GeoGebra環(huán)境下的“5E”數(shù)學建模教學模式研究

董奕鑫 李孝誠

摘? 要：國際數(shù)學界對培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)和應用能力的重視程度日益增強，數(shù)學建模作為數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻. 如何有效開展相關教學是廣大教師面臨的新挑戰(zhàn). 針對數(shù)學建模教學的兩大難題，本研究將信息技術融入“5E”數(shù)學建模教學模式，以“探究茶水的最佳飲用時間”為例，分析教師應該如何實施教學，以期為未來數(shù)學建模教學模式的研究與發(fā)展提供參考.

關鍵詞：GeoGebra軟件;數(shù)學建模;“5E”教學模式

一、問題提出

數(shù)學以直接或者基本的方式為社會各行各業(yè)的發(fā)展做出了貢獻，“高新技術”“現(xiàn)代化”已經(jīng)成為當今社會的熱點，而從某種意義上說，“高新技術”本質(zhì)上是一種“數(shù)學技術”，“現(xiàn)代化”就是“數(shù)學化”.“數(shù)學技術”和“數(shù)學化”實際上就是善于運用數(shù)學表達式描述和模擬各種各樣的自然或社會現(xiàn)象的本質(zhì)特征，運用數(shù)學模型及靈活、適當?shù)亟?shù)學模型的代名詞. 數(shù)學模型的大量建立與運用使得人類社會的生活、生產(chǎn)、科研發(fā)生了翻天覆地的變化.

國際數(shù)學界對培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)和應用能力的重視程度日益增強，明確“問題解決”是核心. 在這樣的大背景下，對于鋪墊與啟蒙性的中小學數(shù)學基礎教育來說，也必須在數(shù)學學科核心素養(yǎng)、數(shù)學實踐能力、數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識培養(yǎng)方面開展相應的課程與評價. 在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中，明確將“數(shù)學建?！绷袨閿?shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，將“數(shù)學建模和數(shù)學探究活動”作為必修內(nèi)容，并設置了相應的學時與學分. 中國科學院李大潛院士認為，數(shù)學建模對人才培養(yǎng)的重要作用和深遠影響值得引起廣泛重視. 但數(shù)學建模的教學與傳統(tǒng)的知識教學有所不同，它對學生的科學精神、創(chuàng)新能力、計算機操作能力和合作能力等都提出了更高的要求，普通的教學模式難以滿足學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)訴求. 因此，如何有效開展數(shù)學建模的教學成為廣大一線教師面臨的新挑戰(zhàn).

二、數(shù)學建模教學活動研究

傳統(tǒng)的教學方式無法應對數(shù)學建模教學帶來的挑戰(zhàn)，且當前缺乏切實可行的數(shù)學建模教學模式，而僅靠紙筆也很難承載建?；顒又鞋F(xiàn)實問題所包含的龐大運算量. 顯然，數(shù)學建模的教學模式及教學輔助工具成為阻礙數(shù)學建模教學的兩大難題. 因此，本文將從以上兩個方面，對數(shù)學建模的教學展開研究.

1. 數(shù)學建模教學模式選擇——“5E”教學模式

“5E”教學模式是一種基于建構(gòu)主義的探究式教學模式. 該模式是一種通過研究性學習驅(qū)動的教學模式，包含參與（Engagement）、探索（Exploration）、解釋（Explanation）、細化（Elaboration）、評估（Evaluation）五個環(huán)節(jié). 數(shù)學建模本質(zhì)上就是一種探究性學習. 因此，基于“5E”教學模式的基本環(huán)節(jié)，設計了借助GeoGebra軟件實施的數(shù)學建模教學流程，如圖1所示.

（1）參與. 又稱“引入”，教師引導學生獲得先驗知識和參與這一活動的興趣. 課前，教師分析學情，了解學生對該建模活動中涉及的知識與技能的掌握程度;課中，教師創(chuàng)設合理的實際情境，以問題為導向，激發(fā)學生的學習興趣和探究意識，引導學生在情境中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題.

（2）探究. 是“5E”數(shù)學建模教學模式的核心環(huán)節(jié). 主要是教師提供“支架式”指導，學生采取自主、合作等方式參與內(nèi)在原理、規(guī)律的探究活動，初步完成模型的選擇和建立.

（3）解釋. 教師引導學生對探究結(jié)果進行多樣性解釋，并判斷優(yōu)度. 學生完成探究后展示方案——由于數(shù)學建模問題具有開放性，故所得方案也將具有多樣性. 教師借助信息技術軟件以提示、討論等方式對方案進行解釋或補充.

（4）細化. 教師引導學生通過新的挑戰(zhàn)對現(xiàn)象和規(guī)律進行深化理解. 學生利用建立的模型解決實際問題，并檢驗模型的適用性. 教師引導學生通過小組討論、協(xié)作交流進行總結(jié)歸納——這是一個對建立的模型不斷優(yōu)化的過程.

（5）評價. 在整個數(shù)學建模過程中貫穿多樣化評價模式. 主要通過學生撰寫數(shù)學建模研究報告實現(xiàn). 中共中央、國務院于2020年印發(fā)的《深化新時代教育評價改革總體方案》明確提出，要創(chuàng)新多元化評價. 因此，在研究報告中不僅要包括學生的學習反饋、探究積極性等課堂評價，還要包括教師評價、學生自評與互評.

2. 數(shù)學建模教學軟件選擇

2018年，教育部頒布了《教育信息化2.0行動計劃》，其中明確提出深化信息技術與學科課程深度融合，以新型智能技術推動“互聯(lián)網(wǎng) + 教育”的發(fā)展.《中國教育現(xiàn)代化2035》中指出，充分利用現(xiàn)代信息技術，豐富并創(chuàng)新課程形式.《標準》中明確提出，將信息技術融入數(shù)學建模的教學中. 信息技術與數(shù)學教學的融合早已成為時代的潮流和不可抗拒的趨勢，更是培育學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)在要求. 顯然，傳統(tǒng)的教育方式已經(jīng)無法應對信息化時代所帶來的挑戰(zhàn). 對此，各版本教材均要求在數(shù)學建模的教學中充分利用信息技術，在計算器、計算機的輔助下進行探索和驗證.

GeoGebra是一款專為教與學服務的動態(tài)數(shù)學軟件，目前已經(jīng)成為多個版本教材的信息技術使用的主要軟件.“形”與“數(shù)”的完美融合能夠輔助分析模型建立，代數(shù)運算系統(tǒng)（CAS）的完美嵌入為數(shù)學建模的計算提供了保障，指令輸入和工具構(gòu)造讓動態(tài)模型的演示過程更加生動，多模塊區(qū)域間的關聯(lián)互動有利于數(shù)學建模活動的深度開展. 因此，充分利用GeoGebra軟件強大的代數(shù)、圖形和統(tǒng)計等優(yōu)勢，激發(fā)學生對數(shù)學建模的興趣和探索欲，有利于教學質(zhì)量和教學效率的提高.

三、基于GeoGebra軟件的“5E”數(shù)學建模教學模式示例

本文選取人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第一節(jié)的數(shù)學建?；顒印疤骄坎杷淖罴扬嬘脮r間”，探究如何借助GeoGebra軟件實施“5E”數(shù)學建模教學活動.

1. 觀察實際情境，發(fā)現(xiàn)并提出問題

中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛. 在飲茶過程中，最重要的就是茶水的口感. 研究在室溫下剛泡制好的茶水要等多久飲用可以達到最佳飲用口感具有現(xiàn)實意義.

思考與交流：變量分析.

問題：現(xiàn)實中能夠影響茶水口感的因素有哪些？

學生討論并回答：泡茶用水溫度（初始溫度）、室溫、茶水量、茶具、沖泡方法、茶葉類型等.

教師引導：控制變量與假設.

突出主要因素，弱化次要因素（引導學生結(jié)合探究分析相關因素的重要程度.）

主要因素：實時變化的溫差.（重點研究茶水在常溫環(huán)境下的自然冷卻規(guī)律.）

次要因素：茶水量、茶具、沖泡方法、茶葉類型等.（弱化處理，假設以上次要因素在探究過程中固定不變.）

提出問題：經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感. 那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

條件確定了常量：初始溫度85℃和室溫25℃. 顯然，如果我們能建立茶水溫度隨時間變化的函數(shù)模型，就可以解決這個問題.

【設計意圖】引導學生從實際生活出發(fā)，尋找影響茶水最佳飲用口感問題的因素，獲得先驗知識及參與解決這一問題的興趣. 該環(huán)節(jié)主要是引導學生參與建?；顒? 與大學數(shù)學建模相比，過去中學數(shù)學建模缺少理想化（模型假設）環(huán)節(jié)，本設計剛好解決了這一問題.

2. 收集數(shù)據(jù)

學生活動：數(shù)學實驗.

所用工具：秒表、溫度傳感器等.

收集茶水溫度隨時間的變化數(shù)據(jù)：每隔1 min測量一次茶水溫度，得到如表1所示的一組數(shù)據(jù).

【設計意圖】將數(shù)學實驗與數(shù)學探究相結(jié)合，引導學生自主參與現(xiàn)象的分析，以及內(nèi)在原理和規(guī)律的探究活動，探索茶水溫度隨時間的變化.

3. 分析數(shù)據(jù)

學生活動：數(shù)據(jù)分析.

茶水溫度是關于時間的函數(shù)，但沒有現(xiàn)成的函數(shù)模型. 為此，可以借助GeoGebra軟件畫出散點圖（如圖2），利用圖象直觀分析這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而幫助我們選擇函數(shù)類型.

觀察散點的分布狀況，分析其變化規(guī)律，回顧函數(shù)的相關知識，猜想哪一種函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律.

【設計意圖】利用信息技術進行數(shù)據(jù)處理，感受信息技術在數(shù)學中的應用與優(yōu)勢，實現(xiàn)學生個性化自主學習.

4. 建立模型

（1）借助GeoGebra軟件選擇函數(shù)模型.

學生活動：開放性嘗試擬合.

學生借助GeoGebra軟件對數(shù)據(jù)進行擬合，在開放性的嘗試中，學生可能選擇一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)等進行擬合操作.

思考與交流.

問題1：在利用GeoGebra軟件擬合的過程中，通過目測和誤差平方和來判斷，可以發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)在數(shù)據(jù)擬合方面表現(xiàn)優(yōu)異，對應圖象分別如圖3 ～ 圖5所示. 能否把這些函數(shù)確定為我們要建立的模型？

小組討論：觀察圖象，考慮實際問題中室溫條件（茶水的溫度不會隨著時間的變化一直下降）的限制，對比方案，小組討論確定最優(yōu)模型為指數(shù)型函數(shù).

問題2：根據(jù)對溫度變化趨勢的了解，發(fā)現(xiàn)用指數(shù)型函數(shù)應該更加合理，但直接選用前面擬合出來的指數(shù)函數(shù)[y=kax]是否合理？模型是否需要根據(jù)現(xiàn)實情況進行改進？

小組討論：因為茶水溫度降至室溫后不能再降，所以指數(shù)函數(shù)圖象表達的y（溫度）應該隨x（時間）趨近于室溫數(shù)值，而不是降到室溫值以下趨近于0，所以單純依靠數(shù)據(jù)擬合出的指數(shù)函數(shù)模型需要根據(jù)實際情況改進，可設指數(shù)型函數(shù)的解析式為[y=kax+b.]

【設計意圖】通過自主探究和小組討論方式進行的探索活動，使學生能充分理解數(shù)學建模是個綜合且復雜的過程. GeoGebra軟件在擬合的同時給出了擬合優(yōu)度，此階段對應“解釋”，教師對學生探究出的多個方案進行評價，判斷其優(yōu)度（對于擬合優(yōu)度的推導與計算，學生不用掌握，能夠應用即可）. 教師要引導學生選擇合適的函數(shù)模型，理解模型的確定不能僅依靠對原始數(shù)據(jù)的簡單函數(shù)擬合效果，還要遵循客觀規(guī)律和科學規(guī)律，考慮現(xiàn)實情況與條件等.

（2）求函數(shù)解析式.

考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，可以選擇指數(shù)型函數(shù)[y=kax+25 k∈R，0<a<1，x≥0]來近似刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律.

由實際情況可知，當[x=0]時，[y=85，] 解得[k=60，]

即[y=60ax+25.]

問題：如何求出溫度的衰減比例a呢？

小組討論與結(jié)果匯報.

小組1：用表1中的一組數(shù)據(jù)代入[y=60ax+25]求a.（特殊值代入法是研究函數(shù)的一般方法，但是其不能反映其他組數(shù)據(jù)的變化情況.）

小組2：將[y=60ax+25]轉(zhuǎn)化為[y-25=60ax，] 發(fā)現(xiàn)每份[y-25]的值與上一份[y-25]的值的比值為a. 例如，當[x=1]時，[y1-25y0-25=54.1960=0.903 2.] 由此列出表2.

計算各比值的平均值，得

[a=15×0.903 2+0.918 1+0.928 4+0.935 1+0.928 5≈]

0.922 7.

我們把這個平均值作為衰減比例，就得到了一個函數(shù)模型[y=60×0.922 7x+25 x≥0.]

小組3：可以借助GeoGebra軟件的運算功能，將所有數(shù)據(jù)代入解析式[y=60ax+25]求[a]的平均值，如表3所示.

則[a=15×0.903 2+0.910 6+0.916 5+0.921 1+0.922 5≈]

0.914 8.

進一步確定函數(shù)模型[y=60×0.914 8x+25 x≥0.]

【設計意圖】考慮指數(shù)型函數(shù)的特點，教師再次引導學生對已選擇的函數(shù)模型進行求解，主要是細化階段. 引導學生基于自己對選擇模型的理解，對函數(shù)模型進行求解，旨在深化學生對函數(shù)模型的理解.

5. 檢驗模型

學生活動：如圖6，用GeoGebra軟件繪圖，檢驗函數(shù)模型與實際數(shù)據(jù)的擬合程度.

各小組畫出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)模型與實際數(shù)據(jù)的吻合程度. 也可以借助GeoGebra軟件研究其誤差平方和，發(fā)現(xiàn)小組2的模型能較好地反映茶水溫度隨時間的變化規(guī)律.

【設計意圖】“細化”階段，使用現(xiàn)代信息技術檢驗求解出的函數(shù)模型，以及檢驗模型的正確性、有效性和可信性，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S.

6. 求解問題

如圖7，在GeoGebra軟件中繪制[y=60，] 其與[y=][60×0.922 7x+25]交點G的橫坐標的值即為所求.

利用信息技術，求得[x≈6.699 7.]

所以泡制一杯最佳口感茶水所需時間大約是7 min.

【設計意圖】求解實際問題，并利用信息技術解決復雜的計算，進一步將信息技術融入數(shù)學教學中，讓學生體會利用信息技術的優(yōu)勢. 運用數(shù)形結(jié)合的方法，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

7. 小結(jié)與作業(yè)

（1）小結(jié).

① 建立函數(shù)模型解決問題;② 借助信息技術解決數(shù)學問題;③ 數(shù)學建模的過程（如圖8）.

【設計意圖】培養(yǎng)學生及時總結(jié)的習慣，采用思維導圖的形式進行小結(jié)，符合學生的認知規(guī)律，同時概括出數(shù)學建模的基本過程，實現(xiàn)由具體到抽象的升華.

（2）作業(yè)：撰寫研究報告.

報告單具體內(nèi)容如圖9所示.

【設計意圖】“評估”階段，建立個人評價、小組評價及教師評價的多元評價模式，并撰寫研究報告.

8. 課堂寄語

數(shù)學的魅力在于其能以穩(wěn)定的模式駕馭流動的世界，而數(shù)學建模就是用數(shù)學語言表達世界的最美方式！

【設計意圖】再次總結(jié)數(shù)學與數(shù)學建模的作用，讓學生深刻感受用數(shù)學語言表達世界的快樂.

四、結(jié)束語

由于數(shù)學建模在認知方式和思維難度上對學生有較高的要求，教師應該創(chuàng)新教學模式. 通過具體實例發(fā)現(xiàn)，借助GeoGebra軟件進行數(shù)學建模，實現(xiàn)了數(shù)學探究、數(shù)學實驗和數(shù)學建模三者的結(jié)合，有利于培養(yǎng)學生的問題解決能力. 在GeoGebra環(huán)境下，采用研究性學習驅(qū)動的“5E”數(shù)學建模教學模式，指導學生用數(shù)學眼光從實際情境中發(fā)現(xiàn)并提出問題，通過分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果和改進模型等活動，應用數(shù)學建模探索和解決現(xiàn)實世界中的重要問題，能夠在數(shù)學建模的全過程中增強中學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)和科技創(chuàng)新能力.

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