詹如月,彭來(lái)湖,祖洪飛,胡 玲,李劍敏

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,浙江 杭州 310000)

0 引 言

隨著工業(yè)技術(shù)的快速發(fā)展,工業(yè)機(jī)器人正不斷地往輕量化、柔性化、高速化等方向發(fā)展[1]。

在機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,由于負(fù)載過(guò)重、速度過(guò)快等因素會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂的彈性部件發(fā)生變形,使機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)可靠性和運(yùn)動(dòng)精度降低。

機(jī)械臂的彈性部件主要有臂桿和驅(qū)動(dòng)部件,其驅(qū)動(dòng)部件由諧波減速器和電機(jī)組成,其中電機(jī)提供動(dòng)力,諧波減速器傳遞動(dòng)力。在諧波減速器中,柔輪的柔性以及摩擦等因素會(huì)導(dǎo)致其產(chǎn)生傳動(dòng)誤差,使機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)誤差增大,使其定位精度下降等。因此,諧波減速器對(duì)工業(yè)機(jī)械臂傳動(dòng)誤差及其定位精度而言至關(guān)重要[2,3]。

針對(duì)諧波減速器對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)精度的影響問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了一系列的研究。

DANG Xuan-ju、谷勇霞、羅陽(yáng)等人[4-6]分析了諧波減速器的遲滯性、磨損失效、動(dòng)態(tài)摩擦等因素對(duì)諧波減速器傳動(dòng)效率的影響,并對(duì)其變化規(guī)律進(jìn)行了研究,提出了一種提高工業(yè)機(jī)器人的壽命以及控制精度的方法。TONG Qing-bin等人[7]分析了諧波減速器的傳遞原理,以及諧波傳遞誤差的來(lái)源,并據(jù)此建立了含有齒側(cè)間隙和剛度的諧波減速器傳動(dòng)誤差公式。在考慮加工誤差以及裝配側(cè)隙等因素的條件下,沙曉晨、Hang Jia等人[8,9]建立了諧波減速器的傳動(dòng)誤差方程,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了誤差傳遞公式推導(dǎo)的正確性,評(píng)估了其結(jié)構(gòu)對(duì)諧波減速器運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差的影響。劉澤宇、MA Guo-qing等人[10,11]建立了機(jī)械臂的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型,并采用ADAMS對(duì)剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力特性分析,得到了機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩以及其動(dòng)態(tài)誤差的變化規(guī)律。

趙杰亮等人[12]結(jié)合了Euler-Bernoulli梁與諧波傳動(dòng)誤差模型,建立了帶有諧波滯后傳動(dòng)的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程,證明了諧波滯后傳動(dòng)會(huì)對(duì)柔性空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。

綜上所述,目前許多學(xué)者僅對(duì)諧波減速器的傳動(dòng)情況、機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)的仿真進(jìn)行了分析,未能將諧波減速器的輸出轉(zhuǎn)速直接與機(jī)械臂的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速相結(jié)合,從減速器的動(dòng)態(tài)誤差出發(fā),對(duì)剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)及其定位誤差進(jìn)行定量的分析。

為此,筆者以UR10工業(yè)機(jī)械臂為研究對(duì)象,通過(guò)建立諧波減速器剛?cè)狁詈夏Ｐ?聯(lián)合ADAMS和ANSYS仿真得到減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差曲線,同時(shí)建立諧波減速器的動(dòng)態(tài)誤差數(shù)學(xué)模型,并對(duì)其進(jìn)行求解;將諧波減速器帶有傳動(dòng)誤差的仿真速度作為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)速度,以此來(lái)探究不同速度(帶誤差)驅(qū)動(dòng)下,機(jī)械臂系統(tǒng)的末端速度、加速度以及定位精度的響應(yīng)情況。

1 諧波減速器建模與仿真

1.1 減速器模型及傳動(dòng)誤差

根據(jù)諧波減速器的傳動(dòng)機(jī)理,諧波減速器的傳動(dòng)比計(jì)算如下:波發(fā)生器作為輸入,柔輪固定,剛輪作為輸出,則此時(shí)諧波減速器的理論傳動(dòng)比為:

(1)

式中:ωa—波發(fā)生器的角速度;ωf—柔輪的角速度;ωg—?jiǎng)傒喌慕撬俣?zg—?jiǎng)傒嘄X數(shù);zf—柔輪齒數(shù)。

諧波減速器三維模型的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

機(jī)械臂各結(jié)構(gòu)材料參數(shù)如表2所示。

表2 機(jī)械臂各結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

各組仿真速度如表3所示。

表3 仿真速度表

采用ADAMS對(duì)復(fù)雜零件進(jìn)行柔性化建模時(shí),存在一定的困難,故此處筆者聯(lián)合ANSYS導(dǎo)出帶有模態(tài)的柔性體替換柔輪[13],并定義各部件的材料屬性,構(gòu)建剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)。

基于ADAMS仿真的諧波減速器剛?cè)狁詈夏Ｐ腿鐖D1所示。

圖1 基于ADAMS仿真的諧波減速器剛?cè)狁詈夏Ｐ?/p>

1.2 減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差模型

為了驗(yàn)證仿真模型的正確性,筆者通過(guò)諧波減速器傳動(dòng)誤差的數(shù)值解計(jì)算,以對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證。

諧波減速依靠電機(jī)輸入的力引起柔輪變形,從而帶動(dòng)齒輪嚙合將力輸出。根據(jù)這種傳動(dòng)特點(diǎn),為了計(jì)算諧波減速器的運(yùn)動(dòng)誤差,筆者建立動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差方程,即:

(2)

式中:φ—運(yùn)動(dòng)誤差;θi—輸入轉(zhuǎn)角;θo—輸出轉(zhuǎn)角;N—傳動(dòng)比。

諧波減速器的總動(dòng)能如下:

(3)

式中:Ji,Jo—輸入、輸出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在建模過(guò)程中,僅考慮柔輪的柔性,則有:

f=K1φ+K2φ3=Kf(φ)

(4)

式中:K1,K2—非線性剛度系數(shù);K—等效扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)。

系統(tǒng)的勢(shì)能主要為彈性勢(shì)能,即:

(5)

忽略摩擦等因素,筆者將上式的動(dòng)能和勢(shì)能代入拉格朗日方程,即:

(6)

(7)

得到諧波減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的動(dòng)力學(xué)方程為:

(8)

(9)

式(9)即為不考慮摩擦阻尼諧波減速器的動(dòng)力傳輸特性的基本方程。

令諧波減速器的非線性彈性力為f(φ)=φ+αφ3,則式(9)可以改寫(xiě)為:

(10)

令外激勵(lì)力F(t)=Acos(ωt),筆者采用runge-kutta四階算法迭代求解上述微分方程。

此處以UR10中的CSG-2UH20減速器作為研究對(duì)象,其輸入端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ji=5.12×10-5kg·m2,輸出端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jo=19.3×10-2kg·m2,傳動(dòng)比為N=100,等效扭轉(zhuǎn)剛度為K=2.5×104N·m/rad,輸入力矩為T(mén)i=7 N·m。將其代入上述微分方程,分別按照表3中的4組額定轉(zhuǎn)速仿真得到誤差的范圍。

1.3 仿真結(jié)果與數(shù)值解對(duì)比

根據(jù)傳動(dòng)誤差的定義[14，15]可知,實(shí)際角速度、理論角速度的差值與采樣時(shí)間的乘積即為傳動(dòng)誤差,則傳動(dòng)誤差計(jì)算式如下:

(11)

式中:θer—誤差角度;vθ1—輸入角速度;vθ2—實(shí)際輸出角速度;R—傳動(dòng)比;ti—采樣時(shí)間間隔。

筆者在輸出端添加旋轉(zhuǎn)約束力為120 N,將時(shí)間設(shè)置為諧波減速器至少轉(zhuǎn)過(guò)一周的時(shí)間,步數(shù)設(shè)置為300。

仿真結(jié)果經(jīng)MATLAB對(duì)傳動(dòng)誤差公式進(jìn)行積分計(jì)算,得到4組傳動(dòng)誤差曲線圖如圖2所示。

圖2 不同轉(zhuǎn)速下各仿真組的傳動(dòng)誤差圖

數(shù)值計(jì)算及仿真誤差結(jié)果整理如表4所示。

表4 四組數(shù)值計(jì)算、仿真的誤差范圍及平均誤差

觀察上述4組仿真誤差曲線圖可知:

由于柔輪受力發(fā)生非線性彈性變形,導(dǎo)致其嚙合過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)誤差呈一定的周期性,近似呈正余弦函數(shù)的變化趨勢(shì)[16];

表4為仿真與數(shù)值計(jì)算求解得到的不同轉(zhuǎn)速下的誤差范圍。當(dāng)額定轉(zhuǎn)速70%時(shí),傳動(dòng)誤差范圍最小,數(shù)值解與仿真解相對(duì)誤差為15%;當(dāng)額定轉(zhuǎn)速100%時(shí),相對(duì)誤差最大為55%。

筆者將數(shù)學(xué)模型與仿真得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明誤差范圍基本保持一致。該結(jié)果驗(yàn)證了仿真模型的正確性,保證了后續(xù)機(jī)械臂定位誤差分析的準(zhǔn)確性。

2 基于ADAMS的機(jī)械臂仿真

2.1 仿真參數(shù)設(shè)定

筆者構(gòu)建UR10機(jī)械臂三維模型,并按照表2中機(jī)械臂與關(guān)節(jié)材料特性進(jìn)行定義,小臂替換為柔性體,得到其剛?cè)狁詈夏Ｐ?如圖3所示(假定機(jī)械臂從圖3中的位置a運(yùn)動(dòng)到位置b)。

圖3 剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂起點(diǎn)位姿和終點(diǎn)位姿

筆者利用仿真得到諧波減速器的4組輸出轉(zhuǎn)速,并將得到的輸出轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)化為樣條曲線,以作為關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速,樣條曲線函數(shù)CUBSPL(time,0,spline_1,0)*1d[17];

關(guān)節(jié)1、2、3的額定轉(zhuǎn)速分別為120°/s、120°/s、180°/s;筆者分別設(shè)置55%、70%、100%、120%額定轉(zhuǎn)速下的仿真實(shí)驗(yàn);仿真步數(shù)為400,末端負(fù)載為98 N,設(shè)定關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)函數(shù)使得轉(zhuǎn)過(guò)的關(guān)節(jié)角為(-2.617,-0.873,-0.698,0,0,0)rad;

運(yùn)動(dòng)過(guò)程分別經(jīng)歷了勻加速、勻速、勻減速3個(gè)階段。其中,勻加速及勻減速過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為0.1 s,對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)區(qū)間分別為0～20及20～90,不同轉(zhuǎn)速下的勻速時(shí)間不同,對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)區(qū)間為20～70之間。

2.2 仿真及結(jié)果分析

接下來(lái),筆者分別研究末端執(zhí)行器的角速度誤差、角加速度誤差,關(guān)節(jié)力矩以及末端位移誤差的情況,以此來(lái)說(shuō)明傳動(dòng)誤差對(duì)機(jī)械臂的定位誤差及定位精度的影響情況。

筆者將步長(zhǎng)作為自變量,角速度及角加速度誤差作為因變量,通過(guò)仿真得到了末端執(zhí)行器的角速度誤差圖,如圖4所示。

圖4 不同轉(zhuǎn)速下末端執(zhí)行器角速度誤差圖

不同轉(zhuǎn)速下的角加速度誤差圖如圖5所示。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下角加速度誤差圖

不同轉(zhuǎn)速下的速度及加速度誤差值經(jīng)過(guò)整理,得到了誤差正向最大最小值表,如表5所示。

表5 機(jī)械臂末端角速度及角加速度誤差正向最大最小值表

通過(guò)觀察圖4及表5可知:隨著各個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速的增大,其末端執(zhí)行器的角速度誤差范圍整體呈增大的趨勢(shì),且呈非線性振蕩;

運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為3段:(1)0～20步長(zhǎng)和70～90步長(zhǎng)之間,機(jī)械臂分別經(jīng)歷了0.1 s的勻加速及勻減速,故瞬時(shí)角速度誤差變化明顯;(2)120%額定轉(zhuǎn)速時(shí),瞬時(shí)角速度誤差值最大為4.42°/s,且整個(gè)過(guò)程波動(dòng)不規(guī)則;(3)55%額定轉(zhuǎn)速時(shí),角速度誤差最大為1.86°/s。20～70步長(zhǎng)之間保持勻速狀態(tài),誤差值在0°/s附近正負(fù)交替均勻波動(dòng)。

結(jié)合圖4及表5可知:當(dāng)轉(zhuǎn)速小于額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),在勻速狀態(tài)時(shí),角速度的誤差在-0.3°/s～0.4°/s之間穩(wěn)定波動(dòng)。再觀察圖5可知,隨著轉(zhuǎn)速的增大,角加速度誤差曲線的波動(dòng)更加明顯。

綜上所述,當(dāng)轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),其運(yùn)動(dòng)狀況最優(yōu),其運(yùn)動(dòng)誤差的范圍最小。

當(dāng)轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4的力矩如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速70%時(shí)的部分關(guān)節(jié)力矩

經(jīng)整理后得到的關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4力矩的相對(duì)誤差表,如表6所示。

表6 關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4力矩相對(duì)誤差表

圖6分別為關(guān)節(jié)3、4在帶有傳動(dòng)誤差及不帶有傳動(dòng)誤差情況下的力矩對(duì)比圖,其整個(gè)作用時(shí)間可以分為3段:

在0～0.1 s以及0.32 s～0.42 s內(nèi),傳動(dòng)誤差對(duì)機(jī)械臂的力矩輸出影響很小;但在0.1 s～0.32 s內(nèi),帶有誤差的機(jī)械臂力矩波動(dòng)很大,與無(wú)誤差模型的相對(duì)誤差為42.9%和216.98%。這是由于0 s～0.1 s及0.32 s～0.42 s內(nèi),關(guān)節(jié)3分別經(jīng)歷了勻加速以及勻減速;而在0.1 s～0.32 s內(nèi),關(guān)節(jié)3處于勻速階段,機(jī)械臂啟動(dòng)與停止前的瞬間力矩值很大,故其相對(duì)誤差較小;但在勻速階段力矩值較小,所以誤差明顯。

末端執(zhí)行器終點(diǎn)空間位置點(diǎn)分布如圖7所示。

圖7 末端執(zhí)行器終點(diǎn)空間位置點(diǎn)分布圖

機(jī)械臂末端位移偏折如圖8所示。

圖8 機(jī)械臂末端位移偏差折線圖

末端執(zhí)行器位移偏差如表7所示。

表7 末端執(zhí)行器位移偏差表

傳動(dòng)誤差對(duì)與機(jī)械臂的影響結(jié)果最終體現(xiàn)在定位誤差上,圖7為機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)完成后末端執(zhí)行器在空間上的位置分布。

在同一轉(zhuǎn)速下,無(wú)誤差的位置點(diǎn)與有誤差的位置點(diǎn)之間存在明顯偏差。由圖8可知,驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速與機(jī)械臂末端的位移偏差呈非線性關(guān)系。觀察表7可知,第2組仿真的末端位移偏差最小值為1.07 mm,第4組的位移偏差最大為2.93 mm,對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速分別為70%、120%。

綜合角速度及角速度誤差分析來(lái)看,當(dāng)轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)最為平穩(wěn),定位誤差最小。

3 結(jié)束語(yǔ)

由于工業(yè)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,諧波減速器的柔性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂末端的定位精度下降。為了減小其傳動(dòng)誤差,提高機(jī)械臂末端的定位精度,筆者以UR10機(jī)械臂為例,分別對(duì)諧波減速器和機(jī)械臂進(jìn)行了理論建模及仿真研究,即結(jié)合ADAMS及ANSYS,對(duì)諧波減速器傳動(dòng)誤差進(jìn)行了仿真分析,并采用runge-kutta對(duì)傳動(dòng)誤差動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了迭代求解,對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證;分析了傳動(dòng)誤差對(duì)機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)誤差及定位精度的影響。

研究結(jié)果表明:

(1)采用諧波減速器的數(shù)學(xué)模型對(duì)仿真模型的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證;在轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),求得諧波減速器的傳動(dòng)誤差范圍最小為-8.0″～7.5″;

(2)對(duì)于末端執(zhí)行器的角速度和角加速度誤差而言,在轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),機(jī)械臂末端的瞬時(shí)角速度誤差高達(dá)2.4°/s,穩(wěn)定后其誤差范圍在-0.3°/s～0.4°/s內(nèi);隨著轉(zhuǎn)速的增大,角速度和角加速的誤差范圍波動(dòng)都明顯增大,由此證明,小幅值傳動(dòng)誤差對(duì)于機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生極大的影響;

(3)當(dāng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的70%時(shí),機(jī)械臂末端的位移偏差最小為1.07 mm,此時(shí)定位誤差最小;隨著關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速的增大,機(jī)械臂末端位移偏差呈非線性增長(zhǎng)。

筆者后續(xù)的研究方向是:同時(shí)考慮雙桿柔性情況下,傳動(dòng)誤差對(duì)機(jī)械臂末端定位精度的影響;對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,并計(jì)算考慮多種隨機(jī)參數(shù)輸入下,機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)的可靠度等。