經(jīng)歷知識(shí)生成的過(guò)程，建立長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓柱的底面周長(zhǎng)和高之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此曲面面積計(jì)算這一難點(diǎn)沒(méi)有得到很好的突破。同時(shí)，思路也將根據(jù)教材的安排被局限在“化曲為直”這一數(shù)學(xué)思想方法上。

那么，探索圓柱的側(cè)面積是否只能“化曲為直”呢？學(xué)生在課堂中能否人人操作探究，完成“化曲為直”的過(guò)程并進(jìn)行比較和思考呢？如果換一個(gè)角度，逆向思維，“化直為曲”操作的可能性就大了許多。

教學(xué)片段：

1.創(chuàng)建立體圖形，初步感知聯(lián)系

活動(dòng)一：用一張長(zhǎng)方形紙做出一個(gè)立體圖形

學(xué)生小組合作，積極思維，創(chuàng)建出多種幾何體（如圖1），并進(jìn)行交流展示。其中有圓柱、長(zhǎng)方體、三棱柱、八棱柱等多種立體圖形的側(cè)面。

圖1

師：不管你們?cè)趺醋?，得到的都是立體圖形的側(cè)面。仔細(xì)觀察你折出的立體圖形，它們與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有什么聯(lián)系？

（此時(shí)學(xué)生展開(kāi)立體圖形，又合攏，通過(guò)這一操作，直觀感受長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與立體圖形之間的聯(lián)系。）

生1：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)就是這個(gè)長(zhǎng)方體底面上長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形紙片的寬就是我折的這個(gè)長(zhǎng)方體的高。

生2：我的發(fā)現(xiàn)和他的差不多，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是這個(gè)三角形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬是這個(gè)立體圖形的高。

生3：長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)就是這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)（邊演示邊說(shuō)），長(zhǎng)方形的寬就是這個(gè)立體圖形的高。

生4：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱底面這個(gè)圓的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬是這個(gè)圓柱的高。

師：不管你折的立體圖形的底面是一個(gè)什么圖形，我們都發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬就是這個(gè)立體圖形的高。其他同學(xué)也有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎？

在此活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生折出了更多樣的立體圖形。其中折出長(zhǎng)方體是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)積累，其他的立體圖形都是課堂中的生成性問(wèn)題。不管折出的是怎樣的直棱柱，長(zhǎng)方形紙片所代表的都是立體圖形的側(cè)面。通過(guò)展開(kāi)、合攏地操作和直觀地觀察、比較，便能夠輕易得出底面周長(zhǎng)和高與長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)在此得到第一次突破。

2.創(chuàng)造不同圓柱，完成模型建構(gòu)

活動(dòng)二：用長(zhǎng)方形紙創(chuàng)建出一個(gè)圓柱

師：剛才有同學(xué)用長(zhǎng)方形紙圍出了圓柱，你也能用手中的紙圍出一個(gè)圓柱嗎？圍好后觀察你的圓柱和長(zhǎng)方形之間有什么聯(lián)系。

生1：我圍的圓柱的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高是長(zhǎng)方形的寬。

生2：我的圍法和她的不同。我圍的圓柱的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的寬，而圓柱的高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。

師：通過(guò)圍一圍，再展開(kāi)觀察，我們發(fā)現(xiàn)一種圍法是將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)作為圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬作為圓柱的高;另一種圍法是將長(zhǎng)方形的寬作為圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)作為圓柱的高。

第一次“化直為曲”，學(xué)生初步建立了立體圖形側(cè)面與長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬之間的聯(lián)系，第二次活動(dòng)則讓全體學(xué)生參與創(chuàng)造圓柱、探究圓柱側(cè)面與長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系。

3.溝通新舊聯(lián)系，形成知識(shí)遷移

出示圖2

師：同學(xué)們，通過(guò)剛才的兩次操作，我們成功地用一張長(zhǎng)方形紙片創(chuàng)建出了長(zhǎng)方體和圓柱?？?，用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)捵鳛榈酌嬷荛L(zhǎng)，能夠得到這兩種不同的長(zhǎng)方體，這是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)。同樣，用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)捵鳛榈酌嬷荛L(zhǎng)，也能夠得到兩種不同的圓柱。不管是哪一種折法，長(zhǎng)方形紙都圍出了它們的側(cè)面。

圖2

這幅圖的呈現(xiàn)，將兩次活動(dòng)串聯(lián)在一起，形成知識(shí)體系，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到圓柱側(cè)面與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系。兩次操作，既突破了難點(diǎn)，又溝通了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。

二、多維建構(gòu)，形成認(rèn)知，強(qiáng)化知識(shí)重點(diǎn)

深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，是將新知識(shí)整合進(jìn)原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程學(xué)習(xí)，從本質(zhì)上講就是由經(jīng)驗(yàn)引起的學(xué)習(xí)者原有觀念的轉(zhuǎn)變。這就需要在課堂中結(jié)合學(xué)生原有知識(shí)，多次進(jìn)行新知的模型建構(gòu)。圓柱表面積模型的建構(gòu)，可以從“做—畫(huà)—比—思”入手。

1.第一次建構(gòu)——做一個(gè)圓柱

活動(dòng)二中，用長(zhǎng)方形紙片折出圓柱體（實(shí)為圓柱的側(cè)面），學(xué)生完成了對(duì)圓柱側(cè)面積的模型建構(gòu)。因此，圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法水到渠成。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考圓柱完整的表面積的計(jì)算方法。

教學(xué)片段：

師：要補(bǔ)齊這個(gè)圓柱體，還需要補(bǔ)什么面？

生1：還需要補(bǔ)兩個(gè)底面。

師：你能計(jì)算出這兩個(gè)圓的面積嗎？怎樣計(jì)算？

生1：我想量圓的直徑，然后算出半徑，再根據(jù)圓面積的公式算出圓的面積。

師：在一個(gè)圓中量它的直徑，需要找到……（圓心），在測(cè)量之前，我們還要先想辦法找到圓的圓心。

（與學(xué)生達(dá)成共識(shí)，這個(gè)方法在測(cè)量時(shí)有難度。）

師：有更好的辦法嗎？你能聯(lián)系長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬來(lái)進(jìn)行思考嗎？

生2：可以量長(zhǎng)方形的一條邊，根據(jù)底面周長(zhǎng)反過(guò)來(lái)推算出圓的半徑，這樣就能算出圓的面積了。

師：你們認(rèn)為這個(gè)方法怎么樣？

生3：比直接測(cè)量圓的直徑簡(jiǎn)單。

師：是的，同學(xué)們，這一次你們化曲為直，找到了便捷的方法。

學(xué)生通過(guò)自主性地思考，發(fā)現(xiàn)圓柱的表面積需由三個(gè)面組成，并通過(guò)比較、討論達(dá)成共識(shí)：需要量長(zhǎng)方形的一條邊，根據(jù)周長(zhǎng)算出半徑，再一次鞏固了對(duì)圓柱底面周長(zhǎng)和長(zhǎng)方形邊之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。通過(guò)這次操作，學(xué)生完整建立起圓柱表面積的整體模型，找到求圓柱底面積的關(guān)鍵所在，抓住了知識(shí)重點(diǎn)。

2.第二次建構(gòu)——畫(huà)一個(gè)圓柱

活動(dòng)要求：在方格紙上畫(huà)一個(gè)圓柱

通過(guò)畫(huà)圓柱展開(kāi)圖，將立體圖形轉(zhuǎn)化到平面，完成對(duì)圓柱表面積模型的整體認(rèn)知。由整體到部分，再由部分組成整體，符合立體圖形認(rèn)知的一般規(guī)律。

3.第三次建構(gòu)——比較相同點(diǎn)

比較圓柱表面積和長(zhǎng)方體的表面積在計(jì)算方法上有什么共同點(diǎn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)表面積都等于側(cè)面積+兩個(gè)底面積。從實(shí)物直觀（紙折圓柱）到模型直觀（平面圖）到語(yǔ)言直觀（比較相同點(diǎn)），從具象到抽象，完成了圓柱表面積模型的三次建構(gòu)，同時(shí)完善了學(xué)生的認(rèn)知體系，培養(yǎng)了思維素養(yǎng)和空間觀念。

4.第四次建構(gòu)——回顧本節(jié)課的收獲

讓學(xué)生在課的尾聲談一談本節(jié)課的收獲，學(xué)生通過(guò)表達(dá)彰顯了思維過(guò)程，也對(duì)自我進(jìn)行了審視。通過(guò)總結(jié)、反思，才能檢驗(yàn)學(xué)生是否真正地理解了所學(xué)知識(shí)，深度學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生。

三、前延后展，提升素養(yǎng)，關(guān)注知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)

“圓柱的表面積”是學(xué)生在直觀地認(rèn)識(shí)圓柱和球、認(rèn)識(shí)圓、圓的周長(zhǎng)和面積，以及學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體的特征、表面積及體積的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中積累了豐富的圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。因此，在探索圓柱表面積計(jì)算方法時(shí)，充分利用之前知識(shí)來(lái)進(jìn)行切入。圓柱表面積的計(jì)算方法適用于所有直柱體。在設(shè)計(jì)兩次探究活動(dòng)時(shí)，由特殊性到普遍性，通過(guò)聯(lián)系舊知，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了遷移，激發(fā)了學(xué)生探究的熱情，主動(dòng)拓展到三棱柱的側(cè)面積=三角形的周長(zhǎng)×高，八棱柱的側(cè)面積=八邊形的周長(zhǎng)×高……即都是用底面周長(zhǎng)×高，學(xué)生找到了解決這一類型題目的方法，進(jìn)行知識(shí)的延展，形成了基本的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)學(xué)生深入知識(shí)的內(nèi)核，獲取知識(shí)之外重要的思維價(jià)值，促進(jìn)知識(shí)與思維的協(xié)同發(fā)展。當(dāng)教材以規(guī)范化的形式進(jìn)行內(nèi)容編排、知識(shí)固定時(shí)，學(xué)習(xí)活動(dòng)可以打破傳統(tǒng)模式，逆向而上，通過(guò)多維建構(gòu)，為學(xué)生創(chuàng)造探索的空間，幫助學(xué)生構(gòu)建模型，提升幾何直觀，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)深度的理解。

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