陳 欣 ，羅 霞 ，朱 穎 ，毛遠(yuǎn)思

（1. 西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 611756；2. 西南交通大學(xué)綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756；3. 中國中鐵股份有限公司，北京 100039）

國內(nèi)大多地鐵系統(tǒng)面臨著擁擠問題，在高峰時(shí)段，即使使用最小的發(fā)車間隔，留乘依然頻發(fā). 留乘現(xiàn)象指：由于到達(dá)列車容量限制或無法接受擁擠程度，乘客需要在站臺等候一班以上列車的現(xiàn)象. 留乘現(xiàn)象為估計(jì)和推斷乘客的時(shí)空分布帶來了挑戰(zhàn)，這恰是地鐵系統(tǒng)運(yùn)營組織優(yōu)化和服務(wù)水平評價(jià)的基礎(chǔ). 例如，留乘增加了候車時(shí)間，降低了行程時(shí)間可靠性，繼而影響了乘客的路徑選擇行為[1-2]；在構(gòu)造基于網(wǎng)絡(luò)均衡的客流分配方法時(shí)，需將留乘納入效用函數(shù)[3-4]. 同時(shí)，留乘增大和模糊化了同一路徑和不同路徑上乘客旅行時(shí)間的差異，在構(gòu)建基于行程時(shí)間的乘客-行程匹配模型[5-6]時(shí)也需考慮留乘的影響.留乘概率分布可反映一定時(shí)間段內(nèi)乘客在地鐵車站留乘不同次數(shù)的概率，能夠直觀地描述地鐵車站留乘的程度. 因此，研究地鐵車站留乘概率分布，對提升乘客時(shí)空分布推算與估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性具有重要意義.

國內(nèi)罕有研究留乘的文獻(xiàn). 由于有換乘行為的乘客行程不確定因素多，研究多假設(shè)在同一車站換乘與無換乘乘客具有相同的留乘概率分布[5,7]，并使用無換乘乘客的自動(dòng)售檢票（auto fare collection,AFC）數(shù)據(jù)和列車運(yùn)行圖數(shù)據(jù)估計(jì)地鐵車站留乘概率分布. 無換乘乘客的出行可分為4個(gè)子過程：由進(jìn)站閘機(jī)行走至站臺、在站臺上等待可提供服務(wù)的列車、乘坐列車旅行、由下車站臺行走至出站閘機(jī). 乘客在這4個(gè)子過程所花費(fèi)的時(shí)間可依次被定義為聚集、候車、車內(nèi)和疏解時(shí)間. 聚集、疏解時(shí)間的不確定是估計(jì)留乘概率分布的主要難點(diǎn). 按照對聚集、疏解時(shí)間的處理和獲取方式，可將現(xiàn)有文獻(xiàn)劃分為4類：1） 開展實(shí)地調(diào)查，獲取聚集、疏解時(shí)間分布參數(shù)[8]，這種方法成本高，準(zhǔn)確性低，周期長，不適合推廣應(yīng)用；2） 使用極大、極小值簡化聚集、疏解時(shí)間[5,7]，這種方法忽略了乘客間差異，會導(dǎo)致留乘概率估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生偏差；3） 假設(shè)同一車站的聚集與疏解時(shí)間同分布[9]，乘客在疏解過程可能存在尋找最優(yōu)出口的過程，這一假設(shè)有失一般性；4） 假設(shè)乘客的步行速度服從一定分布，從設(shè)計(jì)文件獲取聚集、疏解時(shí)間距離[10]或假設(shè)聚集、疏解距離服從一定分布[6]的基礎(chǔ)上，計(jì)算聚集、疏解時(shí)間，我國地鐵車站內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，設(shè)施繁多，這種方法的適用性有待考量. 總結(jié)發(fā)現(xiàn)，以往研究在估計(jì)留乘概率時(shí)對聚集、疏解時(shí)間的處理存在一定缺陷. 同時(shí)，專門針對地鐵乘客的聚集、疏解過程的研究較少，文獻(xiàn)[11-12]基于AFC數(shù)據(jù)研究了城市軌道交通車站的聚集、疏解過程，但兩者皆未考慮留乘的影響.

下文將基于無換乘乘客進(jìn)、出站刷卡時(shí)間與列車到、發(fā)時(shí)刻的關(guān)系，構(gòu)建聚集、疏解時(shí)間分布估計(jì)方法；進(jìn)一步通過研究乘客刷卡進(jìn)、出站時(shí)刻概率密度函數(shù)，構(gòu)建地鐵車站留乘概率分布估計(jì)方法；最后通過案例分析驗(yàn)證提出方法的有效性.

1 問題描述

AFC數(shù)據(jù)包含了每個(gè)乘客刷卡進(jìn)、出站時(shí)刻及對應(yīng)的車站. 列車運(yùn)行圖數(shù)據(jù)包含了每列列車的在各途徑車站的到、發(fā)時(shí)刻. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，無換乘出行占地鐵系統(tǒng)出行總量的30%左右[5]，根據(jù)抽樣原則[13]，使用該部分乘客的刷卡數(shù)據(jù)為樣本，估計(jì)留乘概率分布是合理的.

無換乘乘客出行的4個(gè)子過程中，除車內(nèi)時(shí)間外，其他都是隨機(jī)的. 在乘客刷卡進(jìn)站時(shí)刻已知時(shí)，由乘客的聚集時(shí)間和留乘次數(shù)可推算其候車時(shí)間，進(jìn)一步可確定乘客所搭乘的列車；若得知了乘客的疏解時(shí)間，便可計(jì)算乘客的出站時(shí)刻. 然而，當(dāng)僅已知乘客的進(jìn)、出站刷卡時(shí)刻時(shí)，由于乘客的聚集、疏解時(shí)間及留乘次數(shù)不確定，一組進(jìn)、出站刷卡時(shí)刻可能對應(yīng)多個(gè)可能的行程. 行程理解為乘客在地鐵網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)空軌跡，可以用乘客的進(jìn)站時(shí)刻、聚集時(shí)間取值范圍、留乘次數(shù)和疏解時(shí)間區(qū)分. 圖1以時(shí)空軌跡的形式表示了在時(shí)刻t+刷卡進(jìn)站、時(shí)刻t?刷卡出站的乘客可能搭乘了3班列車，有6個(gè)可能行程. 圖中：A1～A3為可能的聚集時(shí)間，E1～E3為可能的疏解時(shí)間. 留乘數(shù)為0次表示乘客到達(dá)站臺后搭乘了第1班到達(dá)的列車；留乘數(shù)為1次則表示乘客到達(dá)站臺后，由于第1班到達(dá)的列車滿載或不能接受該車內(nèi)的擁擠水平，而搭乘第2班到達(dá)的列車；其他留乘次數(shù)含義可依次類推. 觀察可發(fā)現(xiàn)：搭乘了同一班列車的乘客的行程和留乘次數(shù)有可能不同. 通過求解滿足式（1）、（2）的列車集合的交集，可推測出任意無換乘乘客可能搭乘的列車.

列車j在出發(fā)站的發(fā)車時(shí)刻T?,j晚于乘客的刷卡進(jìn)站時(shí)刻t+，即

列車j在到達(dá)站的到達(dá)時(shí)刻T+,j早于乘客的刷卡出站時(shí)刻t?，即

基于乘客的進(jìn)出站時(shí)刻和各班可能搭乘列車的到發(fā)時(shí)刻，可推算出各可能行程的聚集時(shí)間取值范圍、具體留乘次數(shù)和具體的疏解時(shí)間. 表1羅列了圖1所示情況下乘客所有可能行程的特征.

表1 乘客的可能行程特征列示Tab. 1 Features of feasible passenger itineraries

圖1 地鐵無換乘乘客可能搭乘列車示意Fig. 1 Feasible trains for passengers without transfer

由表1推測可知：可能行程對應(yīng)的聚集、疏解時(shí)間取值越極端，該行程的發(fā)生可能性越小. 若能掌握聚集、疏解及留乘概率分布，刷卡進(jìn)站時(shí)刻確定條件下，可計(jì)算任意乘客各可能行程的概率密度；將各可能行程概率密度相加，則可進(jìn)一步計(jì)算乘客出站時(shí)刻的概率密度. 假設(shè)車站的留乘概率分布在一個(gè)較短的時(shí)間段內(nèi)保持不變[5-7,10]，在聚集、疏解時(shí)間概率分布和乘客進(jìn)出站刷卡時(shí)刻已知時(shí)，使用極大似然估計(jì)法可估計(jì)各時(shí)間段內(nèi)的留乘概率分布.

2 模型構(gòu)建

以下變量及其含義將貫穿下文：

t+,i、t?,i分別為乘客i進(jìn)、出站刷卡時(shí)刻；

si為乘客i的目的車站；

T?,i,j、T+,i,j分別為乘客i第j班可能搭乘的列車在乘客出發(fā)站的發(fā)車時(shí)刻、目的站的到達(dá)時(shí)刻；

Fi為乘客i可能搭乘的列車數(shù)量；

HA,i、HE,i分別為乘客i在聚集和疏解時(shí)的發(fā)車間隔；

Gi為乘客i的刷卡進(jìn)站時(shí)刻與最近一列已發(fā)列車發(fā)車時(shí)刻的間隔；

Ii,m,n為乘客i的某一可能出行行程，n為乘客留乘次數(shù)，m反映乘客到達(dá)站臺時(shí)刻在第m- 1 和m班可行列車發(fā)車時(shí)刻之間，且 1≤m≤Fi,0≤n≤Fi?m,m,n∈N；

Ai、Ei分別為乘客i的聚集、疏解時(shí)間；

Ai,max為乘客i聚集時(shí)間最大可能值；

d為列車運(yùn)行方向或乘客出發(fā)方向，分上、下行；

Ds,d為目的站s方向d的乘客集合；

Os,d為出發(fā)站s方向d的乘客集合；

Ns,d,q為時(shí)間段q內(nèi)車站s方向d上乘客的最大留乘次數(shù)，

fG,i(?)為乘客i刷卡進(jìn)站時(shí)刻與其出行方向上最近一列已發(fā)列車發(fā)車時(shí)刻間隔的概率密度函數(shù)；

βs,d,q,n為時(shí)段q內(nèi)在車站s前往方向d的乘客留乘n次的概率，

2.1 聚集與疏解時(shí)間分布估計(jì)

聚集、疏解時(shí)間分布是估計(jì)留乘概率的關(guān)鍵，本文提出了基于AFC數(shù)據(jù)和列車運(yùn)行圖數(shù)據(jù)的聚集、疏解時(shí)間分布估計(jì)方法. 統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)大量無換乘乘客只有一個(gè)可行行程[14]，結(jié)合AFC數(shù)據(jù)與列車運(yùn)行圖數(shù)據(jù)，可以直接計(jì)算這部分乘客的聚集時(shí)間與候車時(shí)間之和以及疏解時(shí)間. 由于這部分乘客的聚集、疏解時(shí)間是小于發(fā)車時(shí)間間隔的，不能代表所有乘客的聚集、疏解時(shí)間規(guī)律，只能作為截?cái)鄻颖?，因此依?jù)文獻(xiàn)[15]，構(gòu)造條件概率函數(shù)估計(jì)聚集時(shí)間與疏解時(shí)間分布.

1） 疏解時(shí)間

對于只有一種可能行程的乘客，其疏解時(shí)間可由其刷卡出站時(shí)刻與乘坐列車的到站時(shí)刻之差計(jì)算，如式（3）所示.

假設(shè)全天內(nèi)任意車站s，任意方向d的所有乘客的疏解時(shí)間服從均值為 μE,s,d，標(biāo)準(zhǔn)差為 σE,s,d的正態(tài)分布fE,s,d(?)

[7,16]. 對于只有一種可能行程的乘客，其疏解時(shí)間是小于其出站疏解時(shí)的發(fā)車間隔的，則這部分乘客的疏解時(shí)間概率密度函數(shù)可用式（4）所示的條件概率密度表示.

式中：gE,s,d(?)表示車站s方向d上的只有一種可行行程乘客的疏解時(shí)間概率密度函數(shù)；P(Ei

假設(shè)所有乘客的疏解時(shí)間相互獨(dú)立[9]，將目的站與出行方向相同且只有一種可能行程乘客的疏解時(shí)間概率密度相乘，再取對數(shù)，得到式（5）表示的對數(shù)似然函數(shù). 使用極大似然估計(jì)法估計(jì)該 方 向 上 該 車 站 的 疏 解 時(shí) 間 分 布 參 數(shù) μE,s,d和σE,s,d.

式中：LE,s,d為車站s在方向d上的疏解時(shí)間似然函數(shù).

2） 聚集時(shí)間

對于只有一種可能行程的乘客，由于候車時(shí)間的存在，只能計(jì)算其候車時(shí)間與聚集時(shí)間之和，這個(gè)和同時(shí)又是聚集時(shí)間可能取值的最大值，使用式（6）計(jì)算其刷卡進(jìn)站時(shí)刻與乘坐列車的發(fā)車時(shí)刻之差得到.

為更準(zhǔn)確地表達(dá)只有一班可行列車乘客的聚集時(shí)間最大值概率密度函數(shù)，引入Gi的概率分布，如圖2所示，假設(shè)乘客在任意發(fā)車間隔內(nèi)是均勻刷卡進(jìn)站的[17]，即Gi～U(0,HA,i)，滿足式（7）所示關(guān)系.

圖2 Gi含義示意Fig. 2 Sc hematic of the meaning of Gi

對于只有一種可能行程的乘客，Ai,max=HA,i?Gi，即Ai≤Hi?Gi. 假設(shè)在同一車站上車的所有乘客的聚集時(shí)間服從均值為 μA,s,d，標(biāo)準(zhǔn)差為 σA,s,d，概率密度函數(shù)為fA,s,d(?)的正態(tài)分布[7,16]，則車站s方向d上的只有一個(gè)可能行程乘客的聚集時(shí)間最大值的概率密度函數(shù)為

假設(shè)所有乘客的聚集時(shí)間相互獨(dú)立[9]，將出發(fā)站與出行方向相同，且只有一種可能行程乘客的聚集時(shí)間最大值的概率密度相乘，再取對數(shù)，得到式（9）所示的對數(shù)似然函數(shù). 使用極大似然估計(jì)法可估計(jì)方向d車站s的聚集時(shí)間分布均值 μA,s,d和標(biāo)準(zhǔn)差 σA,s,d.

式中：LA,s,d為車站s在d方向上的聚集時(shí)間似然函數(shù).

2.2 留乘概率

假設(shè)在一個(gè)時(shí)段q內(nèi)，車站s方向d上的留乘概率服從參數(shù)為 βs,d,q,0,βs,d,q,1,···,βs,d,q,Ms,d,q的多項(xiàng)分布[5-7,10]，則乘客i在時(shí)刻t+,i刷卡進(jìn)站的條件下，以行程Ii,m,n出行，并在t?,i出站的概率密度為

時(shí)段q內(nèi)自s站出發(fā)出行方向?yàn)閐的乘客i在時(shí)刻ti,刷卡進(jìn)站、t?,i刷卡出站的概率密度fs,d,q(?)為乘客i所有可能行程對應(yīng)的出站時(shí)刻為t?,i的概率密度之和，如式（11）所示.

假設(shè)乘客的旅行時(shí)間不受其他乘客影響[9]，將時(shí)段q內(nèi)所有出發(fā)站與出行方向相同乘客的出站時(shí)刻概率密度相乘，再取對數(shù)，得到式（12）表示的似然函數(shù). 以極大似然估計(jì)法可估計(jì)任意研究時(shí)段q車站s方向d的留乘概率分布參數(shù).

式中：Ls,d,q,l為在時(shí)段q內(nèi)自s站出發(fā)，出行方向?yàn)閐的乘客進(jìn)、出站刷卡時(shí)間的似然函數(shù).

3 案例分析

如圖3，案例數(shù)據(jù)來源于某市線路Ⅰ（由21個(gè)車站組成的區(qū)段）和線路Ⅱ（由22個(gè)車站組成的區(qū)段）的某日上行方向AFC刷卡和列車運(yùn)行圖數(shù)據(jù).為驗(yàn)證本文方法的有效性及一般性，下文呈現(xiàn)了始發(fā)站1、5，普通站2、6，換乘站3、7的上行方向聚集、疏解時(shí)間分布估計(jì)結(jié)果，與平高峰時(shí)段留乘概率分布估計(jì)結(jié)果.

圖3 區(qū)段示意Fig. 3 Schematic of sections

根據(jù)式（5）和式（9）表示的對數(shù)似然函數(shù)，使用MATLAB的fminunc函數(shù)優(yōu)化對數(shù)似然函數(shù)值，估計(jì)案例網(wǎng)絡(luò)中除車站1、5外所有車站上行方向的疏解時(shí)間，除車站4、8外所有車站上行方向的聚集時(shí)間，并使用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)驗(yàn)證了估計(jì)結(jié)果，部分估計(jì)結(jié)果和檢驗(yàn)結(jié)果（P值）如表2所示. 檢驗(yàn)結(jié)果顯示：在顯著水平為5%的條件下（P值 >0.05），估計(jì)結(jié)果可信. 此外，對比發(fā)現(xiàn)：在車站2、3、6、7，其研究方向上的疏解與聚集時(shí)間分布均值近似，標(biāo)準(zhǔn)差差別較大，可能與疏解過程中存在的乘客尋找最優(yōu)出口的行為有關(guān).

表2 部分車站的聚集、疏解時(shí)間分布參數(shù)估計(jì)值Tab. 2 Estimated distribution parameters for access and egress time at stations

基于估計(jì)所得的聚集、疏解時(shí)間分布，根據(jù)式（12），使用MATLAB遺傳算法工具箱優(yōu)化對數(shù)似然函數(shù)值，估計(jì)車站1～3和車站5～7上行方向的平、高峰時(shí)段的留乘概率分布參數(shù)，估計(jì)結(jié)果見表3估計(jì)值列. 以往文獻(xiàn)多假設(shè)留乘概率不變的時(shí)段q為1.0 h[10]，q可根據(jù)實(shí)際需求調(diào)整，q值越小，估計(jì)精度越高，本文取q為0.5 h. 于案例日期，分別使用“跟蹤法”實(shí)地調(diào)查了案例車站研究時(shí)段的真實(shí)留乘概率，調(diào)查結(jié)果見表3調(diào)查值列. 估計(jì)值與調(diào)查值對比表明，對于留乘程度不同、類型不同的車站，在平峰及高峰時(shí)段內(nèi)，本文所得估計(jì)值與實(shí)地調(diào)查值基本一致.

由表3可知：在高峰時(shí)段，案例中屬于同一類別的兩車站留乘程度均不同. 因?yàn)樵诟叻鍟r(shí)段，由始發(fā)站5乘車的乘客會迅速占滿列車坐席，導(dǎo)致因希望得到座位而等候下一班列車的留乘時(shí)有發(fā)生；而始發(fā)站1因乘客進(jìn)站量較小，任意時(shí)段登車的乘客都能找到座位，而幾乎不會發(fā)生留乘，如圖4所示.

圖4 在車站1、5搭乘各班次列車的乘客數(shù)量Fig. 4 Number of passengers boarding each train at stations 1 and 5

表3 不同時(shí)間段上行方向留乘概率分布參數(shù)估計(jì)與調(diào)查結(jié)果Tab. 3 Estimated left-behind distribution parameters of delayed boarding and practical results in different periods

4 結(jié) 論

本文以無換乘乘客的刷卡數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，依據(jù)刷卡時(shí)刻與列車運(yùn)行圖間的關(guān)系，分段分析了無換乘乘客的出行過程；提出了地鐵車站聚集、疏解時(shí)間分布估計(jì)方法；構(gòu)造了地鐵車站留乘概率估計(jì)方法. 案例估計(jì)了留乘程度不同的分別屬于始發(fā)、換乘、普通3種類型車站的聚集、疏解時(shí)間分布及留乘概率分布.

1） 相較于聚集時(shí)間，疏解時(shí)間分布標(biāo)準(zhǔn)差可能更大，直接使用車站的疏解時(shí)間分布代替聚集時(shí)間分布會導(dǎo)致留乘概率估計(jì)結(jié)果偏差；

2） Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)表明：在顯著水平為5%的條件下，聚集、疏解時(shí)間分布估計(jì)結(jié)果可信.

3） 在不同類別、不同留乘程度車站估計(jì)出的留乘概率分布同調(diào)查值規(guī)律相符；

4） 補(bǔ)充了國內(nèi)對于留乘研究的缺失，提出的地鐵車站聚集、疏解時(shí)間分布估計(jì)方法，解決了以往研究方法中獲取聚集、疏解時(shí)間分布難度大、準(zhǔn)確性低的問題；

5） 分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、客流特征、選擇偏好等因素對留乘和本文方法適用性的影響是進(jìn)一步研究內(nèi)容.

致謝：中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司科研項(xiàng)目(KYY2019027(19-20))的支持.