葉燊，喬江美，李同春

（1.武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北武漢 430072；2.華能涪江水電有限責(zé)任公司，四川綿陽 622553）

在全球油氣資源中，碳酸鹽巖油藏分布非常廣泛，其油氣儲量占世界油氣資源總量一半以上，具有極其重要的地位[1?2]。我國碳酸鹽巖油藏資源非常豐富，所含石油天然氣資源量占全國油氣資源總儲量的27 %，在我國油氣發(fā)展戰(zhàn)略中起著重要作用[3?4]。相比其他國家，我國的碳酸鹽巖油藏以縫洞型儲層為主，大型洞穴是縫洞型油藏中主要的儲集空間[5?6]，當(dāng)溶洞無法直接和井眼溝通時，工程上常采用水力壓裂技術(shù)產(chǎn)生水力裂縫溝通井眼和溶洞，實現(xiàn)縫洞型儲層體積改造。因此，水力裂縫擴展路徑對提高油氣產(chǎn)量十分重要。

近年來對水力壓裂的研究方法主要有室內(nèi)試驗和數(shù)值模擬兩方面。室內(nèi)試驗方面：吳擁政等[7]結(jié)合真三軸水力壓裂試驗和工業(yè)CT 掃描，研究不同水平地應(yīng)力差下水力裂縫起裂及擴展規(guī)律；邵長躍等[8]在水力壓裂試驗中利用聲發(fā)射技術(shù)研究不同壓裂液泵入流量與破裂壓力及裂縫網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜程度之間的關(guān)系。姜滸等[9]通過試驗研究定向射孔方位角等因素對水力裂縫起裂、擴展、形態(tài)的影響；陳勉等[10]在試驗中模擬地層條件，分析節(jié)理、斷裂韌性和天然裂縫如何影響水力裂縫擴展；翁振等[11]通過制作帶有空洞的水力壓裂試件，采用試驗的方法研究泵注排量和無內(nèi)壓溶洞對水力裂縫擴展的影響。相比于數(shù)值模擬，試驗的試樣尺寸受試驗設(shè)備限制，試樣的各向異性、試驗條件等因素會對試驗結(jié)果造成影響，且制作存在天然溶洞的試樣難度較大。數(shù)值模擬方面：王學(xué)敏[12]利用ABAQUS 模擬討論不同預(yù)制裂縫角度下裂縫偏轉(zhuǎn)角度和寬度的變化。龔迪光等[13]基于XFEM 方法，提出一種水力裂縫擴展新算法，研究不同壓裂液排量、黏度對起裂壓力和裂縫形態(tài)的影響。唐巨鵬等[14]通過ABAQUS 模擬軟件建立三維頁巖壓裂模型，得到壓裂液流速越大裂縫越趨于“長、細(xì)、彎”形態(tài)的結(jié)論。白凱華[15]采用cohesive 單元分析壓裂液流體特性、排量等因素對裂縫幾何尺寸的影響，但cohesive 單元方法需預(yù)制裂縫面，無法模擬真實情況。徐成[16]利用ABAQUS 中的XFEM 模塊建立二維壓裂模型，研究水平應(yīng)力比、切槽角度對水力裂縫偏轉(zhuǎn)距和擴展路徑的影響，沒有進(jìn)行三維模型的計算。潘林華等[17]基于流—固耦合和損傷力學(xué)理論，建立縫洞型油藏有限元模型，模擬分析天然裂縫和縫洞體對水力裂縫轉(zhuǎn)向極限水平應(yīng)力差的影響，對溶洞如何影響水力裂縫擴展路徑考慮較少。王毓杰等[18]采用單元劈裂法研究地應(yīng)力差對裂縫溝通溶洞的影響，但模型尺寸偏小，沒有考慮溶洞內(nèi)壓。李林地等[19]應(yīng)用損傷力學(xué)理論，建立縫洞型儲層的物理和數(shù)學(xué)模型，研究在天然裂縫和縫洞體干擾下水力裂縫的走向。

國內(nèi)外學(xué)者對地應(yīng)力差、壓裂液排量、射孔角度、壓裂液流體特性等因素進(jìn)行了大量研究，得到了一系列的結(jié)論。然而針對縫洞型油藏中水力裂縫擴展的研究尚少，溶洞對水力裂縫擴展路徑影響機制尚不明確。并且以往的模擬條件設(shè)置比較理想，如忽略了溶洞內(nèi)壓力的存在，與實際工程情況存在一定的差異。因此，開展不同注水壓力和溶洞內(nèi)壓對水力裂縫擴展影響的相關(guān)研究。

1 TOUGH?AiFrac基本原理

TOUGH?AiFrac 耦合關(guān)系見圖1，AiFrac 求解巖石的變形和裂縫的擴展，TOUGH 計算流體流動和流體壓力，兩者逐步相互迭代求解。

圖1 TOUGH-AiFrac耦合原理Fig.1 Coupling principle of TOUGH-AiFrac

AiFrac 基于雜交有限元—無網(wǎng)格法(Finite Element?Meshfree Method)計算固體變形和裂縫擴展。在FEMM 算法中包含3種單元：裂縫穿過的裂縫單元、與裂縫單元相鄰的過渡單元、余下的FE（有限元）單元。存在2 種節(jié)點：裂縫單元包含的PU（單位分解）節(jié)點和FE 單元包含的FE 節(jié)點。在單元域Ω上，對于任意點a={x，y，z}的整體近似uh(a)為[20]：

式中：uh(a)是全局近似，ui(a)是節(jié)點i的局部近似，ωi(a)是一組總和為1的非負(fù)權(quán)重函數(shù)。

針對裂縫單元，為了正確表示裂縫面的不連續(xù)位移場。定義ψΩ作為裂縫單元的節(jié)點集合，可見區(qū)域(a) ?ψΩ定義為[20]：

式中：ai是節(jié)點i的坐標(biāo)，使用Shepard 公式計算裂縫單元的權(quán)函數(shù)，構(gòu)造沿裂縫面的不連續(xù)近似。在節(jié)點a上，所有非零子權(quán)重函數(shù)φ'={φ'1,φ'2,φ'3,φ'4}定義為：

裂縫單元在節(jié)點i處的權(quán)函數(shù)為：

其中，φi(a)由四面體單元上的有限元形函數(shù)構(gòu)成。

式中：P1，P2，P3，P4為四面體四個頂點，vol(P1P2P3P4)為四面體單元體積，vol(P(t)PiPjPk)為四面體中任意一點P(t)和三個頂點{}Pi，Pj，Pk組成的四面體單元體積。

采用標(biāo)準(zhǔn)有限元公式作為過渡單元的權(quán)函數(shù)，即：ωi(t) =φi(t)。FE 單元形函數(shù)為傳統(tǒng)有限元形函數(shù)。

對TOUGH 中的TOUGHREACT 模塊進(jìn)行耦合，在模擬過程中假設(shè)溫度恒定。TOUGH 是計算地質(zhì)介質(zhì)中多相和多組分流體流動和傳熱的軟件，采用基于積分有限差分（IFD）的空間離散化和Newton?Raphson 方法，對每個時間步內(nèi)各組分的質(zhì)量平衡方程和能量平衡方程進(jìn)行線性化。在TOUGH 中質(zhì)量控制方程為一般的守恒形式：

式中：Qκ是組分κ的能量通量，kg（/m3·s）；是流體相中組分κ的流量，kg（/m3·s）；Mκ是組分κ的單位體積質(zhì)量，kg/m3；計算如下：

式中：φ是孔隙度；Sl是飽和度；ρl是流體相密度，kg/m3；是流體相中組分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

每個組分的質(zhì)量通量為平流與非平流通量之和：

式中：ka是絕對滲透率，m2；krl是流體相相對滲透率；μl是流體相黏度，Pa·s；pl是流體相壓力，Pa；g是重力加速度，m/s2；iκl是流體相中組分κ的擴散通量，kg/（m3·s）。

由Fick定律計算得到：

式中：Dv是多孔介質(zhì)中有效分子擴散系數(shù)，取決于溫度、氣壓、介質(zhì)曲折率和氣體飽和度。

對時間進(jìn)行一階有限差分離散化，結(jié)合上述方程，對時間tk+l=tk+ Δt上未知熱力學(xué)參數(shù)采用完全隱式格式。平衡方程可變換為：

式中：R為殘差，kg/m3；V為單元體積，m3；M為單位體積質(zhì)量，kg/m3；qm為通量，kg/（m2·s）；Am為單元面面積，m2；Q為源項，kg/（m3·s）。采用Newton?Raphson迭代方法將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性方程，不斷迭代直至達(dá)到相應(yīng)的收斂條件。

TOUGH?AiFrac 耦合了TOUGH 和AiFrac 兩個求解器，其中AiFrac基于有限無網(wǎng)格算法(FEMM)，具有顯示獲得裂縫擴展形態(tài)，無須重新劃分網(wǎng)格、網(wǎng)格依賴性小[21]的優(yōu)點；TOUGH 求解器可以對多相流、多組分及等溫問題進(jìn)行模擬求解。因此，TOUGH?AiFrac 耦合求解器適用于解決縫洞型油藏中流—固耦合問題。

2 注水壓力對裂縫擴展影響

建立100 m×100 m×2 m 的三維模型（圖2）。水平最大主應(yīng)力（σH）沿x方向分布，水平最小主應(yīng)力（σh）沿y方向分布，σH=10 MPa，σh=5 MPa，σH/σh為2.0。在模型中心建立一條長10 m 的水力裂縫，模擬與最大主應(yīng)力夾角60°的射孔，模型參數(shù)參照張耀峰等[21]，巖石楊氏模量13 GPa，巖石泊松比0.2，巖石密度2 650 kg/m3，巖石孔隙度0.15，裂縫孔隙度0.25，巖石滲透率3×10?20m2，裂縫滲透率3×10?14m2。研究6 種不同注水壓力，即8、12、16、20、24、32 MPa 下的裂縫擴展規(guī)律。

圖2 計算模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of calculation model

2.1 不同注水壓力裂縫起裂

算例共設(shè)置10 個擴展步，取裂縫第一擴展步的模擬結(jié)果進(jìn)行分析，研究不同注水壓力對水力裂縫起裂的影響。圖3a 所示，將水力裂縫第一步擴展方向與裂縫初始方向的夾角定義為裂縫起裂角α，水力裂縫起裂角度與注水壓力之間的關(guān)系見圖3b。由圖可知，6 種注水壓力下的起裂角分別為72.8°、30.8°、17.3°、15.7°、12.2°、8.4°，并且隨著注水壓力的不斷增加，起裂角度逐漸減小。對起裂結(jié)果進(jìn)行擬合，起裂角度和注水壓力之間滿足乘冪關(guān)系，角度變化幅度同樣隨注水壓力的增加而減小。16 MPa（即1.6 倍水平最大主應(yīng)力）為起裂角度變化的臨界水壓值，當(dāng)注水壓力小于16 MPa 時，隨注水壓力的上升起裂角度減小較快，注水壓力增加8 MPa 起裂角減小了55.5°，下降幅度為76.2%；注水壓力達(dá)到16 MPa后，增加相同幅度的水壓，起裂角減小均小于6°，下降幅度分別為29.5 %和31.3 %，下降幅度顯著變緩。注水壓力較小時，裂縫起裂受注水壓力的影響較大，隨著注水壓力的增加，裂縫起裂方向逐漸趨于穩(wěn)定，起裂受水壓影響減小，起裂角度變化較小。

圖3 不同注水壓力裂縫起裂角Fig.3 Fracture initiation angle under different water injection pressure

2.2 不同注水壓力裂縫擴展

不同注水壓力下裂縫最終擴展結(jié)果見圖4。注水壓力為8 MPa 的水力裂縫在地應(yīng)力的作用下最終沿著最大水平主應(yīng)力方向擴展，當(dāng)注水壓力增加到24 MPa（即2.4 倍水平最大主應(yīng)力）之后，裂縫擴展受地應(yīng)力的影響相較于低注水壓力時有明顯減弱，裂縫更加傾向于沿著初始方向擴展，裂縫形態(tài)更加平滑，此時再增加注水壓力對裂縫形態(tài)影響較小。注水壓力越大，水力裂縫開度越大，裂縫尖端應(yīng)力集中越明顯，不同注水壓力下的裂縫擴展形態(tài)表明，注水壓力較小時，水力裂縫擴展受地應(yīng)力作用影響明顯。

圖4 不同注水壓力下裂縫擴展結(jié)果Fig.4 Fracture propagation results under different water injection pressure

為進(jìn)一步量化注水壓力影響指標(biāo)，取裂縫尖端到裂縫初始位置中點的豎直距離作為裂縫的偏轉(zhuǎn)距離L1（圖5a），不同注水壓力下的裂縫偏轉(zhuǎn)距離見圖5b。由偏轉(zhuǎn)距離結(jié)果可知，隨著注水壓力的增加，裂縫偏轉(zhuǎn)距離不斷增加。較小注水壓力時，偏轉(zhuǎn)距離隨注水壓力的增加上升較快，當(dāng)注水壓力增加到24 MPa后，偏轉(zhuǎn)距離增加幅度明顯變緩，裂縫形態(tài)更加傾向于初始方向，逐漸趨于穩(wěn)定，表明注水壓力對水力裂縫擴展的影響是有限的。結(jié)合裂縫起裂角度、最終擴展形態(tài)和偏轉(zhuǎn)距離結(jié)果得出，注水壓力越大，水力裂縫受地應(yīng)力的影響越小。

圖5 不同注水壓力下裂縫偏轉(zhuǎn)距離Fig.5 Fracture deflection distance under different water injection pressure

3 溶洞內(nèi)壓對裂縫擴展影響

為了研究在不同溶洞內(nèi)壓和不同注水壓力共同作用下水力裂縫的擴展規(guī)律，建立100 m×100 m×2 m存在溶洞的三維模型（圖6）。其中，溶洞球心坐標(biāo)為（60，45，1），半徑5 m，內(nèi)部流體壓力分別為5、10、15、20、25、30、35、40 MPa。地應(yīng)力分布同第2 章，最大水平主應(yīng)力σH=10 MPa，最小水平主應(yīng)力σh=5 MPa。為了減小地應(yīng)力對水力裂縫擴展的影響，更好地研究溶洞內(nèi)壓和注水壓力對水力裂縫的作用，在模型中沿最大主應(yīng)力方向建立長度為10 m 的裂縫，其兩端坐標(biāo)分別為（35，55）、（45，55），從初始裂縫中點恒壓注水，討論16、24、32 MPa三種不同注水壓力下8種不同溶洞內(nèi)壓對水力裂縫擴展的影響。

圖6 存在溶洞計算模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of calculation model with karst caves

3.1 無溶洞裂縫擴展

圖7為注水壓力16 MPa 不存在溶洞的裂縫擴展結(jié)果。由于最大水平主應(yīng)力沿x方向分布且初始水力裂縫方向與最大主應(yīng)力方向重合，在注水壓力和地應(yīng)力的共同作用下水力裂縫沿最大水平主應(yīng)力方向擴展，無偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象發(fā)生。

圖7 無溶洞裂縫擴展結(jié)果Fig.7 Fracture propagation result without karst cave

3.2 不同溶洞內(nèi)壓裂縫擴展

注水壓力24 MPa時不同溶洞內(nèi)壓下裂縫擴展結(jié)果見圖8。對比存在溶洞和無溶洞的模擬結(jié)果可知，溶洞的存在改變了水力裂縫的擴展路徑，對水力裂縫擴展有較大影響。以注水壓力24 MPa的結(jié)果為例進(jìn)行分析，因為裂縫初始方向與最大主應(yīng)力方向重合，所以在遠(yuǎn)離溶洞的一端，水力裂縫沿著最大主應(yīng)力方向擴展，擴展結(jié)果與3.1 節(jié)不存在溶洞的結(jié)果相同。在靠近溶洞的一端，由于溶洞的存在改變了周圍應(yīng)力場的分布及裂縫尖端最大主應(yīng)力方向，使溶洞一定范圍內(nèi)的巖體產(chǎn)生拉應(yīng)力區(qū)，表現(xiàn)為存在內(nèi)壓的溶洞對水力裂縫具有吸引作用，并且隨著溶洞內(nèi)壓的增大，拉應(yīng)力區(qū)不斷增大（圖9），吸引作用不斷增強（圖10a）。低溶洞內(nèi)壓（5、10、15 MPa）時溶洞對水力裂縫的吸引作用較弱，地應(yīng)力影響高于溶洞影響，裂縫傾向于沿初始方向擴展，偏向溶洞的幅度較小，最終未能溝通溶洞。中溶洞內(nèi)壓（20、25 MPa），即溶洞內(nèi)壓達(dá)到2倍水平最大主應(yīng)力后，溶洞對裂縫的吸引作用有所加強，溶洞的影響程度高于地應(yīng)力，裂縫偏向溶洞的幅度增大，水力裂縫尖端擴展至溶洞邊緣。高溶洞內(nèi)壓（30、35、40 MPa），溶洞影響作用完全占主導(dǎo)作用，吸引作用最強，溶洞一端的裂縫曲率最大，水力裂縫在溶洞的吸引作用下完全偏向溶洞，成功溝通溶洞。

圖8 注水壓力24 MPa下不同溶洞內(nèi)壓裂縫擴展結(jié)果Fig.8 Crack propagation results of different cave internal pressure under water injection pressure of 24 MPa

圖9 不同溶洞內(nèi)壓拉應(yīng)力區(qū)Fig.9 Tensile stress zone of caves with different internal pressures

將不同條件下溶洞對水力裂縫的吸引作用進(jìn)行量化，定義水力裂縫尖端到裂縫初始位置的豎直距離為溶洞對裂縫的吸引距離L2（圖10b）。不同注水壓力和溶洞內(nèi)壓下的吸引距離見圖11。由圖11 可知，隨著溶洞內(nèi)壓的增加，3 種注水壓力下的吸引距離都不斷上升，吸引作用不斷增強。低溶洞內(nèi)壓時，吸引作用較弱，裂縫擴展主要受注水壓力和地應(yīng)力的影響，有較強的沿著初始方向擴展的趨勢，因此，吸引距離較小，不同注水壓力間的吸引距離相近且隨溶洞內(nèi)壓增長的變化幅度較低。中、高溶洞內(nèi)壓時，溶洞對裂縫的吸引作用明顯增強，相比于低內(nèi)壓溶洞吸引距離有大幅度提升，不同注水壓力間的吸引距離差別明顯。圖11中各個溶洞內(nèi)壓下的結(jié)果均滿足注水壓力越大吸引距離越小的規(guī)律，表明溶洞內(nèi)壓恒定時，注水壓力越大水力裂縫受溶洞吸引作用越弱。

圖10 注水壓力24 MPa不同溶洞內(nèi)壓裂縫擴展軌跡Fig.10 Crack propagation path of different cave internal pressure under water injection pressure of 24 MPa

圖11 不同條件下溶洞對裂縫吸引距離Fig.11 Attraction distance of cave to fracture under different conditions

4 結(jié)論

基于一種新的流—固耦合求解器（TOUGH?AiFrac）基本原理，分別研究了注水壓力和溶洞內(nèi)壓力對水力裂縫擴展的影響規(guī)律，得到了以下結(jié)論：

1）隨著注水壓力的增加，地應(yīng)力對水力裂縫起裂方向的影響減小，裂縫更加傾向于沿著初始方向起裂。其中，1.6 倍水平最大主應(yīng)力為裂縫起裂角臨界水壓值，注水壓力小于該值時，起裂角受注水壓力影響顯著，變化幅度明顯；注水壓力大于該值后，起裂角變化幅度相對于前者顯著變緩，起裂方向趨于穩(wěn)定。

2）隨著注水壓力的增加，地應(yīng)力對水力裂縫擴展路徑的影響減小，裂縫擴展形態(tài)更加平滑。當(dāng)注水壓力達(dá)到2.4 倍水平最大主應(yīng)力后，裂縫形態(tài)及偏轉(zhuǎn)距離變化較小，趨于穩(wěn)定。

3）溶洞內(nèi)壓越大，溶洞對水力裂縫的作用越強；內(nèi)部壓力達(dá)到2倍水平最大主應(yīng)力的溶洞對水力裂縫的擴展存在吸引作用，且吸引作用隨溶洞內(nèi)壓增加而增強，隨注水壓力增加而減弱。