現(xiàn)象教學(xué)視角下的專題復(fù)習(xí)教學(xué)嘗試

徐建東

摘? 要：現(xiàn)象教學(xué)是從現(xiàn)象出發(fā)進(jìn)行的教學(xué);專題復(fù)習(xí)要讓學(xué)生系統(tǒng)地把握所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系. 現(xiàn)象教學(xué)視角下的專題復(fù)習(xí)教學(xué)倡導(dǎo)學(xué)生參與探究活動(dòng)，注重知識(shí)的自主生成，是新課程理念在課堂教學(xué)中的具體落實(shí).

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學(xué);專題復(fù)習(xí);教學(xué)范式

現(xiàn)象教學(xué)是從現(xiàn)象出發(fā)進(jìn)行的教學(xué). 這里的現(xiàn)象可以是生活中的現(xiàn)象，也可以是學(xué)科中的現(xiàn)象，但其中隱含著豐富的教學(xué)內(nèi)容. 現(xiàn)象教學(xué)注重生成，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)，主張學(xué)生參與真實(shí)的探究，注重過程性評(píng)價(jià). 專題復(fù)習(xí)是課堂教學(xué)的基本課型之一，以某個(gè)專題為主對(duì)基本概念、公式、定理等進(jìn)行全面的梳理和歸納，并要將其應(yīng)用于具體的問題中. 專題，可以視為大概念、大單元、項(xiàng)目或主題，并在相應(yīng)觀念的指引下設(shè)計(jì)出各自的教學(xué)方式. 更可以視為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，設(shè)計(jì)出現(xiàn)象教學(xué)的方法. 相比于新課教學(xué)階段，在復(fù)習(xí)教學(xué)階段學(xué)生有更豐富的知識(shí)儲(chǔ)備及更強(qiáng)的綜合分析能力，因而當(dāng)把專題視為數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)，他們能夠進(jìn)行多角度的探究，開展多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行更為全面的知識(shí)整合和素養(yǎng)生成. 本文以一節(jié)立體幾何專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與實(shí)施為例，闡述現(xiàn)象教學(xué)視角下的專題復(fù)習(xí)教學(xué)嘗試.

一、現(xiàn)象教學(xué)視角下的專題復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)錄

題目? 如圖1，已知邊長(zhǎng)為[a]的正方體[ABCD-ABCD，]點(diǎn)[P]為面對(duì)角線[BC]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)[P]沿著[BC]運(yùn)動(dòng)時(shí)，嘗試探究過點(diǎn)[P]的線（或面）與平面[ACD]的位置關(guān)系.

教師給學(xué)生呈現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象：一個(gè)具有開放性的立體幾何問題，其中蘊(yùn)含了可供研究的素材. 學(xué)生在面對(duì)“運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P”時(shí)，能體驗(yàn)到空間點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系，知道有些關(guān)系（數(shù)量的、位置的）在變化，于是提出問題，隨之產(chǎn)生探究的欲望. 進(jìn)而在師生、生生的互動(dòng)交流中進(jìn)行思維的碰撞和提升，從而達(dá)到提升“四基”，發(fā)展“四能”的教學(xué)目標(biāo).

師：大家能想象出這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程嗎？有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：當(dāng)點(diǎn)[P]在線段[BC]上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[P]經(jīng)過的路徑[BC]始終與平面[ACD]平行.

師：如何驗(yàn)證其正確性？

新課程倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的全過程. 顯然，生1根據(jù)“點(diǎn)動(dòng)成線”及線面平行的判定定理得到了結(jié)論，這是一種數(shù)學(xué)直覺，但僅憑直覺判斷不一定準(zhǔn)確，需要經(jīng)過理性的思辨認(rèn)證，教師要給學(xué)生提供梳理思路的時(shí)間和空間，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確論證其猜想的正確性，在論證的過程中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

生1：點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)路徑為線段[BC，] 易得[BC∥AD.] 根據(jù)線面平行的判定定理，可以得到[BC∥]平面[ACD.]

師：很好，生1利用線面平行的判定定理證明了他的猜想是正確的，即當(dāng)點(diǎn)[P]在線段[BC]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)路徑始終與平面[ACD]平行.（教師在黑板上簡(jiǎn)要書寫結(jié)論和線面平行的判定定理.）

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

此題具有較大的開放性，可供學(xué)生探究的內(nèi)容非常豐富. 根據(jù)教師的預(yù)設(shè)，本節(jié)課需要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)包括線線位置關(guān)系、線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系、線面角、面面角、體積等.

生2：點(diǎn)[P]到平面[ACD]的距離是一個(gè)定值.

師：如何驗(yàn)證其正確性？

生2：根據(jù)生1的結(jié)論[BC∥]平面[ACD，] 易得點(diǎn)[P]到平面[ACD]上的距離處處相等，即可等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)[B]到平面[ACD]的距離. 根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化法，得[VB-ACD=][VD-ABC.] 可求出點(diǎn)[B]到平面[ACD]的距離為定值，即動(dòng)點(diǎn)[P]到平面[ACD]的距離為定值.

生3：還可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)[D]到平面[ACD]的距離，同樣可以利用等體積法轉(zhuǎn)化，得[VD-ACD=VD-ACD.] 進(jìn)一步求得點(diǎn)[D]到平面[ACD]的距離為定值，即動(dòng)點(diǎn)[P]到平面[ACD]的距離為定值，且定值為[33a.]

師：很好，生2和生3在生1結(jié)論的基礎(chǔ)上求出了點(diǎn)[P]到平面[ACD]的距離，并在求解的過程中進(jìn)行了多次等價(jià)轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了生2和生3對(duì)于點(diǎn)到平面的距離概念的深刻理解，以及對(duì)等體積轉(zhuǎn)換的熟練運(yùn)用. 歸根結(jié)底，體現(xiàn)了生2和生3對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的熟練掌握. 大家還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生4：我發(fā)現(xiàn)三棱錐[P-ACD]的體積是一個(gè)定值.

師：生4的結(jié)論很明顯，大家看出來了嗎？請(qǐng)生4簡(jiǎn)要說明一下理由.

對(duì)于明顯的結(jié)論要督促學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)論證說明，這是數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)、實(shí)事求是的學(xué)習(xí)和生活準(zhǔn)則，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中的德育教育.

生4：根據(jù)生2的結(jié)論，可知點(diǎn)[P]到平面[ACD]的距離是一個(gè)定值，且[△ACD]的面積是一個(gè)定值，根據(jù)錐體體積計(jì)算公式[VP-ACD=13S△ACDh，] 可得三棱錐[P-ACD]的體積為定值[16a3].

師：很好，生4在生2結(jié)論的基礎(chǔ)上猜測(cè)并證明了三棱錐[P-ACD]的體積是一個(gè)定值，體現(xiàn)了生4善于用數(shù)學(xué)眼光來觀察圖形，用數(shù)學(xué)思維來思考問題，抓住了動(dòng)態(tài)問題中的不變量，得到了一個(gè)一般性的結(jié)論. 大家繼續(xù)挖掘，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：連接線段[CP，] 可以求出直線[CP]與平面[ACD]所成角的正弦值范圍（最值）.

師：很好，剛才找的都是定值，生5挖掘出了一個(gè)范圍，說一下你的思路.

范圍問題的探究是較高層次數(shù)學(xué)直覺思維作用的結(jié)果，通過生生互動(dòng)可以促進(jìn)學(xué)生之間數(shù)學(xué)思維的碰撞，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的探究熱情.

生5：如圖2，連接線段[CP，] 根據(jù)生2的結(jié)論可知點(diǎn)[P]到平面[ACD]的距離為定值[33a，] 再假設(shè)直線[CP]與平面[ACD]所成的角為[θ，] 則[sinθ=hCP.] 因?yàn)閇h]是一個(gè)定值，所以直線[CP]和平面[ACD]所成角的正弦值由線段[CP]的長(zhǎng)度來決定. 在等腰直角三角形[CBC]中，[CP]的取值范圍為[22a，a，] 故可以求出直線[CP]與平面[ACD]所成角的正弦值的取值范圍為[33， 63.]

師：很好，生5在生2結(jié)論的基礎(chǔ)上猜測(cè)并求出了直線[CP]與平面[ACD]所成角的正弦值的范圍（最值）.? 其利用線面角的概念，將線面角正弦值的取值范圍轉(zhuǎn)化為線段[CP]的取值范圍，并求出了最后答案，體現(xiàn)出生5數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等多個(gè)方面的素養(yǎng). 大家已經(jīng)挖掘出了4個(gè)結(jié)論，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：連接[AP，] 則[AP]與平面[ACD]平行.

師：生6又挖掘出了一個(gè)定量問題，請(qǐng)說明其正確性.

生6：如圖3，連接[AB，AC，AP，] 易得[AB∥DC，][AC∥AC.] 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得平面[ACD∥]平面[ABC.] 因?yàn)閇AP?]平面[ABC，] 所以[AP]與平面[ACD]平行.

師：非常好，生6利用面面平行的判定定理，得到了[AP]與平面[ACD]平行.

生7：我發(fā)現(xiàn)二面角[P-AD-C]是一個(gè)定值.

師：說明其正確性.

生7：如圖4，連接[AP，DP，] 易得[BC∥AD.] 所以點(diǎn)[P]到線段[AD]的距離處處相等， 所以二面角[P-AD-C]的大小不受點(diǎn)[P]位置的影響，是一個(gè)定值.

本節(jié)課通過學(xué)生的探究實(shí)踐，得到了一系列結(jié)論，主要用到的知識(shí)點(diǎn)歸納如下.

（1）線面平行的判定定理.

（2）三棱錐體積公式和等體積法求點(diǎn)面距離.（這里涉及點(diǎn)到平面距離的轉(zhuǎn)移.）

（3）空間線面角的求解.

（4）面面平行的判定定理.

（5）空間二面角的求解.

二、基于現(xiàn)象教學(xué)的教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上增加基本數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更加關(guān)注學(xué)生的課堂參與度，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生親身經(jīng)歷問題的探究過程和知識(shí)形成的過程. 現(xiàn)象教學(xué)符合《標(biāo)準(zhǔn)》理念，通過讓學(xué)生獨(dú)立分析呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，抽象出數(shù)學(xué)研究對(duì)象并對(duì)其進(jìn)行研究分析，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，在問題解決的過程中掌握了數(shù)學(xué)概念，提升了在生活和學(xué)習(xí)中面對(duì)實(shí)際問題的分析和處理能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

現(xiàn)象教學(xué)理念貫穿于本節(jié)課的全過程，其基本教學(xué)流程如圖5所示.

首先，學(xué)生直觀感知教師所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，通過對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察和分析，憑借數(shù)學(xué)直覺做出不同的猜想或判斷. 這其實(shí)是第一次數(shù)學(xué)抽象的過程，即由數(shù)學(xué)現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的抽象. 其次，學(xué)生要通過邏輯推理去論證自己的猜想或判斷的正確性. 這是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程，也就是現(xiàn)象教學(xué)中的現(xiàn)象分析環(huán)節(jié). 學(xué)生在論證過程中會(huì)不斷調(diào)用原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也就是通常說的儲(chǔ)備知識(shí)或者基礎(chǔ)，學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)決定了其是否能夠順利完成論證過程. 這個(gè)過程是學(xué)生知識(shí)增長(zhǎng)、能力發(fā)展和素養(yǎng)提升的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 在對(duì)猜想或判斷進(jìn)行正確論證（或者論證其是錯(cuò)誤的）后，將進(jìn)入意義生成環(huán)節(jié). 意義生成環(huán)節(jié)是學(xué)生實(shí)現(xiàn)由感性猜想到理性論證的過程，是一個(gè)從模糊到逐漸清晰的認(rèn)知過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生將逐步經(jīng)歷獲取新知、發(fā)展能力和提升素養(yǎng)的體驗(yàn). 從意義生成的角度來看，每一次學(xué)習(xí)都是一次創(chuàng)造. 接下來就是規(guī)范表達(dá)與知識(shí)結(jié)構(gòu)化環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)將實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化和順應(yīng)，真正促使學(xué)生獲取新知、發(fā)展能力和提升素養(yǎng)，這也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的重要節(jié)點(diǎn). 這個(gè)環(huán)節(jié)需要教師很好地發(fā)揮主導(dǎo)作用，既不能包辦，也不能放任. 現(xiàn)象教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)就是新知識(shí)在具體問題中的應(yīng)用.

概括地說，現(xiàn)象教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象自主進(jìn)行分析和研究，在分析和研究的過程中學(xué)會(huì)分析、研究的方法和技能，并運(yùn)用所學(xué)方法和技能去解決新的、陌生的數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 學(xué)生在這個(gè)過程中掌握知識(shí)、提升技能、發(fā)展素養(yǎng)，同時(shí)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

三、結(jié)束語

學(xué)習(xí)貴在思考，思考貴在有疑惑. 能啟發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)、能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)才是有效的教學(xué)，現(xiàn)象教學(xué)能積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考和探究，啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，在讓學(xué)生掌握“四基”的同時(shí)提升“四能”，最后形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]孫四周. 現(xiàn)象教學(xué)[M]. 長(zhǎng)春：吉林教育出版社，2018.

[2]孫四周. 思維的起源[M]. 北京：中國國際廣播出版社，2019.

[3]祁平. 基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（8）：22-28.

[4]弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1999.