不等粒徑非飽和土濕吸力量化計(jì)算及影響因素分析

鄧鐘尉

(1.廣州市城市規(guī)劃勘測設(shè)計(jì)研究院，廣東 廣州 510060； 2.廣東省地質(zhì)過程與礦產(chǎn)資源探查重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510275)

1 引 言

非飽和土是一種由氣相、液相、固相以及水氣交界面構(gòu)成的四相土[1]?；诹ｉg吸力[2](包含濕吸力)的非飽和土有效應(yīng)力原理概念清晰，物理意義明確，初步闡明了A.W.Bishop單應(yīng)力狀態(tài)變量[3，4]中參數(shù)χ和D.G.Fredlund雙應(yīng)力狀態(tài)變量[5，6]中tanФb的物理意義，基于粒間吸力(包括濕吸力)的非飽和土抗剪強(qiáng)度理論，一方面統(tǒng)一了前人的研究成果，另一方面避免了在研究非飽和土強(qiáng)度理論中存在的誤區(qū)，逐漸為國內(nèi)外的眾多學(xué)者所接受。

吸力[7]問題的研究是非飽和土土力學(xué)研究的理論基礎(chǔ)，學(xué)者們很早以前就已經(jīng)認(rèn)識到，由土顆粒的微觀接觸模型著手研究非飽和土的吸力具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。G.Lian和C.Thornton[8]推導(dǎo)出了等粒徑球形顆粒間毛細(xì)吸力和粒間附加應(yīng)力的近似計(jì)算公式。K.Shimada，H.Fujii(2000)[9]基于等粒徑球形土顆粒接觸模型，推導(dǎo)出附加有效應(yīng)力與飽和角的關(guān)系，并進(jìn)一步探討了顆粒半徑和顆粒堆積方式對土體有效應(yīng)力及強(qiáng)度的影響。賈其軍(2004)[10]基于Fish公式，推導(dǎo)出了等粒徑球形土顆粒間由基質(zhì)吸力和表面張力引起的附加有效應(yīng)力的解析解。

湯連生[2，11]等在提出濕吸力概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過理論推導(dǎo)，初步給出了微觀濕吸力與飽和角、接觸角等微觀狀態(tài)量間的計(jì)算表達(dá)式，并給出了規(guī)則堆積情況下，宏觀濕吸力Sa和微觀狀態(tài)量間關(guān)系式。張鵬程[12]基于等粒徑球形土顆粒模型，推導(dǎo)出了濕吸力與含水量、孔隙比及干密度間的定量計(jì)算公式。

以往非飽和土吸力的研究大多是建立在等粒徑球形顆粒接觸模型的基礎(chǔ)上，本文假設(shè)土顆粒間的接觸模型為不等粒徑球形顆粒，從理論上推導(dǎo)出的微觀濕吸力與飽和角、接觸角、顆粒半徑間的關(guān)系式，并編寫了程序，對計(jì)算表達(dá)式進(jìn)行了計(jì)算。

2 微觀濕吸力公式推導(dǎo)

2.1 微觀濕吸力量化公式推導(dǎo)

實(shí)際土體中土顆粒大小不一，大顆粒形成的孔隙往往被小顆粒填充，相鄰?fù)令w粒的半徑往往不同，本文建立不等粒徑球形土顆粒計(jì)算模型，推導(dǎo)非飽和土濕吸力和飽和角、接觸角、顆粒半徑間等微觀狀態(tài)指標(biāo)之間的計(jì)算表達(dá)式。

(1)模型假設(shè)

土顆粒間不等粒徑球形顆粒接觸模型，如圖1所示，模型假設(shè)如下：

圖1 土顆粒接觸模型示意圖

①土顆粒間的接觸為不等粒徑球形顆粒；

②土顆粒間收縮膜的形狀為球形曲面；

③不考慮重力對收縮膜的影響。

(2)基質(zhì)吸力與表面張力的關(guān)系

根據(jù)熱力學(xué)[13]中的基本原理，假設(shè)顆粒間的彎液面形狀為球形曲面，相鄰?fù)令w粒的半徑為R1和R2，固(土顆粒)—液(孔隙水)接觸角為θ，土顆粒間與某一含水量對應(yīng)的飽和角分別為Φ1和Φ2?；|(zhì)吸力pc為孔隙氣壓力ua和孔隙水壓力uw之間的差值，根據(jù)Young-Laplace公式，基質(zhì)吸力pc的計(jì)算公式為：

(1)

式中，Ts為表面張力系數(shù)[13]，對于溫度和水化學(xué)性質(zhì)特定的液體可視為定值，水溫為20°C的純水，可取Ts=72.7×10-3N/m；r1為彎液面的曲率半徑；r2為彎液面到球心連線O1O2的最短距離，則r1和r2的表達(dá)式為：

(2)

(3)

聯(lián)合式(1)～式(3)即可得到不等粒徑球形顆粒間微觀基質(zhì)吸力pc與顆粒半徑R1和R2、飽和角Φ1和Φ2以及固-液接觸角θ間的計(jì)算表達(dá)式。

(3)微觀濕吸力與和表面張力的關(guān)系

由土顆粒接觸模型可知，孔隙水在土顆粒表面的搭接為一圓周，基質(zhì)吸力的作用面積為球冠的面積，基于彎液面形狀為球形曲面假設(shè)，在微觀狀態(tài)下，土顆粒間表面張力Ts與基質(zhì)吸力pc之間存在以下平衡關(guān)系：

(4)

即：

(2πR1sinφ1*R1(1-cosφ1)+2πR2sinφ2*R2(1-cosφ2))pc=(2πR1sinφ1*Tscos(θ+φ1)+2πR2sinφ2*cos(θ+φ2))Ts

(5)

整理得：

(6)

由上述方法即式(6)得到的理論基質(zhì)吸力與目前廣泛采用的即(1)式得到的基質(zhì)吸力在概念上是一致的，其數(shù)值大小均等于孔隙氣壓力與孔隙水壓力之間的差值?；|(zhì)吸力在微觀上是表面張力的豎直分量，在宏觀上表征的是土體吸水的能力，即基質(zhì)勢。

土顆粒間由彎液膜表面張力產(chǎn)生的拉力，即以牛頓為單位的微觀濕吸力為Fps：

(7)

整理得：

Fps=(πR1sinφ1sin(θ+φ1)+πR2sinφ2sin(θ+φ2))Ts

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，把以牛頓為單位的微觀濕吸力Fps在面積(πr′2+πr″2)/2上求平均，即可得到微觀濕吸力ps：

(9)

把r′、r″代入上式得：

(10)

上式即為微觀濕吸力與表面張力的關(guān)系，同時(shí)，微觀濕吸力的大小受顆粒半徑R1和R2、飽和角Φ1和Φ2、接觸角θ的影響。

根據(jù)作用在兩不等粒徑土顆粒上的微觀濕吸力ps是一對平衡力，其大小相等，即：

Tssin(θ+φ1)*2πR1sinφ1=Tssin(θ+φ2)*2πR2sinφ2

(11)

整理得：

(12)

由上式可知，飽和角Φ1和Φ2與兩顆粒半徑R1和R2存在函數(shù)關(guān)系。

3 微觀濕吸力量化計(jì)算

微觀濕吸力是表面張力垂直于土顆粒接觸面的分量，是飽和角、顆粒半徑及接觸角的函數(shù)，本文通過編制程序進(jìn)行計(jì)算，分析不同接觸角下飽和角與顆粒半徑的量化關(guān)系，探討微觀濕吸力與上述影響因素之間的關(guān)系。

3.1 不同接觸角下飽和角與顆粒半徑的量化關(guān)系

公式(12)表明，微觀狀態(tài)量接觸角θ、飽和角Φ1和Φ2與半徑比R1/R2之間存在密切的關(guān)系，公式(12)可編制程序進(jìn)行迭代計(jì)算，接觸角分別取0°、5°、10°和15°時(shí)，不同半徑比的條件下，飽和角Φ1和Φ2之間的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果如表1所示，曲線如圖2所示。

由圖2可知，對應(yīng)于同一接觸角θ，大顆粒對應(yīng)的飽和角Φ1要小于小顆粒對應(yīng)的飽和角Φ2，隨著顆粒半徑比的增大，飽和角關(guān)系曲線逐漸變得陡峭，說明相鄰顆粒半徑差異越大，對應(yīng)的飽和角差異越大。此外，同一接觸角對應(yīng)的飽和角均存在臨界值，此時(shí)土體的飽和度接近100%，事實(shí)上，當(dāng)接觸角和飽和角達(dá)到臨界值時(shí)，彎液面的基質(zhì)吸力已經(jīng)趨近于零，此時(shí)，小顆粒已被水環(huán)包圍，形態(tài)也會(huì)發(fā)生改變。

圖2 不同接觸角下Φ1和Φ2關(guān)系曲線

隨接觸角θ增大，飽和角關(guān)系曲線的后半段上升趨勢逐漸明顯，這意味著隨著大顆粒飽和角的減小，小顆粒的飽和角需要增大才能保持彎液面的幾何形狀。，理論分析結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果相吻合。

接觸角θ、飽和角Φ1和Φ2與半徑比定量關(guān)系表 表1

3.2 微觀濕吸力影響因數(shù)分析

由微觀濕吸力和表面張力的關(guān)系式，即式(10)可知，微觀濕吸力與表面張力存在函數(shù)關(guān)系，同時(shí)受顆粒半徑R1和R2、飽和角Φ1和Φ2、接觸角θ的影響。表面張力系數(shù)Ts受溫度、水化學(xué)性質(zhì)的影響，對于溫度為20°C的純水可取72.7×10-3N/m。

此處僅考慮接觸角θ=5°的情況，以顆粒半徑比R1/R2=2為例，探討基質(zhì)吸力、微觀濕吸力與顆粒粒徑大小、飽和角的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果如表2所示，曲線如圖3、圖4所示。

接觸角θ=5°時(shí)基質(zhì)吸力、微觀濕吸力與顆粒半徑、飽和角定量關(guān)系 表2

由基質(zhì)吸力、微觀濕吸力與顆粒半徑、飽和角定量關(guān)系計(jì)算結(jié)果及圖3和圖4可知，當(dāng)粒徑比相等時(shí)，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力都與顆粒半徑大小成反比，顆粒半徑越大，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力越小，顆粒半徑越小，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力越大。隨著飽和角Φ1的增大，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力單調(diào)減少，在飽和角較小時(shí)，曲線的斜率較大，二者減小的趨勢更明顯，基質(zhì)吸力減小的速度要快于微觀濕吸力。當(dāng)飽和角趨近某一特定值時(shí)，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力都趨向于零，對應(yīng)顆粒半徑R1=1 mm、R2=0.5mm的情況，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力減小到0，此時(shí)的飽和角為Φ1=24.39°，Φ2=41.53°，即為該狀態(tài)下土體的最大飽和角。隨著土顆粒半徑的減小，土體的最大飽和角有增大的趨勢。

圖3 粒徑比相等、粒徑不等情況下微觀濕吸力與飽和角Φ1的關(guān)系

圖4 粒徑比相等、粒徑不等情況下基質(zhì)吸力與飽和角Φ1的關(guān)系

4 結(jié) 論

本文建立了不等粒徑球形土顆粒接觸模型，通過土顆粒周圍氣-液界面毛細(xì)現(xiàn)象、表面張力等的研究，推導(dǎo)出微觀濕吸力表達(dá)式，并對微觀濕吸力進(jìn)行了量化計(jì)算，得出了以下結(jié)論：

(1)當(dāng)粒徑比相等時(shí)，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力都與顆粒半徑大小成反比。

(2)微觀濕吸力和基質(zhì)吸力都隨飽和角的增大而減小。

(3)存在最大飽和角，當(dāng)飽和角趨近最大飽和角時(shí)，微觀濕吸力和基質(zhì)吸力都趨向于零。

本文的基于不等粒徑球形顆粒模型，從理論上推導(dǎo)出非飽和土微觀濕吸力的計(jì)算表達(dá)式，對不等粒徑非飽和土的宏觀濕吸力、任意堆積甚至顆粒形狀不規(guī)則的實(shí)際土體，有待進(jìn)一步研究。