旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用

趙令歲

(福建省永泰一中旗山校區(qū) 350700)

在新時期教育背景下，初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排越來越注重同現(xiàn)實生活相接，課本中增添有圖形變換的內(nèi)容，包括旋轉(zhuǎn)、翻折與平移等，其中旋轉(zhuǎn)思想在幾何解題中有著廣泛的運(yùn)用，也是近年來中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一個熱點.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目實際情況巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，降低試題的難題，使他們快速找到突破口，最終順利解題.

1 利用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙構(gòu)圖

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想處理問題時，教師通常需從問題的結(jié)論與條件切入，引領(lǐng)學(xué)生從題干中提供的圖形分析，分析題目的設(shè)計意圖，在結(jié)合旋轉(zhuǎn)變化過程中圖形性狀不發(fā)生改變的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)角度發(fā)生變化的性質(zhì)巧妙構(gòu)圖，讓學(xué)生認(rèn)真觀察和分析圖像的旋轉(zhuǎn)變化確定解題思路，達(dá)到解答問題的目的.這樣學(xué)生能夠親身經(jīng)歷圖形旋轉(zhuǎn)的過程，使他們通過解題訓(xùn)練進(jìn)一步掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并深化對旋轉(zhuǎn)思想的理解與應(yīng)用.

例1如圖1所示，四邊形ABCD是一個正方形，三角形ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后同三角形ABF重合，求(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？三角形ADE旋轉(zhuǎn)多少度？(3)假如把EF連接起來，那么三角形AEF是一個什么樣的三角形？

圖1

解析對于第(1)、(2)小題，學(xué)生通過觀察能夠直接得出答案，即為旋轉(zhuǎn)中心是點A，三角形ADE旋轉(zhuǎn)90°同三角形ABF重合；而對于第(3)小題，教師可先組織學(xué)生在小組內(nèi)合作討論與探究，結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識思考：經(jīng)常判斷三角形的形狀有直角三角形、等腰三角形與等邊三角形，再結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)EF連接起來以后，根據(jù)AE與AF相等、∠1與∠2相等能夠得到∠EAF=∠2+∠3=90°，所以在三角形AEF中，AE=AF，∠∠EAF=90°，這充分說明三角形AEF是一個等腰直角三角形.

2 運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙猜想

在處理數(shù)學(xué)問題時，進(jìn)行合理猜想能夠讓題目顯得更有活力與魅力，通過旋轉(zhuǎn)思想的妙用融入到幾何變式類的問題中，借此凸顯出數(shù)學(xué)猜想的重要作用.要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，教師需堅持循序漸進(jìn)的原則，借助一些變式訓(xùn)練，為學(xué)生進(jìn)行猜想奠定良好基礎(chǔ)，讓他們學(xué)會從多個視角分析與解決問題.初中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中，可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)思想進(jìn)行巧妙猜想，把不同的圖形關(guān)聯(lián)起來，讓他們進(jìn)行觀察、類比、猜想與驗證.

例2如圖2(1)所示，三角形ABC是一個等腰直角三角形，其中AC=BC，四邊形CDEF是一個正方形，連接BD、AF，(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間的關(guān)系，且證明；(2)如果把正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使之一邊落在三角形ABC內(nèi)，請畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標(biāo)記字母，分析題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，直接寫出結(jié)論，無需證明，如果不成立，說明理由.

圖2

解析(1)讓通過觀察學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中隱含著旋轉(zhuǎn)變換，△ACF繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCD，由此猜想出AF=BD，且AF⊥BD.這樣的猜想過程能為證明做鋪墊，讓學(xué)生順利找到證明兩個三角形全等的條件，得到△ACF≌△BCD，推出AF=BD與∠AFC=∠BDC，再利用∠AFC+∠FGC=90°得到AF⊥BD.(2)圖2(2)是CD邊在△ABC內(nèi)部時，圖2(3)是CF邊在△ABC內(nèi)部時，當(dāng)正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)時，一邊落在△ABC內(nèi)部，始終有AF=BD數(shù)量關(guān)系與AF⊥BD的位置關(guān)系.

3 采用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，讓學(xué)生“做一做，動一動”思維能夠變得更加活躍，而遇到一些難以處理的幾何圖形類問題時，教師可以指導(dǎo)他們巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，對題目中的圖形或者圖形的一部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，由此找到解題的突破口.同時，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生緊緊抓住旋轉(zhuǎn)后新圖形和原圖形所具備的性質(zhì)，并依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形、等邊三角形及正方形的性質(zhì)等，讓他們學(xué)會化繁為簡，使其快速、準(zhǔn)確的找到解題方法，

例3如圖3所示，在三角形ABC中，AC與BC的長度一樣，點D是邊AB上的一點，求證：DB2+AD2=2CD2.

圖3

解析處理旋轉(zhuǎn)類的問題時要抓住兩點：一是旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等，二是利用好旋轉(zhuǎn)的角度.具體解答方法如下：學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再把ED連接起來，這樣將分散的線段DB、AD與CD整合到兩個直角三角形△BDE和△CDE中，結(jié)合勾股定理能夠得到ED2=DB2+BE2=DB2+AD2，繼而得到ED2=CD2+CE2=2CD2.

4 巧用旋轉(zhuǎn)思想解決角度問題

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，幾何圖形類題目占據(jù)著較大的比重，在平常訓(xùn)練與考試中均較為常見，而計算角度類問題屬于基礎(chǔ)性題型，處理這類題目時，需要結(jié)合已知條件把分散的條件進(jìn)行集中分析與處理.對此，初中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想分析和解決角度問題，先對原圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化，分析圖形的特殊位置和角度，再結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)公式展開解題，使其把陌生問題轉(zhuǎn)變成熟悉的問題，把復(fù)雜問題變得簡單化，讓他們輕松解題.

例4如圖4(1)所示，點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，其中PA的長度是3，PB的長度是4，PC的長度是5，求∠APB的大小.

圖4

解析當(dāng)學(xué)生看到3、4、5在這組數(shù)據(jù)時，通常會第一時間想到勾股定理，這是直角三角形的三條邊的長度，但是在本題中分散在三角形ABC內(nèi)部，解題該題的關(guān)鍵是想法將這分散的三邊集中到同一個三角形中，通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化實現(xiàn).具體來說，可以讓三角形APB圍繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到三角形ADC，把PD連接起來，如圖4(2)所示，則AD=AP=3，DC=PB=4，∠PAD=60°，所以三角形PAD是一個等邊三角形，則PD=PA=3，在三角形PDC中，PD2+DC2=32+42=52，PC2=52，由此得到∠PDC=90°，則∠APB=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

5 巧用旋轉(zhuǎn)思想解決長度問題

對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，計算線段長度類問題也十分常見，這類題目從表面上看往往難度不大，但是仔細(xì)觀察圖形與分析題目內(nèi)容以后，發(fā)現(xiàn)并不易求解，而且部分題目給出的條件較少，學(xué)生極易陷入到困境之中，他們很難快速形成準(zhǔn)確的解題思路.因此，初中數(shù)學(xué)教師在具體的解題訓(xùn)練中，可以指導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)思想對題目中的圖形展開旋轉(zhuǎn)與變換，明確旋轉(zhuǎn)以后角、邊的元素變化情況，使其形成清晰的解題思路，提高解題效率.

例5如圖5(1)所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

圖5

解析經(jīng)過觀察后發(fā)現(xiàn)將三角形BCE圍繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，就能夠構(gòu)成一個正方形，再結(jié)合三角形全等的性質(zhì)確定邊與邊自己的關(guān)系.具體解題方法如下：把OA延長，使三角形BCE圍繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，同DA的延長線分別相交于點G與點M，如圖5(2)所示，得出一個正方形BCGDG，則BC=BG，又因為∠CBE=∠GBM，所以Rt△BEC≌Rt△BMG，BM=BE，∠ABE=∠ABM=45°，△ABE≌△ABM，AM=AE=10，此時，設(shè)CE=x，則AG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x，DE=12-x，那么在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即102=(x+2)2+(12-x)2，化簡后得到x2-10x+24=0，解之得x1=4，x2=6，即為CE的長是4或者6.