聚焦符號(hào)意識(shí) 培養(yǎng)代數(shù)思維

李娟

符號(hào)是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的基本要素。符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。代數(shù)思維的顯著特征是符號(hào)語(yǔ)言的運(yùn)用?；诖?，筆者從符號(hào)意識(shí)的角度，談一談如何培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

一、滲透等價(jià)關(guān)系，在關(guān)系思維中萌發(fā)代數(shù)意識(shí)

在低年級(jí)段，學(xué)生就認(rèn)識(shí)了數(shù)字符號(hào)（1、2、3……）、關(guān)系符號(hào)（=、>、<）和運(yùn)算符號(hào)（+、-）等。要培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，就必須使學(xué)生對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)從程序觀念轉(zhuǎn)變到關(guān)系觀念上來(lái)。然而，低年級(jí)段學(xué)生的思維還處在具體運(yùn)算階段，很難以形式運(yùn)算的思維去理解算式背后的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。具體表現(xiàn)為，看到“=”就想算出結(jié)果，如9+4=（？）+7，學(xué)生高頻率地出現(xiàn)括號(hào)里面填“13”的錯(cuò)誤現(xiàn)象。這主要源于學(xué)生對(duì)“=”意義的理解不全面，往往將等號(hào)視為連接運(yùn)算結(jié)果的一種操作符號(hào)，很少將等號(hào)視為表示平衡或等價(jià)關(guān)系的一種關(guān)系符號(hào)。

基于以上認(rèn)識(shí)，教師應(yīng)在培養(yǎng)低年級(jí)段學(xué)生算術(shù)思維的過(guò)程中，應(yīng)充分利用教材中的素材，向?qū)W生滲透代數(shù)思維。如在教學(xué)數(shù)的組成與分解時(shí)，教師可以將“10可以分成1和9”寫成“10=1+9”，將“9和1組成10”寫成“1+9=10”，也可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察“12=6+（？）”“（？）+（？）=8+4”“25+32=（? ）+30”等式子，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“=”的左右兩邊是一種等價(jià)關(guān)系，改變“左邊是算式，右邊是得數(shù)”“看到等號(hào)就計(jì)算”等思維定式，進(jìn)而超越算術(shù)思維，運(yùn)用關(guān)系思維理解等號(hào)的等價(jià)內(nèi)涵。

二、利用符號(hào)表征，在表達(dá)和概括中發(fā)展代數(shù)思維

代數(shù)思維的核心是數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一般化，而符號(hào)語(yǔ)言是代數(shù)中最重要的元素。符號(hào)語(yǔ)言表征常常以抽象為基礎(chǔ)，重視學(xué)生體驗(yàn)、概括的過(guò)程。

1.自然語(yǔ)言符號(hào)化

教師應(yīng)注重情境的多元表征，幫助學(xué)生在不同的表征方式之間建立聯(lián)系，并通過(guò)對(duì)比分析，體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的概括性。例如：在學(xué)習(xí)“加法結(jié)合律”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將“三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變”的自然語(yǔ)言，用符號(hào)語(yǔ)言予以簡(jiǎn)化描述，如（￡+△）+○=￡+（△+○）、（a+b）+c=a+（b+c）等，并對(duì)符號(hào)可以代表哪些數(shù)進(jìn)行討論，幫助學(xué)生理解符號(hào)可以代表任意一個(gè)數(shù)，體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的一般化。后續(xù)教學(xué)中，教師可以將這種表征方式遷移運(yùn)用到乘法運(yùn)算定律和各種運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。

2.數(shù)量關(guān)系符號(hào)化

在教學(xué)《用字母表示數(shù)》時(shí)，教師通常會(huì)引入“數(shù)青蛙”的活動(dòng)，先給出具體數(shù)量，讓學(xué)生直觀感知青蛙只數(shù)與嘴的張數(shù)、眼睛只數(shù)及腿的條數(shù)之間的關(guān)系;然后讓學(xué)生用自己的方式填一填“（? ）只青蛙（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿”;最后通過(guò)比較，讓學(xué)生體驗(yàn)用字母表示數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)潔性與一般性，如n只青蛙n張嘴，“n×2”只眼睛，“n×4”條腿。這樣的探索過(guò)程符合學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，較好地實(shí)現(xiàn)了由具體到抽象的思維過(guò)渡。

三、運(yùn)用符號(hào)模型，在運(yùn)算和推理中提升代數(shù)思維

代數(shù)思維主要表現(xiàn)為利用符號(hào)系統(tǒng)表征研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，具體的數(shù)先抽象為符號(hào)，再經(jīng)過(guò)運(yùn)算、推理建立模型。這一過(guò)程指向數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模三個(gè)數(shù)學(xué)基本思想，能有效提升學(xué)生的代數(shù)思維水平。

1.模型構(gòu)建

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在教學(xué)中，我們應(yīng)充分利用新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過(guò)程，發(fā)展代數(shù)思維。例如，探究圓的面積公式時(shí)，筆者先用多媒體演示把圓分成若干偶數(shù)等份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形的過(guò)程;然后引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a近似于圓周長(zhǎng)的一半（[πd2）]，寬b近似于圓的半徑r;最后引導(dǎo)學(xué)生完成運(yùn)算推理，即由長(zhǎng)方形的面積[s=ab]推知圓的面積[s=ab]=[πd2r]=[2πr2r]=[πr2]。在推導(dǎo)的過(guò)程中，學(xué)生利用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓的周長(zhǎng)和半徑之間的聯(lián)系，建立等價(jià)關(guān)系[s=ab]=[πd2r]，經(jīng)過(guò)運(yùn)算和推理得到[s=πr2]，在一般化的符號(hào)運(yùn)用過(guò)程中提升了代數(shù)思維水平。

2.模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程包括“問(wèn)題抽象—建立模型—解釋或應(yīng)用”三個(gè)階段。模型的解釋或應(yīng)用過(guò)程是學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)模型，提升代數(shù)思維水平的關(guān)鍵一環(huán)。例如，判定“任意兩個(gè)相鄰自然數(shù)的和一定是奇數(shù)”這個(gè)命題時(shí)，無(wú)論學(xué)生舉再多實(shí)例，都無(wú)法通過(guò)完全歸納法得出相應(yīng)結(jié)論，因?yàn)樽匀粩?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，但是，如果從代數(shù)思維出發(fā)，把兩個(gè)相鄰的自然數(shù)分別用n和n+1來(lái)表示，通過(guò)計(jì)算n+n+1=2n+1，就可清楚地判定任意兩個(gè)相鄰自然數(shù)的和一定是奇數(shù)。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，能讓學(xué)生充分體會(huì)到模型思想的價(jià)值所在，進(jìn)而悅納符號(hào)，發(fā)展代數(shù)思維。

總之，代數(shù)思維的培養(yǎng)重在關(guān)系的符號(hào)化，以及對(duì)符號(hào)的運(yùn)算。它是在算術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，但它們的思維方法有本質(zhì)區(qū)別。學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)不僅需要積累算術(shù)經(jīng)驗(yàn)，還需要把握代數(shù)思維發(fā)展的階段性，結(jié)合教材內(nèi)容，循序漸進(jìn)地進(jìn)行。

（作者單位：棗陽(yáng)市教學(xué)研究室）

責(zé)任編輯? 劉佳