數(shù)學(xué)活動(dòng)：在深度參與中獲得深切體驗(yàn)
——以蘇科版數(shù)學(xué)八（上）活動(dòng)課“探尋勾股數(shù)”為例

■鐘 鳴 胡秉中

數(shù)學(xué)活動(dòng)課是課程內(nèi)容“綜合與實(shí)踐”的基本實(shí)施方式。開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的目的是拓寬學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。下面，筆者以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第三章“勾股定理”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課“探尋勾股數(shù)”為例，基于課程基本理念，圍繞深度參與，設(shè)計(jì)了一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課，旨在讓學(xué)生深度參與活動(dòng)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的深切體驗(yàn)。

一、活動(dòng)構(gòu)思

勾股數(shù)相伴勾股定理而產(chǎn)生，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有獨(dú)特的文化價(jià)值。帶領(lǐng)學(xué)生探尋勾股數(shù)，感受數(shù)學(xué)家構(gòu)造勾股數(shù)的基本方法，既是對(duì)勾股定理知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固，又能夠訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。

學(xué)生學(xué)習(xí)了勾股定理，知道了一些簡(jiǎn)單的勾股數(shù)、勾股定理及其逆定理，也能夠利用勾股定理解決簡(jiǎn)單的問題，但對(duì)于大量的勾股數(shù)及其構(gòu)造方法還不了解。學(xué)生雖然具備聯(lián)想的基本能力，但對(duì)于一些不太明顯的勾股數(shù)的形式特征和跨度較大的知識(shí)，聯(lián)想能力較弱。由勾股數(shù)的形式特征聯(lián)想到完全平方公式，對(duì)于學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn)，需要教師在探尋的過程中對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)。

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者確定本節(jié)課的活動(dòng)目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用已有知識(shí)解決問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；經(jīng)歷用多種方法探索勾股數(shù)，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值；經(jīng)歷克服困難、取得成功的過程，獲得一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

二、活動(dòng)過程

1.課前活動(dòng)：奠定深度參與的基礎(chǔ)。

［活動(dòng)1］以“勾股數(shù)”為關(guān)鍵詞，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜索，查閱文獻(xiàn)，了解“勾股數(shù)”的發(fā)展歷史和構(gòu)造方法。

［設(shè)計(jì)意圖］深度參與是“全員、全程、全面”的“三全”參與。在借助信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)搜集學(xué)習(xí)資源的環(huán)節(jié)中，所有學(xué)生都能投入到現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，為課上交流提供了豐富的學(xué)習(xí)素材。

2.課上交流：促進(jìn)深度參與的形成。

［問題1］根據(jù)你的課前研究，說一說你已經(jīng)知道的勾股數(shù)有哪些？

生：3、4、5；3k、4k、5k；5、12、13；5k、12k、13k；7、24、25；7k、24k、25k；9、40、41；9k、40k、41k……

隨后教師給出一些數(shù)，讓學(xué)生判斷這些數(shù)是不是勾股數(shù)。

［問題2］歷史上，不少數(shù)學(xué)家都對(duì)勾股數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行了積極的探索，你能跟大家分享數(shù)學(xué)家探索的結(jié)果嗎？

生1：柏拉圖給出了一個(gè)計(jì)算公式，a=n2-1，b=2n，c=n2+1，其中n為大于1的整數(shù)。

追問：你能證明a、b、c是勾股數(shù)嗎？

師總結(jié)：歷史上，數(shù)學(xué)家對(duì)勾股數(shù)的探索很多，不少數(shù)學(xué)家給出了不同的勾股數(shù)的計(jì)算公式，每個(gè)公式都可以計(jì)算出無(wú)數(shù)多組勾股數(shù)。那么，這些計(jì)算公式是怎么構(gòu)造出來的呢？

［設(shè)計(jì)意圖］深切體驗(yàn)是“深刻、切實(shí)、親身”的具體化體驗(yàn)。從勾股數(shù)類別、數(shù)學(xué)史的角度介紹勾股數(shù)，將數(shù)學(xué)文化滲透其中，學(xué)生的感受是切實(shí)的，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，自然地引出了課題。

［活動(dòng)2］用學(xué)過的知識(shí)探尋怎么構(gòu)造勾股數(shù)。

［問題3］構(gòu)造勾股數(shù)，就是要找到3個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“兩個(gè)數(shù)的平方和（或差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”，即滿足如下形式：（ ）2±（ ）2=（ ）2。想想看，在我們學(xué)過的知識(shí)中，哪類知識(shí)也有這種形式？

生2：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2。

生3：（a+b）2-（a-b）2=4ab。

師：哪個(gè)式子最接近a2±b2=c2的形式？

生4：生3給出的式子。

師：a、b既可以表示數(shù)，也可以表示式子。當(dāng)a、b表示什么式子的時(shí)候，可以讓ab變成平方式呢？

生5：a=b3時(shí)，此時(shí)原式變?yōu)椋╞3+b）2-（b3-b）2=（2b2）2。

師：很好，這時(shí)我們得到勾股數(shù)：b3+b，b3-b，2b2。

生6：老師，這和柏拉圖公式是一樣的：b（b2+1），b（b2-1），b·2b。

師：對(duì)的，你看得非常仔細(xì)。a、b還可以表示什么式子，從而使ab變成平方式呢？

生7：a=m2，b=n2。

師：很好，這樣得到的勾股數(shù)計(jì)算公式，就是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的計(jì)算公式：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m>n，m、n為正整數(shù)。如果在古代，你們就是大數(shù)學(xué)家了。

師總結(jié)：利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的平方差公式，可以構(gòu)造勾股數(shù)的計(jì)算公式——柏拉圖公式和丟番圖公式。

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想、對(duì)比、探索，了解勾股數(shù)計(jì)算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷類似數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

［活動(dòng)3］請(qǐng)?jiān)诒?中填寫對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)。

表1

［問題4］觀察勾股數(shù)3、4、5，16、63、65，20、99、101……它們有什么共同點(diǎn)？你能借助之前得到的勾股數(shù)的計(jì)算公式，探索并構(gòu)造這樣的勾股數(shù)嗎？

師總結(jié)：丟番圖計(jì)算公式雖然可以計(jì)算出無(wú)數(shù)多組勾股數(shù)，比如勾股數(shù)“3、4、5”，但是卻不能計(jì)算出勾股數(shù)“9、12、15”。

［設(shè)計(jì)意圖］通過填表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，了解勾股數(shù)計(jì)算公式的局限性。

［活動(dòng)4］一位數(shù)學(xué)家在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中，用2n2+2n+1（n為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)。你能找出另外兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式嗎？

生8：假設(shè)c=2n2+2n+1=（n+1）2+n2。根據(jù)丟番圖計(jì)算公式，可以寫出a=（n+1）2-n2，b=2（n+1）n；根據(jù)畢達(dá)哥拉斯計(jì)算公式，可以寫出a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1。

師總結(jié)：畢達(dá)哥拉斯計(jì)算公式可以由丟番圖計(jì)算公式推導(dǎo)出來。

［設(shè)計(jì)意圖］通過對(duì)c進(jìn)行因式分解，經(jīng)歷依據(jù)丟番圖計(jì)算公式推導(dǎo)畢達(dá)哥拉斯計(jì)算公式的過程，感受知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.活動(dòng)小結(jié)：顯化深度參與的感悟。

［小結(jié)］請(qǐng)你分享這節(jié)課的學(xué)習(xí)心得。

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生在分享中，將自己對(duì)知識(shí)、方法和思想的深切體驗(yàn)和深刻領(lǐng)悟表達(dá)出來。通過外部言語(yǔ)將內(nèi)部思想的結(jié)果顯化出來，是積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本方式。

三、活動(dòng)反思

1.增加課堂趣味性，促進(jìn)學(xué)生深度參與。

初中數(shù)學(xué)課的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的心理特征，而本階段的學(xué)生對(duì)新的事物具有極強(qiáng)的好奇心，因此要想學(xué)生深度參與到活動(dòng)課中去，首先要改變課堂開展的形式，比如在活動(dòng)教室進(jìn)行授課，或者將學(xué)生分成多人小組，采用面對(duì)面的形式。這樣不僅有利于學(xué)生合作交流，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生的深度參與。

當(dāng)然，課堂內(nèi)容的趣味性才是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的根本。增強(qiáng)課堂趣味最為簡(jiǎn)單實(shí)用的教學(xué)手段就是進(jìn)行學(xué)科滲透。本節(jié)課中，筆者從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化等視域開發(fā)課程資源，在講述勾股數(shù)的發(fā)展歷史和構(gòu)造方法時(shí)，配以趣味性的幻燈片，運(yùn)用講故事的方法引出相應(yīng)的計(jì)算公式，以激發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生深度參與。

2.設(shè)計(jì)核心問題，促進(jìn)深切體驗(yàn)的發(fā)生。

學(xué)生深度參與的前提是主動(dòng)參與、積極參與、自然參與，其核心在于思維參與。教師應(yīng)注重啟發(fā)，設(shè)計(jì)核心問題，將學(xué)生的思維帶入課堂，讓學(xué)生以問題為載體，積極主動(dòng)地參與課堂。

本節(jié)課中，筆者從探索勾股數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)勾股數(shù)的有關(guān)概念，從判斷是不是勾股數(shù)，到能不能想出表示勾股數(shù)的方法，再到如何將4ab表示成平方的形式，師生互動(dòng)良好，教學(xué)過程流暢。在課堂上，只要舍得給學(xué)生機(jī)會(huì)和時(shí)間，學(xué)生就能夠給出很多有創(chuàng)意的思路。當(dāng)然，前提是教師要設(shè)計(jì)好問題。例如問題“怎樣使4ab變成平方式”，使得學(xué)生以不同的想法探索下去并獲得不同的結(jié)論，而這些結(jié)論中，有些恰恰是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的。學(xué)生知道后，成就感、自豪感獲得激發(fā)，情緒狀態(tài)變得非常飽滿，促進(jìn)了深切體驗(yàn)的發(fā)生。再如，讓學(xué)生理解柏拉圖、丟番圖以及畢達(dá)哥拉斯給出的計(jì)算公式之間的聯(lián)系是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)難點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)問題進(jìn)行啟發(fā)很重要。此外，還要留時(shí)間給學(xué)生化簡(jiǎn)驗(yàn)證，讓學(xué)生充分理解不同公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.開展即時(shí)評(píng)價(jià)，保障參與和體驗(yàn)。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為了確保學(xué)生深度參與和深切體驗(yàn)，教師需熟練運(yùn)用即時(shí)的課堂評(píng)價(jià)。所謂“即時(shí)”，就是“當(dāng)下、立即”的意思，即教師在各個(gè)課堂環(huán)節(jié)中隨時(shí)對(duì)學(xué)生的課堂表現(xiàn)做出相應(yīng)的評(píng)價(jià)，時(shí)刻觀察、了解學(xué)生的課堂參與情況，以語(yǔ)言或獎(jiǎng)品的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)或鼓勵(lì)。評(píng)價(jià)的形式包括教師評(píng)價(jià)、同學(xué)評(píng)價(jià)、自我評(píng)價(jià)，旨在最大限度地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，增添信心。

比如，本節(jié)課中，筆者采用了小組實(shí)時(shí)計(jì)分的即時(shí)評(píng)價(jià)方法，以問題和活動(dòng)為計(jì)分點(diǎn)，一方面根據(jù)學(xué)生在各個(gè)環(huán)節(jié)的表現(xiàn)進(jìn)行打分，另一方面讓學(xué)生利用教材提供的數(shù)學(xué)活動(dòng)評(píng)價(jià)表，從課堂內(nèi)容掌握情況、課堂表現(xiàn)、課堂體驗(yàn)三個(gè)角度，進(jìn)行自我評(píng)價(jià)、同學(xué)評(píng)價(jià)、小組評(píng)價(jià)，最終得分高的小組獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)。課堂上學(xué)生討論激烈，課堂氛圍濃郁。課后，教師還可以結(jié)合課堂觀察與小組得分情況，賦予評(píng)語(yǔ)或給予獎(jiǎng)勵(lì)，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。