數(shù)學(xué)概念教學(xué)的四個(gè)視角

沈秋喜　錢艷妮

【摘 要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解和把握，有效的概念教學(xué)成為探討的方向。筆者以“長方形和正方形的面積計(jì)算”為例，在真實(shí)情境中，經(jīng)歷深層想象和多次推理，理解長方形和正方形面積的本質(zhì)，體會(huì)面積計(jì)算的價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 概念教學(xué) 面積計(jì)算

數(shù)學(xué)概念在建構(gòu)學(xué)生知識體系的過程中起著舉足輕重的作用，它直接影響著學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維、空間想象和實(shí)踐創(chuàng)新等一系列核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。研究數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解和把握，然而概念的高度抽象性、概括性成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的攔路虎。因此如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)就成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究不變的主題。下面筆者就以蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“長方形和正方形的面積計(jì)算”的教學(xué)為例，談?wù)劸唧w的做法。

一、創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，感悟概念本質(zhì)

（一）在真實(shí)情境中喚醒已有經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)不再是簡單的掌握知識，而是要以知識為載體培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。因此，教師在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)，可以選擇學(xué)生熟悉的、與真實(shí)生活相關(guān)的情境作為切入點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)到原來生活中存在著許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的現(xiàn)象，感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，上課伊始，筆者創(chuàng)設(shè)小羊們玩俄羅斯方塊游戲的情境，并從游戲中選取3種形狀不同的圖形（如圖1）。

學(xué)生借助1平方厘米的小正方形去估算這些圖形的面積。學(xué)生在觀察比較中發(fā)現(xiàn)，雖然這些圖形的形狀各不相同，但它們的面積都是4平方厘米。從而讓學(xué)生體會(huì)到面積作為事物的一種屬性，和長度一樣是可以度量的，并初步感受圖形面積的大小和單位面積的小正方形的個(gè)數(shù)有關(guān)，為后續(xù)學(xué)習(xí)長方形面積奠定基礎(chǔ)。

（二）在真實(shí)情境中提出驅(qū)動(dòng)性問題

驅(qū)動(dòng)性問題能激發(fā)學(xué)生的注意力，使其主動(dòng)投入數(shù)學(xué)知識的探索中，學(xué)生通過解決問題能促進(jìn)對知識本質(zhì)的深度理解。在驅(qū)動(dòng)性問題的引領(lǐng)下，學(xué)生自主產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，從而在多個(gè)維度進(jìn)行持續(xù)思考、自主探索。在教學(xué)過程中，設(shè)計(jì)小羊們想知道長方形油菜花田面積的驅(qū)動(dòng)性問題，引發(fā)學(xué)生思考：當(dāng)長方形的面積很大時(shí)，再用單位面積的小正方形去測量就變得不太現(xiàn)實(shí)，有沒有更好的方法可以知道長方形的面積呢？學(xué)生憑借已有的生活經(jīng)驗(yàn)和敏銳的直覺猜想：長方形的面積與長方形的長和寬有關(guān)。甚至有學(xué)生說出長方形的面積就是用長乘寬。但是“為什么長方形的面積是用長乘寬來計(jì)算的呢”？學(xué)生還處在知其然而不知其所以然的認(rèn)知層面，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生探究來尋找長方形面積背后更為本質(zhì)和核心的概念或思想。

二、經(jīng)歷深層想象，領(lǐng)悟概念本質(zhì)

想象是人腦對已有的表象經(jīng)過加工、改造，產(chǎn)生新的表象和思維的過程。在教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生掌握面積計(jì)算的方法，更要讓學(xué)生感悟面積的本質(zhì)含義，引導(dǎo)學(xué)生的思維走向深處。如果只是用1平方厘米的小正方形擺幾個(gè)長方形，或用1平方厘米的小正方形去鋪滿已知長、寬的長方形，再從數(shù)據(jù)與圖形的直觀比較中直接得出長方形的面積計(jì)算公式，那么操作只是停留在擺一擺、數(shù)一數(shù)、算一算的直觀現(xiàn)象展示上，學(xué)生并沒有真正理解為什么長方形的面積和長與寬有關(guān)。為了讓學(xué)生真正深入探究過程，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的深層想象，充分理解這里的長、寬分別代表的是每個(gè)單位面積個(gè)數(shù)和行數(shù)，讓學(xué)生思維從一維長度向二維面積發(fā)展。

（一）密鋪——具象

師：如何求出這個(gè)長方形的面積呢？踏實(shí)、認(rèn)真的暖羊羊首先想到了擺一擺的方法，如圖2。

師：這個(gè)長方形里包含了幾個(gè)小正方形？

生：12個(gè)。

師;你是怎么知道的？

生：4×3=12（個(gè)），12個(gè)1平方厘米的小正方形，所以面積就是12平方厘米。

師：這里的4指的是什么？3指的又是什么呢？

生：每排擺4個(gè)，擺了3排。

師：那么如何求小正方形的個(gè)數(shù)呢？

生：用每排個(gè)數(shù)×排數(shù)求出小正方形的個(gè)數(shù)是12個(gè)，所以面積就是12平方厘米。

（二）“半鋪”——半抽象

師：愛動(dòng)腦筋的美羊羊，只用了6個(gè)小正方形就知道了長方形的面積。你知道它是怎么擺的嗎？

生：沿著長擺4個(gè)，沿著寬擺3個(gè)，如圖3。

師：為什么這樣擺也能求出長方形的面積呢？

生1：沿著長擺4個(gè)。

生2：沿著寬擺3排。

師：仔細(xì)觀察，這里的每排個(gè)數(shù)和排數(shù)分別和長方形的什么有關(guān)呢？

生：長方形的長就是每排個(gè)數(shù)，長方形的寬就是排數(shù)。

（三）想象——抽象

師：喜羊羊也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)秘密，但它一個(gè)都不用擺，就能知道長方形的面積。你知道它是怎么想的嗎？

生：如圖4，長4厘米，寬3厘米，面積就是4×3=12平方厘米。

師：為什么4×3就是面積呢？

生：沿著長可以擺4個(gè)，沿著寬能擺3排，一共有12個(gè)小正方形，所以它的面積就是12平方厘米。

師：這里的長是4厘米就是有4個(gè)1厘米，每個(gè)1厘米就可以想象成1個(gè)小正方形。寬是3厘米就可以想象成3個(gè)小正方形。

師：看來每排個(gè)數(shù)和排數(shù)確實(shí)和長方形的長和寬有關(guān)。為什么用長×寬就能求出長方形的面積呢？

生：長就是每排個(gè)數(shù)，寬就是排數(shù)，長方形的面積就等于長乘寬。

由于學(xué)生在認(rèn)識面積意義時(shí)，已經(jīng)有用單位面積的小正方形鋪滿長方形的操作經(jīng)驗(yàn)，所以在用情境喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)后，可以讓學(xué)生通過想象經(jīng)歷用1平方厘米的小正方形分別把長方形鋪滿，再到“半鋪”，最后到不鋪的完整過程。第一，在“鋪滿”中發(fā)現(xiàn)，要知道長方形的面積，只要知道小正方形的個(gè)數(shù)，而小正方形的個(gè)數(shù)=每排個(gè)數(shù)×排數(shù)，初步感知長方形的面積與長方形的長和寬有關(guān);第二，在“半鋪”中發(fā)現(xiàn)每排個(gè)數(shù)對應(yīng)長方形的長，排數(shù)對應(yīng)長方形的寬，體會(huì)長方形的面積與長方形的長和寬有關(guān);第三，在“想象”中揭示長方形的面積與長方形的長和寬的關(guān)系;第四，在深層思考中推理出長方形的面積公式。學(xué)生的思維從具象到半抽象，再到抽象，層層遞進(jìn)，反復(fù)感受，充分感悟圖形的面積需要兩個(gè)維度的數(shù)值來刻畫的特點(diǎn)。學(xué)生掌握了推理長方形面積公式的方法后，正方形的面積公式可以用由此及彼的推理方式得到。

三、借助多次推理，凸顯概念本質(zhì)

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，是發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界的重要途徑。在推理的過程中，考查的對象數(shù)量越多，那么推理的過程就會(huì)更加深入，結(jié)論的可靠性也更強(qiáng)。有效利用幾何畫板的可變化的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)豐富的表象為合情推理提供更多的例子，而后推理出長方形和正方形的面積公式?？梢苑譃?個(gè)階段推進(jìn)（如圖5）：

（1）寬保持不變，長變大;（2）長保持不變，寬變大;（3）長和寬同時(shí)變大;（4）想象超出屏幕更大的長方形。長和寬在不斷地變化，學(xué)生進(jìn)行對應(yīng)的想象：沿著長擺幾個(gè)，沿著寬擺幾個(gè)，一共有多少個(gè)單位面積，面積是多少，把學(xué)生的思維由“長方形的面積=每排個(gè)數(shù)×排數(shù)”抽象到“長方形的面積=長×寬”。借助多媒體課件連續(xù)改變圖形的長和寬，讓學(xué)生直觀地看到長和寬與面積之間的聯(lián)系，使得學(xué)生對面積的認(rèn)識不只停留在公式的記憶上，而是對面積的本質(zhì)有了更深刻的理解，即圖形中面積單位的總個(gè)數(shù)。此時(shí)，學(xué)生的思維更加清晰，推理的空間也變得更為廣闊，從有限走向無限，從而增加了推理所得結(jié)論的可靠性，也讓學(xué)生的推理思維得到發(fā)展。

四、內(nèi)化提升練習(xí)，深化概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程，必須遵循數(shù)學(xué)學(xué)科特性和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過不斷地分析、綜合、運(yùn)算、推理、判斷來完成。因此，練習(xí)在考慮基礎(chǔ)性、針對性的同時(shí)，應(yīng)體現(xiàn)面積本質(zhì)的應(yīng)用，有利于學(xué)生深化理解，形成技能。因此，本節(jié)課設(shè)計(jì)了如下練習(xí)。

（1）圖6中每個(gè)小正方形表示1平方厘米，你能算出長方形的面積是多少平方厘米嗎？

（2）如圖7，你能知道這張照片原來的面積是多少嗎？

（3）思考：村主任用18米長的籬笆圍一個(gè)長方形的花壇，這個(gè)長方形可能是怎樣的？你能分別求出它們的面積嗎？

練習(xí)的設(shè)計(jì)不但要對教材中的習(xí)題進(jìn)行有效的利用和整合，還要設(shè)計(jì)有層次、有梯度的練習(xí)。第（1）題是基礎(chǔ)題，可以幫助學(xué)生鞏固對長方形和正方形面積計(jì)算公式的理解和應(yīng)用;第（2）題是變式題，可以促進(jìn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力的提升。在這兩個(gè)練習(xí)中，長方形的長和寬并沒有直接出示，而需要學(xué)生通過觀察并推斷出長和寬后，才能利用面積公式計(jì)算出長方形的面積。第（3）題是拓展題，可以讓學(xué)生的思維“跳一跳”，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。特別是最后一問，周長和面積本身就是易混淆的兩個(gè)概念，學(xué)生通過思考得到4種不同的長方形，在對比和觀察中發(fā)現(xiàn)，雖然長方形的周長不變，但長和寬都在變化，所以面積也在不斷地變化，從而更深入地理解面積的本質(zhì)。教師繼續(xù)以此為推理的基礎(chǔ)材料，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：寬還能繼續(xù)變小嗎？學(xué)生意識到寬還能變成更小的1分米，那么長就是89分米。教師以此為思考點(diǎn)，最后提出兩個(gè)問題：（1）照這樣能變成多少個(gè)不同的長方形？寬逐漸接近幾？這時(shí)長又有什么變化呢？（2）如果兩個(gè)長方形中的寬分別為1分米、1厘米，我們又該如何用以米作單位的小數(shù)來表示？這時(shí)我們又可以用怎樣的小正方形來測量面積呢？在這樣的深度思考中，不僅滲透了趨于無窮的極限思想，學(xué)生的思維空間也得到了擴(kuò)大，思維的自由度得到了提升。讓思維向深處漫延，也是為小數(shù)范圍面積計(jì)算的理解埋下伏筆。

綜上所述，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)抓住概念的本質(zhì)屬性，充分借助想象和推理展開探索過程，在探索的過程中促進(jìn)對本質(zhì)屬性的理解和內(nèi)化，從中汲取思維的力量，幫助學(xué)生成為心智自由的學(xué)習(xí)者，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。