雷拓峰，倪淑燕，程乃平，宋鑫

（1.航天工程大學(xué)研究生院，北京 101416；2.航天工程大學(xué)電子與光學(xué)工程系，北京 101416）

0 引言

作為第五代移動(dòng)通信中一項(xiàng)重要的技術(shù)，非正交多址（NOMA,non-orthogonal multiple access）技術(shù)可以在相同的時(shí)頻資源上服務(wù)更多的用戶[1-2]，是解決未來(lái)大規(guī)模移動(dòng)通信的一種重要手段。目前，已有許多種非正交多址方案，如功率域的非正交多址（PD-NOMA,power domain non-orthogonal multiple access）[3-6]、稀疏碼分多址（SCMA,sparse code multiple access）[7]、多用戶共享多址（MUSA,multi user shared access）[8]、圖樣分割多址（PDMA,pattern division multiple access）[9-10]等。其中，SCMA 技術(shù)是一種碼域的非正交多址方案，在有限的時(shí)頻資源下，其采用一組低密度的稀疏碼本來(lái)承載更多的用戶，相比于其他非正交多址方案，SCMA 具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性，因此，SCMA 能夠同時(shí)服務(wù)大量用戶而不損失誤符號(hào)率（SER,symbol error rate）性能[11]。

SCMA 結(jié)合了調(diào)制技術(shù)和頻率復(fù)用技術(shù)，因此SCMA 技術(shù)可以獲得更好的誤符號(hào)率性能[12]。碼本的設(shè)計(jì)以及低復(fù)雜度的解碼器是影響其性能的2 個(gè)重要因素。在稀疏碼本的設(shè)計(jì)方面，Nikopour 等[13-14]提出了一種碼本的設(shè)計(jì)方案，該碼本是基于母星座和操作符而設(shè)計(jì)構(gòu)建的，隨之而來(lái)的眾多碼本設(shè)計(jì)方案都是基于該框架[13-16]。文獻(xiàn)[1]深入總結(jié)了目前影響SCMA 誤符號(hào)率的關(guān)鍵性能指標(biāo)（KPI,key performance indicator），并且對(duì)上行多維星座點(diǎn)設(shè)計(jì)進(jìn)行了詳細(xì)的描述。文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一種同時(shí)適用于高斯信道和瑞利衰落信道的SCMA 碼本，并且結(jié)合Q 路坐標(biāo)交織技術(shù)以獲得更多的分集增益。此外，也有學(xué)者從信道容量的角度考慮去設(shè)計(jì)稀疏碼本[16]。文獻(xiàn)[2]給出了一種近似最優(yōu)的碼本設(shè)計(jì)方法，從仿真性能來(lái)看，該碼本可以達(dá)到近似最優(yōu)的誤符號(hào)率性能，但是其碼本的設(shè)計(jì)規(guī)則僅考慮了影響SCMA 性能的關(guān)鍵因素，如最小歐氏距離（MED,minimum Euclidean distance）、乘積距離（PD,product distance）、乘積距離數(shù)量等，但是并沒(méi)有詳細(xì)給出這些因素是如何影響誤符號(hào)率的。

因此，本文針對(duì)該問(wèn)題，繼續(xù)研究探討這些因素對(duì)于SCMA 誤符號(hào)率的影響，并且在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出SCMA 系統(tǒng)的誤符號(hào)率公式，揭示了各因素對(duì)誤符號(hào)率性能的影響；最后，給出了碼本的設(shè)計(jì)算法。從仿真結(jié)果可以看出，本文所提出的碼本可以達(dá)到與文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)的碼本一致的誤符號(hào)率性能，并且給出了單用戶的誤符號(hào)率下界。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮K個(gè)頻率上負(fù)載L個(gè)用戶，并且K＜L；同時(shí)，每個(gè)用戶分配dv≤K個(gè)頻率，每個(gè)頻率上傳輸df≤L個(gè)用戶。假設(shè)各頻率之間不存在相互干擾，并且各用戶在相應(yīng)頻率上的信道衰落系數(shù)相互獨(dú)立。

SCMA 的系統(tǒng)模型如圖1 所示。在發(fā)送端，SCMA 編碼器位于信道編碼器的后端，將比特?cái)?shù)據(jù)映射為相應(yīng)的星座點(diǎn)，如式(1)所示。

圖1 SCMA 的系統(tǒng)模型

其中，bl∈BlbM×1表示第l個(gè)用戶傳輸?shù)谋忍財(cái)?shù)據(jù)，M表示調(diào)制階數(shù)，xl和Xl分別表示該用戶傳輸?shù)拇a字信息和該用戶的碼本。在接收端，SCMA 解碼器通過(guò)已知的信道衰落系數(shù)對(duì)接收的數(shù)據(jù)進(jìn)行解碼，之后將對(duì)數(shù)似然比信息傳遞給信道解碼器，進(jìn)行信道解碼。

1.1 SCMA 發(fā)送端

在上行傳輸場(chǎng)景中，接收端在相同的時(shí)頻資源下接收到多個(gè)用戶的信息，但是每個(gè)用戶的信道衰落各不一致，因此在上行信道場(chǎng)景下，第k個(gè)頻率接收的信息可以表示為

其中，hk,l表示k頻率上第l個(gè)用戶的信道衰落系數(shù)；xk,l表示k頻率上第l個(gè)用戶發(fā)送的碼字；zk表示噪聲向量，服從CN(0,N0)分布。

在下行信道中，基站發(fā)送多用戶的疊加碼字給各個(gè)用戶，因此各用戶接收信息的信道衰落系數(shù)hk,l僅與相應(yīng)的頻率有關(guān)，即hk=hk,l,l=1,2,… ,L，則有

1.2 SCMA 接收端

由于SCMA 碼本的稀疏結(jié)構(gòu)，通常采用消息傳遞算法（MPA,message passing algorithm）進(jìn)行解碼，相比于最大后驗(yàn)概率（MAP,maximum a posteriori probability）解碼，MPA 可以降低解碼端的復(fù)雜度，且保證近似最優(yōu)的誤符號(hào)率性能[17-18]，但是由于短環(huán)的存在阻礙了因子圖矩陣中消息的傳遞，導(dǎo)致MPA 的解碼性能下降。因此本文在設(shè)計(jì)SCMA 的因子圖矩陣時(shí)，采用漸進(jìn)邊生長(zhǎng)（PEG,progressive edge growth）算法避免四環(huán)現(xiàn)象，減少消息在環(huán)中的傳遞。

2 SCMA 誤符號(hào)率分析

本節(jié)主要研究SCMA 在不同信道下的誤符號(hào)率表達(dá)式，為后續(xù)的碼本設(shè)計(jì)提供相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

2.1 瑞利上行信道

在信道系數(shù)已知的條件下，根據(jù)成對(duì)差錯(cuò)概率（PEP,pairwise error probability），碼字錯(cuò)誤的概率可以表示為

其矩陣形式可以表示為

可以看出，Ak是一個(gè)秩一埃爾米特矩陣，因此存在酉矩陣V和實(shí)對(duì)稱矩陣D使VAVH=D，假設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣D的特征值為λi,i=1,2,…,n。令，故式(6)可以改寫(xiě)為

此時(shí)，可以得到條件PEP 為

其中，β為獨(dú)立的瑞利分布，噪聲方差為。為了得到PEP，將式(9)積分可得

由于Ak是秩一矩陣，因此僅存在一個(gè)非零特征根，式(10)可以進(jìn)一步寫(xiě)為

其中，λk為第k個(gè)頻率上的特征值，根據(jù)矩陣跡的性質(zhì)可知

可以看出，對(duì)于瑞利上行信道而言，SCMA 的錯(cuò)誤概率主要由各用戶的碼字差錯(cuò)距離決定。此時(shí)，可以求得上行信道下SCMA 的誤符號(hào)率為

其中，c1表示所有疊加星座點(diǎn)Mdf中的一種，c2表示除了c1以外的某一疊加星座點(diǎn)。

2.2 瑞利下行信道

對(duì)于下行信道而言，各用戶在相同頻率上的衰落系數(shù)均相同，因此

此時(shí)，可以得到碼字錯(cuò)誤的概率為

因此，相比于瑞利上行信道，下行信道的差錯(cuò)概率主要由疊加碼字的差錯(cuò)距離決定，下行信道的誤符號(hào)率可以表示為

2.3 高斯信道

對(duì)于高斯信道而言，碼字的PEP 可以表示為

根據(jù)算術(shù)-幾何均值不等式

高斯信道下的PEP 可以進(jìn)一步表示為

故高斯信道下疊加碼字的誤符號(hào)率為

類似于瑞利下行信道，高斯信道下SCMA 的誤符號(hào)率也主要由疊加碼字的乘積距離決定，因此瑞利下行信道的碼本也同樣適用于高斯信道。

3 碼本設(shè)計(jì)

3.1 因子圖矩陣設(shè)計(jì)

SCMA 的因子圖矩陣決定著各用戶與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以分為規(guī)則與不規(guī)則2 種情況。本文主要分析研究規(guī)則的因子圖矩陣中SCMA 碼本的設(shè)計(jì)，根據(jù)文獻(xiàn)[1]的研究，任何2 個(gè)用戶不能使用相同的頻率進(jìn)行傳輸，但是，文獻(xiàn)[1]并沒(méi)有詳細(xì)闡述其最根本的原因。SCMA 的因子圖矩陣類似于低密度奇偶校驗(yàn)（LDPC,low density parity check）碼的校驗(yàn)矩陣。Gallager[19]提出的MPA（也稱置信傳播算法）是基于樹(shù)圖進(jìn)行解碼的，即校驗(yàn)矩陣中不存在環(huán)。然而，校驗(yàn)矩陣的設(shè)計(jì)無(wú)法避免環(huán)的存在，因此，為了提升解碼算法的性能，在設(shè)計(jì)校驗(yàn)矩陣中需要避免短環(huán)的存在，常用的校驗(yàn)矩陣的設(shè)計(jì)算法有Mackay 構(gòu)造方法、比特反轉(zhuǎn)算法、PEG 算法等。因此，在SCMA系統(tǒng)中采用消息傳遞算法解碼時(shí)，也需要考慮解碼算法的劣勢(shì)。本文采用PEG 算法來(lái)構(gòu)造因子圖矩陣，所產(chǎn)生的因子圖如圖2 所示。

圖2 SCMA 因子圖

3.2 多用戶星座點(diǎn)的設(shè)計(jì)

星座點(diǎn)的設(shè)計(jì)決定了傳輸比特的I-Q 路映射關(guān)系，本節(jié)針對(duì)降低SCMA 系統(tǒng)的誤符號(hào)率來(lái)設(shè)計(jì)SCMA 的稀疏碼本。

假設(shè)采用旋轉(zhuǎn)因子獲得多用戶碼字xk,df=，則λk可以寫(xiě)為

可以看出，對(duì)于瑞利上行信道而言，旋轉(zhuǎn)因子不會(huì)改變特征值的大小。此外，在高信噪比下，系統(tǒng)的誤符號(hào)率主要由最小的特征值之積決定，此時(shí)僅有一個(gè)用戶的碼字產(chǎn)生錯(cuò)誤判決。所以，在設(shè)計(jì)上行信道的稀疏碼本時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮的準(zhǔn)則為

對(duì)于瑞利上行信道而言，僅需考慮不同頻率碼字對(duì)的匹配來(lái)增大各用戶的最小乘積距離、減少最小乘積距離的數(shù)量，進(jìn)而提升SCMA 的誤符號(hào)率性能。

對(duì)于瑞利下行信道而言，高信噪比下的錯(cuò)誤概率主要由疊加碼字的最小乘積距離決定，即

其中，有

因此，對(duì)于瑞利下行信道的碼本設(shè)計(jì)，不僅僅需要考慮碼字對(duì)的匹配，還需要確定最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)度數(shù)，以增大疊加星座點(diǎn)的最小乘積距離。

由于上行信道不需要旋轉(zhuǎn)操作，僅需考慮碼字對(duì)的匹配，因此，上行信道的碼本設(shè)計(jì)是下行信道的一種特例。下行SCMA 碼本的設(shè)計(jì)算法如算法1 所示。

算法1下行SCMA 碼本的設(shè)計(jì)算法

4 實(shí)驗(yàn)仿真

本文比較了所設(shè)計(jì)的碼本（如附錄1 和附錄2所示）與文獻(xiàn)[2]中近似最優(yōu)碼本的誤符號(hào)率性能。近似最優(yōu)SCMA 碼本仿真參數(shù)如表1 所示。碼本性能比較如圖3 所示。

表1 近似最優(yōu)SCMA 碼本仿真參數(shù)

圖3 碼本性能比較

從圖3 可以看出，在上行信道和下行信道的情況下，本文所設(shè)計(jì)的碼本與文獻(xiàn)[2]所設(shè)計(jì)的碼本誤符號(hào)率性能基本一致，因此本文所設(shè)計(jì)的碼本能夠達(dá)到近似最優(yōu)的誤符號(hào)率性能。此外，從圖3 可以看出，上行信道的誤符號(hào)率性能均優(yōu)于下行信道，當(dāng)誤符號(hào)率為10-4時(shí)，上行信道的誤符號(hào)率性能優(yōu)于下行信道1 dB，這是因?yàn)樯闲行诺乐懈饔脩粜诺赖乃ヂ湟蜃泳煌?，所以疊加后的星座點(diǎn)距離被拉大，最小乘積距離增大，故誤比特率性能優(yōu)于同等條件下的下行信道，但是，隨著信噪比的增加，MPA能獲得與最大似然解碼同樣的性能，故上行信道和下行信道兩者的性能逐漸趨于一致，并且趨于單用戶理論誤符號(hào)率下界。

由于MPA 是基于樹(shù)圖進(jìn)行近似各用戶的邊緣概率密度，因此為了提升消息傳遞算法的解碼性能，在設(shè)計(jì)因子圖中需要避免短環(huán)的存在。在dv和df相同的條件下，采用高維度的SCMA 因子圖矩陣能夠提升系統(tǒng)的誤符號(hào)率性能。不同因子圖矩陣的碼本性能如圖4 所示。在相同的仿真條件下，8 頻率12 用戶（用8-12 表示）的SCMA 系統(tǒng)在上行和下行信道中誤符號(hào)率性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的4 頻率6 用戶（用4-6 表示）SCMA 系統(tǒng)，且在下行信道中，采用高維度的因子圖矩陣所帶來(lái)的性能增益高于上行信道，當(dāng)信噪比為15 dB 時(shí)，上行信道和下行信道的誤符號(hào)率性能分別提升了2.6 倍和4.2 倍，進(jìn)一步提升了SCMA 的誤符號(hào)率性能。

圖4 不同因子圖矩陣的碼本性能

此外，本文比較了瑞利下行信道所設(shè)計(jì)的碼本在高斯信道的性能，其仿真參數(shù)與表1 一致。高斯信道下各碼本的性能如圖5 所示。相比于文獻(xiàn)[16]和所提供的碼本，本文提出的下行信道的碼本在誤符號(hào)率為10-4時(shí)，能夠分別獲得1.5 dB 和3.3 dB 的性能增益。因此，本文針對(duì)瑞利下行信道所設(shè)計(jì)的碼本能在高斯信道下取得良好的誤符號(hào)率性能。但是，由于設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的不同，瑞利上行信道的碼本并不普遍適用于高斯信道，從圖5可以看出，對(duì)于多用戶碼本相同的SCMA系統(tǒng)而言，此時(shí)的碼本非常容易陷入誤碼平層，故該上行信道的碼本不適用于高斯信道。

圖5 高斯信道下各碼本的性能

5 結(jié)束語(yǔ)

稀疏碼分多址技術(shù)中，碼本的設(shè)計(jì)是影響其性能的一個(gè)重要因素。目前，大多數(shù)研究都是基于加性白高斯噪聲信道下設(shè)計(jì)最優(yōu)的碼本。本文針對(duì)瑞利衰落信道，建立了稀疏碼本與誤符號(hào)率的理論模型，分析了稀疏碼本與誤符號(hào)率的關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)了針對(duì)小規(guī)模的近似最優(yōu)碼本，并且實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了理論的正確性與所設(shè)計(jì)碼本的優(yōu)秀性能。因此，本文所提供的瑞利衰落信道下碼本設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為后續(xù)高維度、非規(guī)則稀疏碼本，以及MIMO-SCMA 等SCMA 相關(guān)領(lǐng)域提供了相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，有利于設(shè)計(jì)相應(yīng)近似最優(yōu)的碼本。

附錄1 瑞利上行信道近似最優(yōu)碼本之一

附錄2 瑞利下行信道近似最優(yōu)碼本