周春燕，胡博

（北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081）

硅微諧振器通常作為傳感器敏感元件，在MEMS中具有廣泛應(yīng)用. 硅微梁式諧振器以彈性梁作為敏感元件，通常采用梳齒電容進(jìn)行動(dòng)態(tài)掃頻加載和頻率檢測(cè)[1]. 其原理是通過將被測(cè)物理量（壓力、加速度、溫度等）的改變轉(zhuǎn)化為彈性梁軸向受力，從而改變梁的固有頻率. 但隨著MEMS 體積的減小，諧振器尺寸常在微米甚至納米級(jí)別，系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性表現(xiàn)出很強(qiáng)的尺度效應(yīng)[2]，輸出信號(hào)中的噪聲干擾將越來越明顯. KAAJAKARI 等[3]通過增大振動(dòng)幅度的方式提高信噪比. 但是在微尺度下，振動(dòng)幅度增大將使諧振梁的振動(dòng)特性具有非線性，產(chǎn)生分岔不穩(wěn)定性[4-6]. 機(jī)械非線性的產(chǎn)生，使得整個(gè)梁結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線右傾，彎曲到更高的頻率，造成諧振器振幅受限，無(wú)法獲得穩(wěn)定振蕩所需要的相位，造成大信噪比等不利影響[7-8]. 因此很有必要對(duì)諧振器結(jié)構(gòu)的非線性展開研究分析，在設(shè)計(jì)中盡量增大振幅的同時(shí)避免非線性帶來的負(fù)面影響.

YOUNIS 等[9]考察了兩端固支的微機(jī)械諧振梁在平板電容激勵(lì)下的非線性響應(yīng)，討論了不同振幅和阻尼條件下振動(dòng)特性的理論解. SHAO 等[10]采用頻閃掃描電子顯微鏡，實(shí)驗(yàn)觀察了兩端固支諧振梁，在中間連接分離式梳齒電容激勵(lì)下的非線性響應(yīng).CHEN 等[11]研究了采用平板電容的反向靜電力非線性，來降低微梁諧振器的非線性效應(yīng)的方法，由于無(wú)法獲得諧振梁的非線性解析方程，該方法只能采用盲試的方式進(jìn)行. TSAIN 等[12]研究了環(huán)式諧振陀螺儀的兩個(gè)變量耦合的非線性振動(dòng)方程，并采用數(shù)值方法進(jìn)行了非線性求解.

近年來，研究者們發(fā)現(xiàn)將梳齒結(jié)構(gòu)直接加工在振動(dòng)梁上的諧振器結(jié)構(gòu)，可以獲得更高的固有頻率和靈敏度[13]. 對(duì)于特定尺寸下的梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器，劉夢(mèng)霞等[14]通過有限元仿真分析，研究了不同振幅條件下非線性剛度與線性剛度的比例關(guān)系，并通過實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了有限元結(jié)果的正確性.

然而，為了進(jìn)一步指導(dǎo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，需要從機(jī)理上分析這類諧振器的非線性行為給諧振器響應(yīng)帶來的影響，尤其是需要了解非線性響應(yīng)與結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、激勵(lì)電壓、阻尼系數(shù)等的關(guān)系. 此外，準(zhǔn)確理解非線性跳躍階段后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)規(guī)律，也可以指導(dǎo)系統(tǒng)控制策略，以合理利用系統(tǒng)的強(qiáng)非線性段的高信噪比同時(shí)避免非線性帶來的不確定現(xiàn)象. 本文將從力學(xué)分析入手，通過靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)，建立梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器的動(dòng)力學(xué)方程. 并對(duì)方程進(jìn)行理論分析和數(shù)值驗(yàn)證，最后通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性.

1 原理及分析

1.1 工作原理

如圖1 所示，以諧振式加速度計(jì)為例，整個(gè)結(jié)構(gòu)通過錨點(diǎn)固定，主要由與折疊梁相連的檢測(cè)質(zhì)量塊、雙端固支音叉式諧振器、微杠桿以及支撐結(jié)構(gòu)組成.

圖1 諧振式加速度計(jì)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of resonant accelerometer

當(dāng)諧振器工作時(shí)，電容使得左右諧振梁保持在其本征頻率上. 當(dāng)在檢測(cè)方向上受到加速度的作用時(shí)，質(zhì)量塊發(fā)生橫向移動(dòng)，在微杠桿結(jié)構(gòu)的作用下，使得左右兩邊的梁結(jié)構(gòu)分別受到軸向的拉力和壓力，從而使其頻率一端增大，另一端減小，根據(jù)頻率差推導(dǎo)求出待測(cè)加速度大小. 圖2 為梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器的結(jié)構(gòu)示意圖，滑膜梳齒結(jié)構(gòu)作為驅(qū)動(dòng)電容和檢測(cè)電容. 因?yàn)轵?qū)動(dòng)電容與振幅的二階導(dǎo)數(shù)等于0，所以靜電剛度為0，在分析結(jié)構(gòu)非線性時(shí)僅需考慮機(jī)械非線性的影響[14].

圖2 梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器的結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 2 Schematic diagram of silicon microresonator with vibrating beam integrated with comb fingers structure

1.2 動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

如圖3 所示，對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器進(jìn)行力學(xué)分析. 諧振器在振動(dòng)時(shí)兩端固定，左半梳齒電容上施加驅(qū)動(dòng)力，右半梳齒電容進(jìn)行檢測(cè).考慮到整根梁上梳齒的分布較為均勻，可以近似認(rèn)為梁的左半部分受均布載荷的作用. 結(jié)構(gòu)的受力情況簡(jiǎn)圖如圖3 表示，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為h，其中虛線部分為變形后的示意圖.

圖3 結(jié)構(gòu)受力示意圖Fig. 3 Schematic diagram of structural forces

考慮到中心梁的長(zhǎng)厚比通常大于10，可以采用歐拉-伯努利梁模型對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.假設(shè)梁的各截面的中心主慣性軸在同一平面XOY內(nèi)，外載荷也作用在該平面內(nèi)，梁在該平面內(nèi)做橫向振動(dòng)，這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形.

品質(zhì)因數(shù)（Q值）是研究諧振器的一項(xiàng)重要參數(shù)，通過半功率帶寬法可以對(duì)其進(jìn)行求解. 考慮到該方法已經(jīng)普及[17-19]，因此本文將同樣使用該方法，通過多組實(shí)驗(yàn)測(cè)得的掃頻數(shù)據(jù)求得阻尼比.

式（15）為梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器的一般動(dòng)力學(xué)方程，可以看到結(jié)構(gòu)具有廣義位移的三次非線性關(guān)系. 對(duì)于不同尺寸參數(shù)的諧振器，只需要將對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)代入公式，即可快速得到它的各項(xiàng)參數(shù)求解，實(shí)現(xiàn)了從理論上研究結(jié)構(gòu)機(jī)械非線性的目的. 從剛度非線性的結(jié)果分析，可以發(fā)現(xiàn)給定位移（輸出信號(hào)）條件下，結(jié)構(gòu)的非線性力與中心梁的面積成正比. 考慮到MEMS 梁通常為矩形結(jié)構(gòu)，因此非線性力與線性力的比值與梁的厚度的平方成反比，即梁越薄非線性效應(yīng)越強(qiáng).

為了進(jìn)一步分析非線性剛度對(duì)于硅微諧振器的動(dòng)態(tài)特性的影響，下面對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行分析. 首先對(duì)方程進(jìn)行量綱一化變換，令

在平均化時(shí)，與 Φ相比，Y和 φ隨時(shí)間t的變化要慢得多.即在振動(dòng)周期2π/ω0中，Y和 φ幾乎不發(fā)生變化，這就可以在式（23）和（24）中對(duì) Φ的變化取平均.因此，對(duì)這兩個(gè)方程在周期2π/ω0內(nèi)取平均，并在實(shí)行平均化時(shí)將Y、 φ、Y˙ 和 φ˙考慮作為常數(shù)，這樣可以得到如下的描述Y和φ緩慢變化的方程

圖4 不同α 下的幅頻特性曲線Fig. 4 Amplitude-frequency characteristic curve under different α

1.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了使驗(yàn)證理論分析結(jié)果，針對(duì)圖2 所示的諧振器進(jìn)行了掃頻實(shí)驗(yàn). 表1 為實(shí)驗(yàn)所用諧振器的基本參數(shù)，實(shí)驗(yàn)選取了激勵(lì)電壓從0.41～5.01 mV 的多組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

表1 諧振器尺寸參數(shù)Tab. 1 Resonator size parameters

為了驗(yàn)證理論曲線的合理性，利用Runge-Kutta法對(duì)方程（33）進(jìn)行正向、反向掃頻分析，得到該結(jié)構(gòu)梁在不同輸入電壓時(shí)的量綱一幅頻響應(yīng)曲線，然后進(jìn)行物理量分析，得到系統(tǒng)的幅頻曲線數(shù)值解. 如圖5 所示，由于非線性失穩(wěn)，在 3.01 mV 激勵(lì)下，正向掃頻時(shí)在頻率峰值( Ωd)處，系統(tǒng)振幅發(fā)生下躍；反向掃頻時(shí)在 Ωu附近會(huì)發(fā)生振幅上躍. 諧振梁的振動(dòng)微分方程掃頻法求得的數(shù)值解與平均法求得的理論解具有極高的一致性，從而說明了平均法在求解該問題時(shí)具有一定的適用性，同時(shí)也說明了非線性理論振動(dòng)分析的正確性.

圖5 驅(qū)動(dòng)電壓為3.01 mV 時(shí)的掃頻曲線和平均法數(shù)值解曲線Fig. 5 Sweep frequency curve and averaging method numerical solution curve when the driving voltage is 3.01 mV

接下來，在不同輸入電壓的情況下，將平均法求得的幅頻曲線理論解與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì). 如圖6所示，沿著縱坐標(biāo)方向由下往上，激勵(lì)電壓逐漸增大.其中實(shí)線為理論的數(shù)值解，虛線為實(shí)驗(yàn)反向掃頻測(cè)得的數(shù)據(jù).

圖6 不同電壓下的幅頻曲線Fig. 6 Amplitude-frequency curve under different voltage

由圖6 可以看出，1.61 mV 接近系統(tǒng)發(fā)生跳躍的臨界電壓.當(dāng)輸入電壓小于1.61 mV 時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線不發(fā)生跳躍，理論曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)幾乎可以吻合；當(dāng)電壓繼續(xù)增加時(shí)，諧振梁的頻率發(fā)生偏移，進(jìn)入非線性狀態(tài)，且隨著驅(qū)動(dòng)電壓的增加，幅頻曲線向右偏移的幅度也不斷增加，頻率跳躍現(xiàn)象逐漸明顯.式（32）給出的系統(tǒng)發(fā)生跳躍失穩(wěn)的臨界峰值振幅為0.054 μm，實(shí)際測(cè)量得到1.6 mV 振幅峰值為0.056 μm，誤差為3.7%.

考慮到在實(shí)際工況中，對(duì)于兩個(gè)對(duì)稱的諧振梁，當(dāng)其處于非線性的狀態(tài)時(shí)，上下兩根梁模態(tài)并不相同，產(chǎn)生的位移也并不對(duì)稱. 而理論推導(dǎo)將其近似為對(duì)稱變形，因此在結(jié)果上可能產(chǎn)生一點(diǎn)的誤差，使得出現(xiàn)圖6 中實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果的偏移情況.

由于系統(tǒng)反向掃頻的實(shí)驗(yàn)曲線通常比較穩(wěn)定，不容易受掃頻參數(shù)的影響，因此也可以利用反向掃頻得到的峰值頻率進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì). 對(duì)于圖1 所示的差分結(jié)構(gòu)，如果兩端諧振器具有相同的幅頻特性，那么發(fā)生非線性失穩(wěn)后的頻率差仍然能反映測(cè)量加速度的變化.

在對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理的過程中，發(fā)現(xiàn)在臨界電壓1.54 mV 附近時(shí)頻率峰值會(huì)出現(xiàn)跳躍的現(xiàn)象，如圖7點(diǎn)狀圖所示. 前面的理論研究表明，在小于臨界電壓時(shí)，測(cè)試得到的固有頻率為峰值頻率（黑色方型散點(diǎn)），即式（30a）表示的下躍頻率；超過臨界電壓后，由于動(dòng)力學(xué)失穩(wěn)，測(cè)試得到的頻率（黑色圓形散點(diǎn)）為式（30b）上躍頻率. 為了驗(yàn)證理論結(jié)果，將式（30a）與（30b）所表達(dá)的理論曲線與試驗(yàn)結(jié)果比較如圖7所示.

圖7 輸入電壓-頻率關(guān)系擬合曲線Fig. 7 Fitting curve of input voltage-frequency relationship

由圖7 可以看出，即使是結(jié)構(gòu)處在穩(wěn)定狀態(tài)，結(jié)構(gòu)的固有頻率隨著激勵(lì)幅值的增加而上升，因此在設(shè)計(jì)器件時(shí)需要精確控制結(jié)構(gòu)的振幅，才能得到準(zhǔn)確的固有頻率. 此外，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，當(dāng)激勵(lì)電壓從1.4 mV 上升到1.6 V 后，頻率發(fā)生了明顯跳躍的現(xiàn)象.為了從理論上分析這一奇特現(xiàn)象，對(duì)臨界激勵(lì)條件下的結(jié)構(gòu)上躍頻率和下躍頻率進(jìn)行詳細(xì)分析.聯(lián)立方程（30a）、（30b）和方程（32）可得，在臨界條件下

2 結(jié) 論

本文針對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振器，進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)分析. 首先采用能量法建立了結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，然后采用平均化方法對(duì)方程進(jìn)行了理論求解. 利用Runge-Kutta 數(shù)值積分法對(duì)振動(dòng)微分方程的掃頻求解以及平均法求得的理論解進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果較好地吻合說明了平均化方法對(duì)求解該問題的及適用性. 然后，通過不同激勵(lì)電壓下解析解的曲線與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比，驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性.

理論分析表明：①結(jié)構(gòu)的機(jī)械非線性剛度，主要受諧振梁的厚度影響，與梳齒的數(shù)量、間距、厚度等無(wú)關(guān)；②在結(jié)構(gòu)發(fā)生非線性失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，理論和實(shí)驗(yàn)表明的固有頻率會(huì)發(fā)生跳躍，這個(gè)現(xiàn)象會(huì)給差分式諧振傳感器帶來較大的誤差；③結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)前的最大振幅與梁的厚度以及阻尼比的1/2 次方成正比，因此，適當(dāng)中心梁的厚度或增加結(jié)構(gòu)阻尼能有效增大系統(tǒng)穩(wěn)定響應(yīng)的位移和輸出電壓信號(hào)；④發(fā)生失穩(wěn)的上躍頻率更容易測(cè)量，且非線性誤差相對(duì)于峰值頻率要小很多，因此采用上躍頻率設(shè)計(jì)器件能得到更高的精度和更高的信噪比.

相比以往在仿真和實(shí)驗(yàn)過程中逐個(gè)調(diào)整參數(shù)大小以觀察諧振器非線性特性，而實(shí)際工況無(wú)法滿足低壓激勵(lì)等弊端，該理論推導(dǎo)提供了一個(gè)普遍適用的參考，僅需將不同的參數(shù)代入公式，即可求解出該結(jié)構(gòu)不同尺寸在使用時(shí)的力-位移曲線、幅頻曲線、固有頻率以及閾值電壓，進(jìn)而研究非線性效應(yīng)，既可以有效避免諧振器在非線性的狀態(tài)下工作，又極大地簡(jiǎn)化了研究過程，降低了仿真和實(shí)驗(yàn)帶來的成本.這項(xiàng)工作也對(duì)接下來研究三自由度差分型諧振器在實(shí)際使用時(shí)振動(dòng)串?dāng)_的研究、非線性效應(yīng)的優(yōu)化提供了基礎(chǔ).