吳澤艷 羅 威 田東方 彭 輝 葉 永

(三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院,湖北宜昌 443002)

材料力學(xué)課程中,在推導(dǎo)出直桿的偏心拉(壓)正應(yīng)力計(jì)算公式后,得到了中性軸方程,然后自然地引出了截面核心[1-5]的概念。要引導(dǎo)學(xué)生深入理解截面核心的概念,可盡可能多地給出不同截面形狀的截面核心的例子。為此,我們借鑒了相關(guān)先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)[6-8],編寫了相應(yīng)的MATLAB 程序,實(shí)現(xiàn)了可視化教學(xué)。計(jì)算過程中,需要計(jì)算截面的面積、靜矩、慣性矩和慣性積等平面圖形的幾何性質(zhì)。教材[1]中給出了計(jì)算這些幾何量的近似方法。我們利用散度定理給出了一種新的數(shù)值計(jì)算方法。

如果對截面核心的教學(xué)到此為止,深度似乎有所不足。范欽珊等[9]提出“課程教學(xué)改革的思路是：注重基礎(chǔ),挖掘深度,適當(dāng)擴(kuò)展,面向未來”。薛秀麗等[10]提出“適當(dāng)擴(kuò)展課程內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣”。所以,我們在列舉出若干截面核心的實(shí)例后,引導(dǎo)學(xué)生探究截面核心的一個(gè)性質(zhì)—外凸性。事實(shí)上,該性質(zhì)容易被忽視,如教材[5] 截面核心示意圖中截面核心不是外凸的。王道敏[11]討論了截面核心的性質(zhì),用幾何方法證明了當(dāng)橫截面為多邊形時(shí)截面核心是包圍形心的凸多邊形。我們運(yùn)用靜力等效和疊加原理從力學(xué)角度解釋了該性質(zhì),也從數(shù)學(xué)上證明了截面核心是凸集。

我們希望通過這樣的教學(xué)安排,學(xué)生能夠?qū)孛婧诵母拍钣星逦恼J(rèn)識(shí),在課堂上“有實(shí)實(shí)在在的獲得感,或者有學(xué)而收獲的預(yù)期”[12],同時(shí),我們希望強(qiáng)化一種思考方法：對新事物,首先經(jīng)過大量的觀察,建立初步的認(rèn)識(shí),再思考猜測其性質(zhì),最后證明猜想,完成從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華。

1 截面核心的概念

考慮受偏心拉伸的直桿。在桿的端部建立如圖1 所示的坐標(biāo)系,坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于截面的形心。在桿的端部受集中力F的作用,力F的作用點(diǎn)坐標(biāo)為M(yF,zF),方向與桿的軸線平行。

圖1 偏心拉伸的直桿

在點(diǎn)M(yF,zF) 處作用與軸線平行的力F時(shí),直桿的受力形式為偏心拉伸(壓縮),依組合變形的疊加原理,其橫截面上任意一點(diǎn)C(y,z)處的正應(yīng)力為[1-5]

這里A為直桿的橫截面面積,iy和iz為慣性半徑,均為常數(shù)。在式(1) 中令σ= 0 可得到中性軸的方程為

土建工程中常用的混凝土構(gòu)件和磚、石砌體,其拉伸強(qiáng)度遠(yuǎn)低于壓縮強(qiáng)度,這就要求桿件在受偏心壓力作用時(shí),其橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力,即應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。當(dāng)外力作用點(diǎn)位于截面形心附近的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí),可保證中性軸不與橫截面相交,這個(gè)區(qū)域稱為截面核心。

2 截面核心的計(jì)算

截面核心的計(jì)算過程教材已經(jīng)給出,在此不再贅述。計(jì)算過程中需要求解平面圖形的幾何性質(zhì),這里給出一種邊界積分的方法。本方法有別于教材[1]中的近似方法,計(jì)算精度高,編程實(shí)現(xiàn)簡單。

2.1 平面圖形的幾何性質(zhì)的計(jì)算

在微積分課程中已經(jīng)得到散度定理,即

式中,?和??分別表示積分域及其邊界,n表示邊界的外法線方向,B表示某向量場?，F(xiàn)在考慮某標(biāo)量T的面積分。為了將面積分轉(zhuǎn)化為邊界積分,可構(gòu)造向量B,使得

則有

當(dāng)標(biāo)量T的形式比較簡單(如多項(xiàng)式)時(shí),向量B易于構(gòu)造,對標(biāo)量T的面積積分就容易轉(zhuǎn)換為向量B的邊界積分。對于式(5) 中的邊界積分,可先對邊界進(jìn)行單元剖分,然后逐單元積分,最后求和。當(dāng)邊界的某部分為直邊時(shí),該部分只劃分為一個(gè)單元；當(dāng)邊界是曲邊邊界時(shí),為保證精度需要?jiǎng)澐譃槎鄠€(gè)單元。

對面積、靜矩、慣性矩和慣性積的計(jì)算,只需恰當(dāng)選擇式(5) 中的向量函數(shù)B即可。這里給出求各幾何量對應(yīng)的向量函數(shù)B以及最終采用線性單元時(shí)的線積分計(jì)算公式,如表1 所示。

表1 面積、靜矩、慣性矩和慣性積的計(jì)算

式(6)～式(11)中,y和z是節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo),下標(biāo)1 和2 表示單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào),n是單元數(shù)。公式應(yīng)用條件為邊界節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列。

2.2 截面核心的計(jì)算實(shí)例

教學(xué)過程中,運(yùn)用自編的MATLAB 程序計(jì)算了若干不同形狀截面的截面核心。程序?qū)π螤钜?guī)則的截面,如圓、橢圓、正多邊形等,可直接輸入相關(guān)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,對于復(fù)雜的圖形,可讀入圖形的邊界點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,如圖2 所示。因版面所限,這里僅僅給出幾例,如圖3～圖6 所示。特別地,為了增加趣味性,給出了心臟線形截面的截面核心,這也是下一個(gè)話題的引子。

圖2 截面核心計(jì)算程序

圖3 T 形截面的截面核心

圖4 L 形截面的截面核心

3 截面核心是凸集

教學(xué)中,在給出了圖5 所示心臟線形截面的截面核心后,拋出一個(gè)問題：是否存在一個(gè)截面,其截面核心是心臟線形狀？

圖5 心臟線形截面的截面核心

經(jīng)過前面展示多個(gè)不同形狀截面的截面核心,可引導(dǎo)學(xué)生思考、猜測截面核心的共同特征：外凸的。如果這個(gè)猜測是正確的,那么上述問題的答案就是否定的,只可能是圖6 所示的近似心臟線形狀。下面的工作就是證明該猜想。首先基于靜力等效和疊加原理從力學(xué)上解釋截面核心不可能是凹的,再在給出凸集定義的基礎(chǔ)上,從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明這一猜想。

圖6 截面核心為近似心臟線形的截面

3.1 力學(xué)解釋

假設(shè)截面核心是凹的,如圖7 所示。設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B在截面核心內(nèi),點(diǎn)C在A和B連線上且位于截面核心外。記AC的長度為lAC,BC的長度為lBC。現(xiàn)在C點(diǎn)作用壓力FC,因?yàn)辄c(diǎn)C不屬于截面核心,所以橫截面上既有拉應(yīng)力,也有壓應(yīng)力。

圖7 力學(xué)解釋示意圖

考慮另外一種情況：在點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)作用壓力FA和FB,且有

則根據(jù)疊加原理,橫截面上只有壓應(yīng)力,沒有拉應(yīng)力。

然而,上述兩種情況是靜力等效的,不應(yīng)該在橫截面上出現(xiàn)不同的應(yīng)力分布。矛盾源于截面核心是凹的假設(shè)。這就從力學(xué)上解釋了截面核心不可能是凹的。

3.2 截面核心是凸集的證明

為了使得證明過程清晰,首先給出平面上凸集的定義,再提出兩個(gè)命題,最后用這兩個(gè)命題證明最終結(jié)論。

3.2.1 凸集的定義

按文獻(xiàn)[13-14] 給出平面上凸集的定義：對集合K ?R2,如果任意給定兩點(diǎn)p,q ∈K,直線段包含在K中,則稱K是凸集,如圖8 所示。

圖8 凸集的定義

在集合K ?R2的邊界上任取兩點(diǎn)M1和M2,如果證明了線段上的任何一點(diǎn)都屬于K,那么K是凸集。因?yàn)閷τ谌我饨o定兩點(diǎn)p,q ∈K,總可以作通過點(diǎn)p和q的直線與邊界相交,交點(diǎn)記作M1和M2,如圖9 所示。如果線段上的任何一點(diǎn)都屬于K,那么線段當(dāng)然也包含在K中,根據(jù)凸集的定義,K是凸集。下文證明截面核心是凸集時(shí)正是采用了這種方法。

圖9 凸集的證明策略

3.2.2 命題1

如圖10 所示,位于坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0) 兩側(cè)、相互平行的兩直線l1和l2,其方程分別為

圖10 命題1 示意圖

這里k <0,a和b不同時(shí)為0。另有直線l,其含參數(shù)λ的方程為

則當(dāng)0<λ<1 時(shí),直線l在直線l1和l2外側(cè)。

該命題的證明很簡單,此處略。

3.2.3 命題2

不通過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0) 的直線l1和l2,其方程分別為

它們相交于點(diǎn)Q。直線l1和l2將平面Oyz劃分為四個(gè)角域,如圖11 所示。另有直線l,其含參數(shù)λ的方程為

圖11 命題2 示意圖

則當(dāng)0<λ<1 時(shí),直線l不會(huì)落在包含坐標(biāo)原點(diǎn)O的角域內(nèi)。

證明：由方程(15)和方程(16)以及直線族的定義知道,直線l通過直線l1和l2的交點(diǎn)Q。作通過坐標(biāo)原點(diǎn)O且以直線l1和l2為漸近線的雙曲線s,如圖12 所示。雙曲線s的方程為

通過考察直線l與雙曲線s是否相交來判斷直線l是否落在包含坐標(biāo)原點(diǎn)O的角域內(nèi)。為此,當(dāng)0<λ<1 時(shí),將直線l的方程(16) 改寫為

式(18) 代入式(17) 得到

顯然,式(19)左端非正,故方程無解,直線l與雙曲線s沒有交點(diǎn),即直線l不會(huì)落在包含坐標(biāo)原點(diǎn)O的角域內(nèi)。

3.2.4 截面核心是凸集的證明

在截面核心的邊界上任取兩點(diǎn)M1(y1,z1),M2(y2,z2)。與M1點(diǎn)相對應(yīng)的中性軸記作l1,與M2點(diǎn)相對應(yīng)的中性軸記作l2,按式(2) 得到它們的方程為

連接M1M2,在線段M1M2上任取一點(diǎn)M,其坐標(biāo)可表示為

這里,0< λ <1。與點(diǎn)M對應(yīng)的中性軸記作l,按式(2) 得其方程為

情況一：如果中性軸l1與l2平行,則由方程(20) 和方程(22) 知道,中性軸l1,l2和l相互平行,如圖13 所示。考慮到l1和l2與橫截面相切,所以它們位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩側(cè)。由命題1 知道,中性軸l必在中性軸l1和l2的外側(cè),即中性軸l與橫截面不會(huì)相交,從而點(diǎn)M屬于截面核心。

圖13 兩條中性軸平行的情況

情況二：如果中性軸l1與l2不平行,則由方程(20)和方程(22)以及直線族的定義知道,中性軸l,l1和l2相交于同一點(diǎn),記作Q,如圖14 所示。由命題2 知道,中性軸l必不落在包含坐標(biāo)原點(diǎn)O的角域內(nèi),即中性軸l與橫截面不相交,從而點(diǎn)M屬于截面核心。

圖14 兩條中性軸相交的情況

綜合上述兩種情況,再由點(diǎn)M1,M2和M的任意性以及凸集的定義知道,截面核心是凸集。

4 結(jié)論

為了講好截面核心的概念,課前編寫了截面核心的計(jì)算程序。給出了平面圖形幾何性質(zhì)的邊界積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法。用該程序計(jì)算了多個(gè)不同形狀截面的截面核心,使得學(xué)生對截面核心的概念有初步的了解。在列舉出若干截面核心的實(shí)例后,引導(dǎo)學(xué)生探究截面核心的凸性。運(yùn)用靜力等效和疊加原理從力學(xué)角度解釋了該性質(zhì),也從數(shù)學(xué)上證明了截面核心是凸集。這使得學(xué)生對截面核心有了進(jìn)一步的理解。實(shí)踐表明,這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)可以活躍課堂氣氛,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)新事物的思考方法。