應(yīng)用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理

曾 嬌 唐金芳 肖 剛

(四川省宜賓學(xué)院理學(xué)部 644000)

1 基本模型

1.1 “A”型

如圖1，在△ABC中，DE∥BC

圖1 圖2

注：代數(shù)中合比定理可由此模型理解.

1.2 “X”型

如圖2，DE∥BC，DC與BE交于點A

2 平行線法在著名平面幾何定理中的應(yīng)用

2.1 梅涅勞斯定理

設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(即三點中或一點或三點在邊的延長線上)，則A′、B′、C′共線的充要條件是( ).

圖3

關(guān)于梅涅勞斯定理教學(xué)分析:

在上述的證明過程中，我們的方法是作輔助線過點“A”作與“梅氏線”平行的輔助線

同理我們也作輔助線過點“B”或“C”作與“梅氏線”平行的輔助線，可以將六條線段轉(zhuǎn)化在直線AB或者AC上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

如圖4，作輔助線過點“B”作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AE”，利用“A”型將所有線段比轉(zhuǎn)化到AC上.

圖4

證畢.

2.2 塞瓦定理

設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(即三點中或一點或三點在邊的延長線上)，則三直線AA′、BB′、CC′共點或平行的充要條件是

證明必要性：如圖5，若AA′、BB′、CC′交于一點P，則過A作BC的平行線，分別交BB′，CC′的延長線于D,E，得：

圖5

如圖6，若AA′、BB′、CC′三線平行，可類似證明.

圖6

故AA′∥BB′∥CC′.

關(guān)于塞瓦定理教學(xué)分析:

將六條線段轉(zhuǎn)化在一組平行線“ED”“BC”上.同理我們也可以將六條線段轉(zhuǎn)化在另外兩組平行線上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

2.3 梅涅勞斯定理與塞瓦定理

如圖7，利用梅涅勞斯定理證明塞瓦定理：

圖7

設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(即三點中或一點或三點在邊的延長線上)，則三直線AA′、BB′、CC′共點或平行的充要條件是

以共點為例：

在△ABC中：

△ABA′被直線CPC′所截：

△ACA′被直線BPB′所截：

反之：由塞瓦定理可以推導(dǎo)梅涅勞斯定理.

對于平面幾何題，我們經(jīng)常思考“一題多解”、“多題一解”等問題，有助于我們發(fā)散思維.解同一幾何題，有不同的輔助線添加方法，則解題方法不一樣.掌握基本幾何模型以及作輔助線的技巧，一題就可能實現(xiàn)多解.著名平面幾何定理的欣賞，有利于我們提升自己的幾何素養(yǎng).本文我們總結(jié)了兩類模型以及在著名平面定理里的應(yīng)用，兩類模型的結(jié)論，均是與線段比例有關(guān)，所以，有關(guān)線段比例問題，可考慮這兩類模型結(jié)論.轉(zhuǎn)化線段的方法，在三角形的相似、線段積與線段比的數(shù)量關(guān)系、面積問題等方面有著廣泛的應(yīng)用.

梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松等著名平面幾何定理的學(xué)習(xí)與研究，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，而且可以向?qū)W生展現(xiàn)出平面幾何的美，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.應(yīng)用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理，重點闡述作輔助線的技巧與依據(jù)，讓學(xué)生迅速舉一反三，類比遷移，有利于提高解題效率.