①張妍　②趙璐　③雷曉

一、問題分析

該問題要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的具體地點與日期。

采用超定方程組求解。但所求地理位置與日期不準(zhǔn)確，存在所求點位于夜半球等情況，與實際情況與地理常識不符。未知量增多，除卻求直桿經(jīng)度、緯度、桿長，還需求出拍攝日期。且目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)，為多變量復(fù)雜優(yōu)化問題，故采用模擬退火（Simulated Annealing Algorithm）解決該問題。

二、模型建立與求解

（一）模型的準(zhǔn)備

1、對直桿所處地理位置進(jìn)行范圍縮小

基于太陽直射點運動規(guī)律，北京時間為12：41時，求得109.75°E時間為12：00，進(jìn)而推算出晝半球范圍為（19.75°E，161.25°W），而只有西晝半球會隨著地球自轉(zhuǎn)，影子逐漸變短，符合附件二影長變化規(guī)律，直桿合理位置精確至（19.75°E，109.75°E）。進(jìn)一步精確范圍，由于該題以一個小時為時間間隔，（94.75°E，109.75°E）會在一個小時內(nèi)隨地球自轉(zhuǎn)進(jìn)入夜晚，后期影子會逐步消失，與附件二所給影長一直減短的趨勢矛盾。最終，直桿合理位置精確至（19.75°E，94.75°E）。

2、對直桿所處地理位置進(jìn)行范圍縮小

北京時間為13：09時，求得102.75°E時間為12：00，進(jìn)而推算出東晝半球范圍為（102.75°E，167.25°W），因為只有東晝半球會隨著地球自轉(zhuǎn)，影子逐漸變長，符合附件三影長逐步延伸的規(guī)律。進(jìn)一步精確范圍，由于該題以一個小時為時間間隔，（177.75°E，167.25°W）會在一個小時內(nèi)隨地球自轉(zhuǎn)進(jìn)入夜晚，后期影子會逐步消失，與附件三所給影長一直延伸的趨勢矛盾。最終，直桿合理位置精確至（102.75°E，177.75°E）。

（二）基于模擬退火建立確定直桿日期的模型

模擬退火算法是通過賦予搜索過程一種時變且最終趨于零的概率突跳性，從而可有效避免陷入局部極小并最終趨于全局最優(yōu)的串行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化算法。具體解題步驟如下：

Step1：建立解空間。

依據(jù)附件二與附件三所給直桿影長值，以及模型準(zhǔn)備階段已經(jīng)確立的附件二直桿所處位置合理的經(jīng)度范圍（19.75°E，94.75°E），附件三直桿所處位置合理的經(jīng)度范圍（102.75°E，177.75°E），建立解空間如下：

利用選定的降溫系數(shù)α[進(jìn)行降溫，取新的溫度K為αK（這里K為上一步迭代的溫度），這里選定α=0.999。

Step6：結(jié)束條件。

用選定的終止溫度e=1013。，判斷退火過程是否結(jié)束。若K

（三）確定直桿日期模型的結(jié)果分析

1、結(jié)果分析

基于模擬退火法在全局范圍內(nèi)搜索，找到直桿所處地理位置與所在日期的最優(yōu)解，如下表所示：

表1 直桿地理位置

分析上表可知，6月21日在（35.45°N，38.99°E）處存在一長為0.672米的直桿;12月21日在（35.77°N，38.73°E）處存在一長為0.669米的直桿。

根據(jù)上述結(jié)果全面思考，當(dāng)6月21日時太陽直射緯度為23.25°N，基于假設(shè)1地球是一個規(guī)則球體，以太陽直射緯度23 25。N為對稱軸，存在與（35.45°N，38.99°E）南北對稱的另外一點;同理，12月21日時太陽直射緯度為23.25°S，以太陽直射緯度23.25°S為對稱軸，也存在與（35.77°N，38.73°E）南北對稱的另外一點：

表2 關(guān)于太陽直射緯度對稱的直桿位置

2、結(jié)果分析

基于模擬退火在全局范圍搜索，找到附件三直桿所處地理位置與所在日期的最優(yōu)解，如下表所示：

表3 直桿地理位置

分析上表可知，6月21日在（57.99°S，102.32°E）處存在一長為0.3米的直桿;3月29日在（23.16°N，120.17°E）處存在一長為4.34米的直桿;12月20日在（58.20°N，101.99°E）處存在一長為0.28米的直桿。

觀察所求位置深入思考，當(dāng)6月21日時太陽直射緯度為57.99°S，基于假設(shè)1地球是一個規(guī)則球體，以太陽直射緯度57.99°S為對稱軸，不存在與（57.99°S，102.32°E）南北對稱的另外一點;當(dāng)12月20日時太陽直射緯度為58.20°N，以太陽直射緯度58.20°N為對稱軸，不存在與（58.20°N，101.99°E）南北對稱的另外一點;當(dāng)3月29日時太陽直射緯度為23.16°N，以太陽直射緯度23.16°N為對稱軸，存在與（23.16°N，120.17°E）南北對稱的一點，該點具體信息為：日期為3月29日，直桿長為434米，位于（20.02°S，120.17°E）。故直桿可能存在的位置共有四個。