例談多元最值問題的九種策略

摘要：求解多元最值問題技巧性強(qiáng)、難度大、方法多，靈活多變，多元最值問題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，本文結(jié)合學(xué)生存在的問題給出了解決多元最值問題的九種策略.

關(guān)鍵詞：多元;最值;不等式

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0010-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：白亞軍（1978-），男，甘肅省永昌人，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

多元最值問題，指的是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變元的式子的最值求法問題，因?yàn)楹卸鄠€(gè)變元，所以學(xué)生害怕學(xué)習(xí)這一類問題，而這一類問題可以考查學(xué)生的綜合能力，所以學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，不要一味追求某一種解法，要學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的思想方法，提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 利用不等式的性質(zhì)

例1設(shè)xi≥0（i=1，2，3，4，5），∑5i=1xi=1，M=

maxx1+x2，x2+x3，x3+x4，x4+x5，求M的最小值.

解析由M≥x1+x2，M≥x3+x4，M≥x4+x5，得3M≥x1+x2+x3+2x4+x5=1+x4≥1，解得M≥13.

當(dāng)x4=0，x3=x5=13，x1+x2=13時(shí)， M取得最小值13.

點(diǎn)評不等式的基本性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，一定要牢記不等式的基本性質(zhì).

2 利用絕對值不等式

例2求函數(shù)f（x）=x2-a在區(qū)間-1，1上的最大值M（a）的最小值.解析注意到f（-1）=f（1），且

2M（a）≥f（0）+f（1）=a+1-a≥a+1-a=1，

所以M（a）≥12，當(dāng)且僅當(dāng)a=1-a，即a=12時(shí)，M（a）取得最小值12.

點(diǎn)評本題主要根據(jù)絕對值不等式a+b≥a±b求最值，根據(jù)不同情況選取.

3 利用均值不等式

例3設(shè)maxf（x），g（x）=g（x），f（x）≤g（x），f（x），f（x）>g（x），若函數(shù)n（x）=x2+px+q（p，q∈R）的圖象經(jīng)過不同的兩點(diǎn)（α，0），（β，0），且存在整數(shù)n使得n<α<β

A.maxn（n），n（n+1）>1

B.maxn（n），n（n+1）<1

C.maxn（n），n（n+1）>12

D.maxn（n），n（n+1）<12

解析因?yàn)閚（x）=x2+px+q的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（α，0），（β，0），故n（x）=x2+px+q=（x-α）（x-β）.

所以n（n）=（n-α）（n-β）=（α-n）（β-n），n（n+1）=（n+1-α）（n+1-β）.

令α-n=t1，β-n=t2，由于n<α<β

點(diǎn)評通過已知條件轉(zhuǎn)化構(gòu)造和為定值，再利用基本不等式使問題自然獲解.

4 利用柯西不等式

例4若a，b，c>0且a+b+c=33，求

minmaxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b.

解析設(shè)

t=maxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b，則

t≥a2a+2b+3c，t≥b2b+2c+3a，t≥c2c+2a+3b.

由柯西不等式，得3t≥a2a+2b+3c+b2b+2c+3a+c2c+2a+3b≥（a+b+c）26（a+b+c）=a+b+c6=32，解得t≥36，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3取等號.

即

minmaxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b=36.

點(diǎn)評柯西不等式往往不能直接使用，需要對數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用.

5 分類討論

例5若a，b>0，求minmaxa，b，1a+4b的值.

解法1設(shè)t=maxa，b，1a+4b，

則

t≥a，t≥b，t≥1a+4b.

①當(dāng)a≥b時(shí)，t≥1a+4b≥1a+4a=5a，2t≥a+5a≥25，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)取等號;

②當(dāng)b≥a時(shí)，t≥1a+4b≥1b+4b=5b，2t≥b+5b≥25，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)取等號.

綜上，當(dāng)t≥5，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)取等號，即minmaxa，b，1a+4b=5.

點(diǎn)評對于多元函數(shù)最值問題，有時(shí)需將題目條件中包含的全體對象分成若干類，再分類討論.

6 待定系數(shù)法

例5解法2設(shè)t=maxa，b，1a+4b，t≥a，t≥b，則λt≥λa，μt≥μa，且t≥1a+4b.故21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

（λt+μt）t≥（λa+μb）（1a+4b）=λ+4μ+4λab+μba≥λ+4μ+

24λμ，

所以t2≥λ+4μ+24λμλ+μ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=t且4λab=μba時(shí)取等號.即a=b=5，μ=4λ時(shí)， t≥5.即minmaxa，b，1a+4b=5.

點(diǎn)評當(dāng)運(yùn)用不等式性質(zhì)較難達(dá)到目標(biāo)時(shí)，有時(shí)可引入?yún)?shù)作為待定系數(shù)，再根據(jù)題意解決問題.

7 構(gòu)造函數(shù)

例6設(shè)a，b，c∈R，f（x）=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1），求minmaxf（x）.

解析因?yàn)閒（x）為三次函數(shù)且x∈-1，1，聯(lián)想到三倍角公式cos3θ=4cos3θ-3cosθ，所以構(gòu)造特殊函數(shù)f（x）=x3-34x，x∈-1，1.

設(shè)x=cosθ，θ∈-π，π，則

f（x）=14（4cos3θ-3cosθ）=14cos3θ.

從而maxf（x）=14，當(dāng)且僅當(dāng)3θ=0，±π，±2π，±3π，即x=±1或x=±12時(shí)取等號.

故猜測minmaxf（x）=14.

設(shè)t=maxf（x），注意到|f（1）-f（-1）-2f（12）+2f（-12）|=32，故

6t≥f（1）+f（-1）+2f（12）+2f（-12）

≥f（1）-f（-1）-2f（12）+2f（-12）=32.

所以t≥14，考慮到f（x）=x3-34x，x∈-1，1時(shí)，故minmaxf（x）=14.

點(diǎn)評根據(jù)題設(shè)或所具有的特征構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的函數(shù)，借助于函數(shù)性質(zhì)解決問題.

8 利用韋達(dá)定理

例7若a，b，c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求minmaxa，b，c.

解析注意到a，b，c的對稱性，故可設(shè)a=

maxa，b，c.又b+c=12-a，bc=45-a（12-a），

所以方程x2+（a-12）x+45-a（12-a）=0有兩個(gè)不大于a的實(shí)根.故f（a）≥0，12-a2≤05≤a≤6，Δ≥0.當(dāng)a=b=5，c=2時(shí)，minmaxa，b，c=5.

點(diǎn)評一定條件下求某些代數(shù)式的最大值、最小值，如果將其與一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系及根的判別式聯(lián)系起來，將會(huì)給我們提供一種十分巧妙的解題思路.

9 數(shù)形結(jié)合

例8設(shè)f（x）=min2x，16-x，x2-8x+16（x≥0），其中mina，b，c表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值，則f（x）的最大值為（）.

A.6B.7C.8D.9圖1

解析畫出y=2x，y=16-x，y=x2-8x+16的圖象，觀察圖1可知，

當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=2x;當(dāng)27時(shí)，f（x）=16-x，

f（x）的最大值在x=7取得為9，故選D.

點(diǎn)評數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與圖形巧妙地結(jié)合.

通過以上多元最值問題的剖析，最基本的處理策略就是減元，研究一元函數(shù)的思想方法是研究多元函數(shù)的基礎(chǔ)，在任何情況下，學(xué)生都要扎實(shí)抓好基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的落實(shí)，在教學(xué)中做到“點(diǎn)點(diǎn)”落實(shí)，否則“欲速則不達(dá)”.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王小國，李敏.淺談多元最值問題中元的處理技術(shù)[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2021（Z1）：20-22.

[責(zé)任編輯：李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E