閻賁，馮太傅

(河北大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 保定 071002)

標(biāo)準(zhǔn)模型(SM)已經(jīng)在科學(xué)家們的持續(xù)深入研究中暴露出越來(lái)越多的不足之處，希格斯勢(shì)的真空穩(wěn)定性正是這些問(wèn)題之一：SM的希格斯勢(shì)由于受到top夸克的負(fù)的輻射修正，在場(chǎng)值足夠大的區(qū)域是不穩(wěn)定的[1]，這需要新物理模型的改進(jìn).MSSM在SM的基礎(chǔ)上引入了互為超對(duì)稱伴的費(fèi)米子和玻色子[2]，在場(chǎng)論計(jì)算中它們的輻射修正符號(hào)相反，可以在一定程度上互相抵消.這樣，MSSM應(yīng)當(dāng)能改善SM中存在的真空穩(wěn)定性問(wèn)題.

1 有效勢(shì)的一般討論

在量子場(chǎng)論中，有效勢(shì)V(φ)定義為有效作用量Γ(φ)的動(dòng)量展開(kāi)式中的零級(jí)項(xiàng)，在坐標(biāo)空間這個(gè)展開(kāi)表示為

(1)

其中φ表示經(jīng)典場(chǎng)，給出V(φ)的傅里葉變換式

(2)

展開(kāi)系數(shù)Γ(n)是具有n條外線的所有單粒子不可約費(fèi)曼圖的和[3].對(duì)于物理模型，有效勢(shì)的微擾展開(kāi)可以表示為[4]

(3)

2 有效勢(shì)圈修正與重整化

有效勢(shì)圈修正與重整化密不可分.場(chǎng)論中的有效勢(shì)為哈密頓量的非導(dǎo)數(shù)部分，外腿的動(dòng)量設(shè)為零后，有效勢(shì)對(duì)應(yīng)物理的經(jīng)典勢(shì).因此有效勢(shì)(3)應(yīng)與標(biāo)度參數(shù)Q無(wú)關(guān)，如下微分等式恒成立:

(4)

這就是重整化群方程.它意味著改變標(biāo)度參數(shù)Q對(duì)有效勢(shì)帶來(lái)的影響全部由耦合參數(shù)λi以及場(chǎng)φ的變化補(bǔ)償.λi和φi隨標(biāo)度Q的變化分別由β函數(shù)與反常維γ函數(shù)描述，其中β函數(shù)可以通過(guò)定義t≡lnQ表示為

(5)

(6)

其中mi=mi(φu,φd)是由模型中各粒子質(zhì)量矩陣所確定的依賴于希格斯場(chǎng)的質(zhì)量本征態(tài)；Q對(duì)應(yīng)重整化群方程中的標(biāo)度參數(shù)；系數(shù)ni的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)每個(gè)粒子的質(zhì)量本征態(tài)的簡(jiǎn)并度，正負(fù)號(hào)取決于粒子自旋，費(fèi)米子為負(fù)，玻色子為正.

3 MSSM希格斯有效勢(shì)

在單圈階考慮MSSM中的希格斯有效勢(shì)，它是樹(shù)圖勢(shì)與單圈修正勢(shì)的和

(7)

(8)

其中hu、hd代表中性的希格斯場(chǎng)，為方便研究對(duì)中性場(chǎng)平移，分離出希格斯標(biāo)量場(chǎng)φu、φd，贗標(biāo)量場(chǎng)σu、σd和真空期望值νu與νd.

(9)

對(duì)Veff應(yīng)用中性希格斯場(chǎng)取真空期望值時(shí)勢(shì)為極值的最小化條件

(10)

對(duì)(7)式應(yīng)用Bμ、|μ|2的約束條件后得到單圈修正的希格斯有效勢(shì)，為研究這個(gè)有效勢(shì)在不同能標(biāo)下的行為，還需要考慮重整化群能標(biāo)Q跑動(dòng)的影響.(7)式中含有耦合因子λi和希格斯標(biāo)量場(chǎng)φi，將其替換為由β函數(shù)與γ函數(shù)所確定的λα(Q)和φi(Q)，最終得到MSSM模型中單圈修正的有效勢(shì)Veff(λα(Q),φi(Q);Q).下一節(jié)將分析有效勢(shì)在任意能標(biāo)Q下隨場(chǎng)φi的變化是否形成穩(wěn)定的勢(shì)阱，以及穩(wěn)定勢(shì)對(duì)的參數(shù)空間的要求.

還有1個(gè)問(wèn)題會(huì)影響分析計(jì)算，是所謂有效勢(shì)凸性問(wèn)題.有效作用量Γ(φ)定義為生成泛函W[J]的勒讓德(Legendre)變換，它一定是凸函數(shù)[8](凸函數(shù)在文中指具有二階導(dǎo)數(shù)大于零這種下凸的形狀的函數(shù)，與國(guó)內(nèi)一些數(shù)學(xué)教材的定義相反).因此，有效勢(shì)Veff也是φ的凸函數(shù).問(wèn)題很明顯，凸勢(shì)不能導(dǎo)致自發(fā)對(duì)稱破缺.據(jù)Dannenberg的討論[9]，凸性問(wèn)題正是計(jì)算中遇到的復(fù)數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題：任意的φ?qǐng)鋈≈禃?huì)導(dǎo)致mi(φi)出現(xiàn)復(fù)數(shù)值的本征值從而有效勢(shì)為復(fù)數(shù)，有效勢(shì)的復(fù)數(shù)值正是在其非凸的區(qū)域產(chǎn)生.對(duì)于復(fù)數(shù)有效勢(shì)的物理意義，在單圈階有很好的解釋：它的實(shí)部給出勢(shì)能期望值，虛部給出單位勢(shì)能強(qiáng)度的衰變率[10].由于討論的問(wèn)題只涉及勢(shì)能期望值，所以在后面的數(shù)值部分對(duì)有效勢(shì)一致地取實(shí)部以簡(jiǎn)化分析計(jì)算.

4 MSSM希格斯勢(shì)的真空穩(wěn)定性分析

模型參數(shù)的初始取值的能標(biāo)被設(shè)定在超對(duì)稱能標(biāo)1 TeV，這些初始取值滿足各種物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的限制.當(dāng)重整化群能標(biāo)Q向高能演化時(shí)，所有λα(Q)的取值，通過(guò)被初始值確定的β函數(shù)給出，希格斯標(biāo)量場(chǎng)φu(Q)和φd(Q)由γ函數(shù)重新標(biāo)度.這些β函數(shù)構(gòu)成龐大的微分方程組，借助于計(jì)算機(jī)軟件Mathematica以及程序包SARAH[11]，可以在雙圈階將其數(shù)值解出.對(duì)模型參數(shù)取值有約束的實(shí)驗(yàn)限制主要為希格斯粒子質(zhì)量(125.10±0.14)GeV的限制[12].為滿足實(shí)驗(yàn)限制，可調(diào)參數(shù)的初始值如下：

(11)

可以看到β在0.83附近時(shí)，勢(shì)在大場(chǎng)值處失去勢(shì)阱形狀變得不穩(wěn)定，精確的坐標(biāo)讀數(shù)顯示穩(wěn)定勢(shì)對(duì)β的限制為β>0.865或tanβ>1.17.

圖1 Veff(φ,β)的函數(shù)關(guān)系Fig.1 Diagram of Veff(φ,β)

a.Q從1 TeV增加到4 TeV；b.Q從106 GeV增加到1010 GeV.圖2 Q增加時(shí)Veff(φ) 行為示意Fig.2 Schematic diagram of the behavior of Veff(φ) with Q increasing

Veff(φ)隨Q的演化大致分為2個(gè)階段：Q從1 TeV增加到4 TeV的過(guò)程以及Q大于4 TeV的增加過(guò)程.圖2a描繪了Q從1 TeV增加到4 TeV的階段中Veff(φ)的變化，3個(gè)子圖具有相同φ的場(chǎng)范圍和勢(shì)能間隔.可以看到，產(chǎn)生自發(fā)破缺的中央隆起區(qū)域的大小隨Q的增加慢慢減少，約在Q=4 TeV時(shí)完全消失.這個(gè)隆起受2個(gè)因素影響：1)樹(shù)圖勢(shì)中正負(fù)號(hào)相反的二次項(xiàng)的系數(shù)與四次項(xiàng)系數(shù)；2)圈修正勢(shì)的輻射破缺效應(yīng).圖2a隆起區(qū)域減小的原因分析為：在Q從1 TeV到4 TeV的較低能標(biāo)范圍內(nèi)，樹(shù)圖勢(shì)的貢獻(xiàn)起主導(dǎo)作用，而樹(shù)圖勢(shì)中負(fù)的二次項(xiàng)的系數(shù)，隨著Q的增加而增加，在約為4 TeV的時(shí)候消失為0.

(12)

其中A和B分別正比φ的四次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)，函數(shù)Productlog是定義在區(qū)間[-1/e,+∞]上的xex的反函數(shù).對(duì)通常的樹(shù)圖勢(shì)A是正實(shí)數(shù)，則上式+號(hào)項(xiàng)成為Q的增函數(shù).因此，隨著能標(biāo)Q增加中央隆起的區(qū)域持續(xù)增加.

5 結(jié)論

超對(duì)稱模型是被科學(xué)家們廣泛看好的新物理模型.真空穩(wěn)定性則是超對(duì)稱模型中的重要課題.通過(guò)將場(chǎng)論對(duì)有效勢(shì)和重整化群的一般分析應(yīng)用在MSSM中，以及借助計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算雙圈階重整化群方程的解，研究了單圈修正的希格斯標(biāo)量勢(shì)在不同能標(biāo)下的真空穩(wěn)定性表現(xiàn).結(jié)果顯示在1 TeV的超對(duì)稱能標(biāo)下，圈修正的希格斯勢(shì)對(duì)tanβ的取值給出了不同于樹(shù)圖階的限制.隨著能標(biāo)的增長(zhǎng)，希格斯勢(shì)的行為出現(xiàn)了有趣的變化.分析了這種有趣變化的原因，也證實(shí)了得益于超對(duì)稱伴粒子的貢獻(xiàn)，希格斯勢(shì)并沒(méi)有像標(biāo)準(zhǔn)模型那樣在大場(chǎng)值區(qū)域變得不穩(wěn)定.