微課助力直觀解惑幾何動(dòng)態(tài)問題

郭小蔚

摘 ? 要：結(jié)合三個(gè)微課設(shè)計(jì)案例，探討如何利用微課解決含動(dòng)點(diǎn)的選填壓軸題，應(yīng)用微課和幾何畫板的有機(jī)融合解決初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題.

關(guān)鍵詞：微課;直觀解惑;幾何動(dòng)態(tài)

媒體大時(shí)代，作為數(shù)學(xué)教師的我們也要緊跟時(shí)代步伐，充分利用現(xiàn)代媒體創(chuàng)造學(xué)習(xí)大環(huán)境，特別是動(dòng)態(tài)幾何的微課展示開拓了學(xué)生的視野，為學(xué)生創(chuàng)造便利的學(xué)習(xí)條件，利用微課為學(xué)生答疑解惑.教師不僅要具備數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，還要會(huì)熟練操作各種學(xué)科軟件，如：希沃白板，看見函數(shù)，3D繪圖器，幾何畫板等，在教學(xué)實(shí)踐中加強(qiáng)對(duì)學(xué)科軟件的利用研究，通過(guò)微課與課堂教學(xué)的有機(jī)融合激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，教學(xué)中利用學(xué)科軟件展示各種位置關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)圖的成因發(fā)展，動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，動(dòng)面的變化過(guò)程，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.

1 ?釋疑解難線段長(zhǎng)，微課演示來(lái)幫忙

審題沒方向，做題沒思路，是很多孩子在面對(duì)作業(yè)和試題時(shí)的通病。數(shù)找形時(shí)難直通，形找數(shù)時(shí)難入微，面對(duì)試題不發(fā)瘋，動(dòng)點(diǎn)動(dòng)圖要跟蹤。例如：在微課“與圓有關(guān)的線段最值問題”中，為了讓學(xué)生能順利解決這類選填壓軸題，教師在微課中設(shè)計(jì)了四個(gè)環(huán)節(jié)，從糧草先行、有備而戰(zhàn)、戰(zhàn)后小結(jié)、戰(zhàn)后診斷四環(huán)節(jié)引導(dǎo)九年級(jí)學(xué)生復(fù)習(xí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理，通過(guò)軸對(duì)稱構(gòu)建三點(diǎn)共線解決線段最值問題，解決中考選填壓軸題，引導(dǎo)九年級(jí)學(xué)生快速有效地對(duì)題目進(jìn)行分析并解決問題.

（1）糧草先行

①如圖1，請(qǐng)?jiān)诎霃綖?的☉O上找出距離點(diǎn)P最近的點(diǎn)A和最遠(yuǎn)的點(diǎn)B，則PA-PB= ? ? ? ? ? .

②點(diǎn)D，E是ΔABC邊AB，AC的中點(diǎn)BC=4，則DE= ? ? ? .

為了更貼近學(xué)生的生活，糧草先行引入動(dòng)畫螞蟻行軍的糧草準(zhǔn)備的繁忙情境，在糧草先行這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)兩小題，旨在引導(dǎo)學(xué)生提取貯備知識(shí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生動(dòng)手操作分別在☉O上找出與點(diǎn)P距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)（如圖2）.第二小題目的是讓學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)回顧三角形中位線定理，對(duì)三角形中位線定理的有關(guān)應(yīng)用進(jìn)行快速整合.

（2）有備而戰(zhàn)

已知：A（-5，0），B（0，3），點(diǎn)C是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，AC=2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則DO的取值范圍是 ? ? ? ? ? ?.

這是一題填選壓軸題，題目沒給圖，微課引導(dǎo)學(xué)生讀題，審題，研題，解題：

A點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，B點(diǎn)在y軸的正半軸上，C是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，CA長(zhǎng)等于2，所以可以判定點(diǎn)C與點(diǎn)A有什么樣的位置關(guān)系呢？C點(diǎn)是在以A為圓心，以1為半徑的圓上.

C點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？B'點(diǎn)在圓A外，C點(diǎn)在圓A上，B'CA三點(diǎn)共線時(shí)，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？（如圖3）

當(dāng)圓心A在線段B'C上時(shí)，B'C最長(zhǎng)，此時(shí)OD最長(zhǎng)，圓心A在線段B'C的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段B'C最短。（如圖4）

我們可以發(fā)現(xiàn)，中點(diǎn)D點(diǎn)的位置隨著C點(diǎn)的改變而改變，那么追蹤一下D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，你們發(fā)現(xiàn)什么？

追蹤點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一個(gè)圓，DO取得最大值時(shí)DO過(guò)軌跡圓圓心（如圖5），DO取得的最小值時(shí)軌跡圓圓心在OD的延長(zhǎng)線上（如圖6）.A（-5，0），B'（0，-3）. 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生口算出線段AB'的長(zhǎng)度為，半徑AC長(zhǎng)為2，所以B'C最大值=+2，相應(yīng)的DO最大值為.

B'C最小值=-2，相應(yīng)的DO最大值為.

所以DO的取值范圍是 ≤DO ≤.

（3）戰(zhàn)后小結(jié)

①點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

② 中點(diǎn)找中點(diǎn)，構(gòu)建中位線，求出相關(guān)線段的最值

③軸對(duì)稱，構(gòu)建三點(diǎn)共線

（4）戰(zhàn)后診斷

已知：A（2，0），B（0，-3），點(diǎn)C是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，AC=1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則DO的最小值是 ?.

這個(gè)微課時(shí)長(zhǎng)00：05：47秒，有第一個(gè)環(huán)節(jié)糧草先行做鋪墊，本題輔助線的構(gòu)建就水到渠成，借助幾何畫板強(qiáng)大的作圖功能，動(dòng)態(tài)演示點(diǎn)C、點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，達(dá)到數(shù)找形，形找數(shù)的有機(jī)熔合.DO的取值范圍也容易多了，一道選填壓軸題就解決了.

2 ?分類找點(diǎn)跟我學(xué)，微課直觀是一絕

與等腰三角形的邊長(zhǎng)相關(guān)的分類討論也是中考熱點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題上，不動(dòng)還好，一動(dòng)就癱，定點(diǎn)定長(zhǎng)學(xué)生分類找點(diǎn)不重不漏還比較容易做到，但動(dòng)態(tài)問題出現(xiàn)等腰三角形中，很多學(xué)生就怕了。為了讓學(xué)生順利解決2019年黑龍江省綏化市選填壓軸題及其改編題，我在這個(gè)微課中設(shè)計(jì)了術(shù)前準(zhǔn)備、手術(shù)中心、術(shù)后小結(jié)、術(shù)后診斷四步：

（1）術(shù)前準(zhǔn)備：

邊長(zhǎng)分別為2，3的等腰三角形周長(zhǎng)為 ? ? ? ? ? ? ? .

（2）手術(shù)中心：

如圖7：P是邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD四邊上的任意一點(diǎn)，對(duì)角線AC上有一條動(dòng)線段MN=2，∠B=120°.

①當(dāng)AM=0時(shí)，ΔMNP是等腰三角形，滿足條件P的點(diǎn)個(gè)數(shù)有 ? ? ? ? ? 個(gè).

②當(dāng)AM= ? ? ? 時(shí)，ΔMNP是等腰直角三角形，滿足條件的P點(diǎn)個(gè)數(shù)有 ? ? ? ? ? 個(gè)。

③ΔMNP有可能為等邊三角形嗎？若為等邊三角形，此時(shí)AM= ? ? ? ，AP=？ 你有什么發(fā)現(xiàn)？

微課引導(dǎo)學(xué)生分析：

當(dāng)AM=0時(shí)，若AN=AP=2，（如圖8）滿足條件的點(diǎn)P有P1，P2.

當(dāng)AM=0時(shí)，若NA=NP=2，（如圖9）滿足條件的點(diǎn)P有P3，P4，此時(shí)AP3長(zhǎng)為什么？ 學(xué)生通過(guò)計(jì)算得出AP3=2.

當(dāng)AM=0時(shí)，若PA=PN=2，（如圖10）滿足條件的點(diǎn)P有P5，P6.

微課動(dòng)態(tài)演示，線段MN在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，學(xué)生認(rèn)直觀察線段MN的中垂線與菱形ABCD四邊的交點(diǎn)，當(dāng)ΔMNP為等腰直角三角形時(shí)的P位置（如圖11），引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算AP7，AP8的線段長(zhǎng)，對(duì)比AP1的長(zhǎng)度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)P7，P8與P1，P2重合.

ΔMNP可能為等邊三角形，若ΔMNP為等邊三角形？微課中進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察思考計(jì)算，真有符合條件的P9，P10，（如圖12）教師設(shè)問，真的有這么多點(diǎn)符合題目要求？學(xué)生通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算觀察，發(fā)現(xiàn)P9，P10與P3，P4重合，微課再展示點(diǎn)重合時(shí)的情景突破難點(diǎn).

（3）術(shù)后小結(jié)：分類討論思想

（4）術(shù)后診斷：

①A（3，1），B（-1，3）分別是直線y=x-2上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上以AB為邊的等腰ΔABC有 ? ? ? ?個(gè).

②（2019黑龍江省綏化市改編）如圖13：P是邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD邊AB、AD上的任意一點(diǎn)，線段MN是對(duì)角線AC上的一條動(dòng)線段，AM=a ，MN=3， ΔMNP是等腰三角形，當(dāng)a=0時(shí)，請(qǐng)畫出滿足P點(diǎn).

當(dāng)a= 時(shí)，ΔMNP是等邊三角形

術(shù)后診斷也分層，對(duì)于基礎(chǔ)比較好的學(xué)生第①小題可再挑戰(zhàn)求出滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo).視頻力求吸引學(xué)生的眼球，在四個(gè)環(huán)節(jié)的導(dǎo)入部分均用學(xué)生喜歡的動(dòng)漫作為引入 ，盡量讓微課貼近05后學(xué)生的生活.

3 ?圖形滾動(dòng)尋軌跡，微課動(dòng)態(tài)很得力

①如圖14，水平地面上邊長(zhǎng)為a正三角形一個(gè)頂點(diǎn)A從左圖向右順時(shí)針作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)至右圖點(diǎn)A處，點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ? ? ? ?.

微課引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)A滾動(dòng)，重點(diǎn)關(guān)注：滾動(dòng)時(shí)以哪個(gè)點(diǎn)為圓心？以哪條線段為半徑？共滾動(dòng)幾次？圓心角是多少？微課展示跟蹤點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖15），讓學(xué)生明確點(diǎn)A的兩次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)圓心角都為120°.

②如圖16，水平地面上邊長(zhǎng)為a的正方形上一個(gè)頂點(diǎn)B從左圖向右順時(shí)針作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)至右圖的點(diǎn)B處，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ? ? ? ? ?.

微課引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)B的滾動(dòng)過(guò)程，關(guān)注每次滾動(dòng)的圓心，半徑長(zhǎng)，圓心角.學(xué)生思考本題正方形滾動(dòng)半徑長(zhǎng)有2種情況，微課再次展示點(diǎn)B的滾動(dòng)的路徑（如圖17）.

③如圖18，水平地面上邊長(zhǎng)為a正六邊形上一個(gè)頂點(diǎn)C從左圖向右順時(shí)針作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)至右圖的點(diǎn)C處，點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ? ? ? ? ? ?.

滾動(dòng)正六多邊形顯示點(diǎn)C路徑，學(xué)生對(duì)點(diǎn)C的滾動(dòng)有了初步認(rèn)識(shí)，微課進(jìn)一步引導(dǎo)，正六形的第一次滾動(dòng)以哪個(gè)點(diǎn)為圓心，以哪條線段長(zhǎng)為半徑？

學(xué)生在微課動(dòng)圖的啟發(fā)下明白（如圖19）：

正六形的第一次滾動(dòng)以點(diǎn)G1為圓心，以線段長(zhǎng)G1C為半徑，點(diǎn)C滾動(dòng)至C1處;

正六形的第二次滾動(dòng)以點(diǎn)G2為圓心，以線段長(zhǎng)G2C1為半徑，點(diǎn)C滾動(dòng)至C2處;

正六形的第三次滾動(dòng)以點(diǎn)G3為圓心，以線段長(zhǎng)G3C2為半徑，點(diǎn)C滾動(dòng)至C3處;

正六形的第四次滾動(dòng)以點(diǎn)G4為圓心，以線段長(zhǎng)G4C3為半徑，點(diǎn)C滾動(dòng)至C4處;

正六形的第五次滾動(dòng)以點(diǎn)G5為圓心，以線段長(zhǎng)G5C4為半徑，點(diǎn)C滾動(dòng)至C5處到達(dá)目標(biāo).

微課引導(dǎo)學(xué)生觀察本題正六邊形滾動(dòng)半徑有3種情況，進(jìn)而求出點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

總之，微課在動(dòng)圖的演示上，有著傳統(tǒng)課堂不可比擬的優(yōu)越性，小微課“鏈”成大學(xué)業(yè)，小微課映射大服務(wù)，雙減政策下的今天，借微課助力直觀解惑幾何動(dòng)態(tài)問題，促進(jìn)學(xué)生更好地理解幾何動(dòng)態(tài)問題解決思路、方法.培育學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).