龔 云 信 杰 南守琎

1 西安科技大學測繪科學與技術學院，西安市雁塔中路58號，710054

微機電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system, MEMS)陀螺儀與其他類型的陀螺儀相比具有體積小、成本低、可靠性高等特點[1]。但受自身元器件和外部環(huán)境的影響，MEMS陀螺儀輸出的數(shù)據誤差較大，測量精度相對較低。影響MEMS陀螺儀精度的主要誤差源為隨機漂移[2]。通過積分解算陀螺儀數(shù)據可消除穩(wěn)態(tài)誤差，但隨機噪聲依然存在。

經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)方法[3]不需要信號的先驗信息，可自適應地將陀螺儀原始信號分解為一系列高頻到低頻的本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function, IMF)和1個殘差余量，是數(shù)據去噪的有效方法[4]，但EMD分解時存在模態(tài)混疊問題。Torres等[5]提出在EMD分解的每個階段添加自適應白噪聲的完備集成經驗模態(tài)分解(complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise, CEEMDAN)方法，可解決EMD分解的模態(tài)混疊問題，并精確重構信號。張寧等[6]在CEEMDAN的基礎上采用改進的小波閾值對MEMS信號進行去噪，取得了較好的效果。EMD和CEEMDAN方法均將原始信號分解為一系列IMF分量，通過篩選機制確定噪聲模態(tài)分量，剔除噪聲分量后對剩余分量進行重構來消除信號噪聲。不同的IMF篩選方法對重構效果具有較大影響。目前常見的IMF篩選方法包括排列熵、相關系數(shù)法等[7]。但排列熵方法計算量較大；相關系數(shù)法對于非線性、非平穩(wěn)信號的降噪效果較差[8]。

本文在CEEMDAN分解的基礎上，將Hurst指數(shù)作為模態(tài)篩選機制，把IMF分量劃分為噪聲模態(tài)分量、混合模態(tài)分量和信息模態(tài)分量，并對混合模態(tài)分量進行濾波后重構信號，得到最終結果。

1 去噪模型

CEEMDAN算法具體步驟參考文獻[9]，本文不再贅述。

1.1 Hurst指數(shù)

本文使用Hurst指數(shù)篩選機制對經CEEMDAN處理后得到的IMF分量進行篩選。Hurst指數(shù)即有偏的隨機游走，最早被用來分析水庫與河流的進出水流量，后被應用于股市等行業(yè)的分形分析[10]。Hurst指數(shù)有3種形式：0

使用R/S分析法計算Hurst指數(shù)[11-12]。取一個時間序列IMF1(t)(t=1,2,…)，對于任意正整數(shù)τ≥1(τ=1,2,…,n)，該時間序列的平均可表示為：

累積差X(t)可表示為：

將同一個τ值對應的X(t)的最大值與最小值之差稱為極差，記為：

R(τ)=maxX(t,τ)-minX(t,τ)

(3)

Hurst標準偏差可表示為：

在Hurst指數(shù)的基礎上，可得到更廣泛的指數(shù)律：

R/S=(τ/2)H

(5)

式中，H為Hurst系數(shù)。

1.2 AKF

混合模態(tài)中有用信息與噪聲信息共存，因此需對其進行濾波處理。本文采用加入遺忘因子的AKF對信號進行濾波處理。

將卡爾曼狀態(tài)方程和量測方程設為：

式中，X(k)為k時刻的狀態(tài)向量，取陀螺儀的輸出時間序列；F為狀態(tài)轉移矩陣；Z(k)為k時刻對應的量測向量；H為觀測矩陣；W(k)、V(k)分別為k時刻系統(tǒng)噪聲和量測噪聲，且為不相關的零均值白噪聲?？柭鼮V波算法流程如下：

式中，Pk/k-1為當前時刻狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣。在卡爾曼濾波時間更新中求取Pk/k-1時乘以相應的遺忘因子[13]，以抑制歷史狀態(tài)信息產生的影響：

遺忘因子求取方式為[14]：

λk=max{1,tr(Nk)/tr(Mk)}

(9)

其中，

1.3 引入Hurst指數(shù)的去噪模型

原始信號經CEEMDAN處理后，采用Hurst指數(shù)作為模態(tài)篩選機制，選擇Hurst指數(shù)的最低點為噪聲模態(tài)分量與混合模態(tài)分量的分界點M1；將Hurst指數(shù)值超過0.5的臨界點作為混合模態(tài)分量與信息模態(tài)分量的分界點M2。本文將本征模態(tài)函數(shù)劃分為噪聲IMF、混合IMF和信息IMF。剔除噪聲IMF，保留信息IMF，采用AKF處理混合IMF，將濾波后的混合IMF、信息IMF和殘差余量進行重構，得到去噪后的信號，具體流程見圖1。

圖1 去噪方法流程Fig.1 Flow chart of denoising method

去噪方法大致步驟如下：

1)對原始陀螺信號s(t)進行CEEMDAN處理，得到n階IMF和1個殘差余量；

2)計算各IMF分量的Hurst值，確定不同模態(tài)分量邊界；

3)采用AKF對混合模態(tài)進行濾波處理；

4)將濾波后的IMF分量及保留的信息模態(tài)進行重構，得到去噪后的信號：

5)用信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)評價降噪效果。

2 實驗分析

2.1 信號分解

實驗所用陀螺儀為STIM300慣性測量單元，采樣時間為3 h，采樣頻率為100 Hz，陀螺儀參數(shù)見表1。

表1 陀螺儀參數(shù)Tab.1 Gyroscope parameters

選擇3 h靜止數(shù)據中的5 min進行實驗分析，原始信號見圖2。

圖2 陀螺儀原始信號Fig.2 Gyroscope original signals

對原始信號分別進行EMD、EEMD和CEEMDAN處理，并將分解后的模態(tài)分量直接重構，3種方法誤差對比見表2。

表2 不同分解方法誤差對比Tab.2 Error comparison of different decomposition methods

從表2可以看出，EMD和CEEMDAN誤差量級太小可忽略不計，EEMD重構誤差較大。

使用CEEMDAN方法將原始信號分解為16階IMF分量和1個殘差余量，結果見圖3。

圖3 IMF分量Fig.3 IMF components

2.2 模態(tài)篩選

用Hurst指數(shù)篩選機制、排列熵和相關系數(shù)法分別篩選CEEMDAD處理后的模態(tài)分量，其中相關系數(shù)法分別采用皮爾遜系數(shù)和自相關系數(shù)確定上下界，結果見圖4。

圖4 相關性分布Fig.4 Correlation distribution

從圖4(a)可以看出，Hurst值呈現(xiàn)先降低后上升的趨勢，在模態(tài)階數(shù)較小時，IMF分量中噪聲信號占比較大，Hurst指數(shù)呈負相關，且相關性逐漸增大；隨著階數(shù)升高，IMF中噪聲成分逐漸減少，噪聲對信號的影響隨之減小，在IMF5之后Hurst值持續(xù)上升，由強負相關逐漸轉為正相關。因此，將Hurst指數(shù)最低點確定為噪聲模態(tài)與混合模態(tài)的分界點M1，將H=0.5作為混合模態(tài)與信息模態(tài)的分界線，從而確定M2。從圖4(a)還可以看出，IMF4的Hurst指數(shù)最低，為0.154 5；IMF10的Hurst指數(shù)超過0.5，為0.559 6。因此，M1=4為噪聲模態(tài)分量與混合模態(tài)分量的分界點，M2=9為混合模態(tài)分量與信息模態(tài)分量的分界點。

比較3種方法的分界點和運行時間，結果見表3?？梢钥闯?，不同篩選機制確定的分界點不同，但均在一個區(qū)間內；排列熵法的運行時間最長，Hurst指數(shù)法所需時間最少。

表3 篩選結果對比Tab.3 Comparison of screening results

2.3 去噪對比

濾波后對混合模態(tài)分量進行重構能夠有效提升信號的信噪比，本文采用AKF處理混合模態(tài)分量，并與小波閾值濾波結果進行對比，結果見圖5?？梢钥闯?，2種方法均能去除原始信號中的噪聲。進一步分析表明，AKF既能濾除混合模態(tài)分量信號中的噪聲，還可以有效保留混合模態(tài)中的有效信息；小波閾值濾波重構效果直觀上優(yōu)于AKF，但其可能會濾除掉信號中的有用信息。

圖5 不同濾波器重構效果Fig.5 Reconstruction effect of different filters

將上節(jié)中3種篩選機制得到的混合模態(tài)分別進行處理并重構信號，計算其SNR及RMSE，結果見表4。

表4 去噪模型評價Tab.4 Denoising model evaluation

由表4可以看出，使用同樣的濾波方法或篩選方法，本文提出的模型均具有較好的處理效果。使用AKF處理混合模態(tài)，Hurst指數(shù)篩選機制方法處理得到的信號SNR較排列熵法提高約12%，較相關系數(shù)法提高約36%；RMSE較排列熵法降低約10%，較相關系數(shù)法降低約23%。采用Hurst指數(shù)篩選機制，AKF處理混合模態(tài)后重構信號的SNR較小波閾值濾波法提高約36%，RMSE較小波閾值濾波法降低約23%。

3 結 語

本文采用CEEMDAN方法將陀螺儀原始信號分解為一系列頻率由高到低的IMF分量和1個殘差余量，通過Hurst篩選機制將IMF分量劃分為噪聲模態(tài)分量、混合模態(tài)分量和信息模態(tài)分量，并使用AKF處理混合模態(tài)分量后重構信號。實驗分析表明，本文提出的模型較其他傳統(tǒng)方法具有更高的重構精度和計算效率。