非線性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間包含控制

余 湛，唐朝君，謝 挺

（重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054）

0 引言

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制一直是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。一致性問(wèn)題作為協(xié)調(diào)控制研究的一個(gè)基本問(wèn)題，受到了特別關(guān)注。如果系統(tǒng)中有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，相應(yīng)的問(wèn)題則被稱為包含控制問(wèn)題，它研究如何通過(guò)設(shè)計(jì)分布式協(xié)議驅(qū)使跟隨者收斂到由領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包內(nèi)。包含控制問(wèn)題在軍事和民用領(lǐng)域都具有廣泛應(yīng)用，并取得了許多有價(jià)值的成果[1-4]。

在一致性問(wèn)題的研究中，收斂速度被公認(rèn)為是評(píng)價(jià)一致性協(xié)議的一個(gè)重要性能指標(biāo)。在大多數(shù)關(guān)于一致性問(wèn)題的早期文獻(xiàn)中，只有在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)才能達(dá)到一致。為了提高收斂速度，一些研究者設(shè)計(jì)了有限時(shí)間的一致性協(xié)議。值得注意的是，有限時(shí)間一致性的收斂時(shí)間依賴于智能體的初始條件。由于初始條件通常不能預(yù)先得到，因此不能保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)收斂。幸運(yùn)的是，近年來(lái)，研究人員為了解決初始條件的限制，在一致性問(wèn)題中引入了固定時(shí)間一致性協(xié)議。文獻(xiàn)[5]研究了無(wú)向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌亩嘀悄荏w系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)平均一致性問(wèn)題，即固定時(shí)間平均一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]考慮了一般有向圖下非線性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性。文獻(xiàn)[7]研究了具有不確定性本質(zhì)非線性動(dòng)力學(xué)的一階多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]研究了在有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，具有非線性動(dòng)力學(xué)和不確定干擾的多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]研究了具有非線性動(dòng)力學(xué)和有界不確定性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間群體一致跟蹤問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]研究了非線性異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]針對(duì)有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，研究了具有切換拓?fù)浜头蔷€性動(dòng)力學(xué)下的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間包含控制問(wèn)題。然而，以前的工作很少關(guān)注有向通信拓?fù)湎戮哂形粗蓴_的非線性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間包含控制問(wèn)題。

基于上述原因，本文研究了有向拓?fù)湎戮哂形粗蓴_的非線性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間包含控制。結(jié)果表明，在存在未知干擾和有向通信拓?fù)涞那闆r下，可以解決包含控制問(wèn)題。此外，還得到了收斂時(shí)間的上界。

1 預(yù)備知識(shí)及問(wèn)題描述

1.1 符號(hào)說(shuō)明與圖論

設(shè)R為實(shí)數(shù)集，λmin(A)和λmax(A)分別為對(duì)稱實(shí)矩陣A的最小特征值和最大特征值。對(duì)于一個(gè)給定的向量x∈Rn，表示p-范數(shù)。表示集合X={x1,x2,…,xn}的凸包。若矩陣A的每個(gè)元素都是非負(fù)的，則矩陣A是非負(fù)的。若矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則矩陣A是穩(wěn)定的。如果矩陣A是非負(fù)的，并且每一行都有單位和，則稱矩陣A是隨機(jī)的。

有向圖G(A)={V,E,A}，由頂點(diǎn)集V={1, 2, …,n}、有向邊和鄰接矩陣A組成，用于描述系統(tǒng)中智能體之間的通信拓?fù)洹(A)的一條邊用(j,i)表示，這表示智能體i可以直接接收智能體j的信息。令鄰接矩陣A=[aij]∈Rn×n；若(j,i)∈E，則aij＞0；否則aij=0，其中aij表示權(quán)重。令度矩陣。拉普拉斯矩陣L=[lij]∈Rn×n，可以用L=D-A來(lái)表示。

1.2 問(wèn)題描述

設(shè)多智能體系統(tǒng)是由m個(gè)跟隨者和n-m個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的。跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的集合分別用VF={1, 2, …,m}和VL={m+1,m+2, …,n}表示。在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)智能體i的動(dòng)力學(xué)為

式中：xi(t)、ui(t)、f(xi(t),t)、di(t)∈R分別為智能體i的狀態(tài)、控制輸入、本質(zhì)非線性動(dòng)力學(xué)和未知干擾。

定義1通過(guò)設(shè)計(jì)合適的協(xié)議ui(t),i∈VF，如果滿足，則稱系統(tǒng)（1）能夠?qū)崿F(xiàn)固定時(shí)間包含控制。其中Co(xL)表示由領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)形成的凸包，而T表示獨(dú)立于初始狀態(tài)的固定時(shí)間。

為了推導(dǎo)出主要結(jié)果，給出以下假設(shè)。

假設(shè)1每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者都不能接受信號(hào)，對(duì)于每個(gè)跟隨者，至少有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者有通往它的有向路徑。

注意：當(dāng)滿足假設(shè)1時(shí)，顯然，拉普拉斯矩陣L可以寫為

式中：矩陣L1∈Rm×m，矩陣L2∈Rm×(n-m)。

假設(shè)2存在一個(gè)正常數(shù)使得

式中：常數(shù)ki≥0，且。

假設(shè)3未知干擾di(t)是連續(xù)的，并且有上界dmax，即

假設(shè)4對(duì)于所有的i,j∈VF，存在常量pi＞0滿足pjaij=piaji。其中aij是與有向圖G(A)相關(guān)的鄰接矩陣的權(quán)重。

注意：如果有向圖G滿足假設(shè)4，則稱圖G滿足細(xì)致平衡條件。該條件通常用于研究有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)的有限時(shí)間和固定時(shí)間一致性問(wèn)題[12-13]。

引理1[14]對(duì)于任何向量z∈Rn，如果存在常數(shù)p＞q≥1，則

引理2[15]如果滿足假設(shè)1，則矩陣-L1是穩(wěn)定的，那么矩陣是隨機(jī)矩陣。

引理3[16]如果滿足假設(shè)4，則矩陣L1P是正定的，且定義矩陣P=diag{p1,p2, …,pn}。

引理4[17]如果存在徑向無(wú)界正連續(xù)函數(shù)，使得

其 中a,b＞0，0＜μ＜1＜v，則 稱 系 統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間穩(wěn)定性。此外，收斂時(shí)間可以通過(guò)來(lái)估計(jì)。

2 主要結(jié)果

為實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間包含控制，提出以下控制協(xié)議：

式 中：α、β、γ＞0，a＜b，p＜q，且a、b、p、q均 為正奇數(shù)。

后面的內(nèi)容中，為簡(jiǎn)單起見，在不引起混淆的情況下有時(shí)省略參數(shù)t。令，

則有

定理1滿足假設(shè)1, 2, 3, 4，且當(dāng)控制參數(shù)滿足以下不等式時(shí)：

系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間包含控制。

證考慮如下Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)等式（9）可以得到

根據(jù)假設(shè)2可以得到

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，再由引理1可以得到

則有：

式中：

定理1給出了多智能體系統(tǒng)包含控制的充分條件，在有未知干擾情形下，系統(tǒng)（1）在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)包含控制。對(duì)此，考慮一種特殊情形，對(duì)于不帶干擾下的系統(tǒng)，智能體i的動(dòng)力學(xué)方程如下：

定理2若滿足假設(shè)1、2、4。當(dāng)控制參數(shù)滿足以下不等式時(shí)：

系統(tǒng)（21）在控制協(xié)議（7）下仍然可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間包含控制。

3 數(shù)值模擬

例1 設(shè)某多智能體系統(tǒng)由2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和4個(gè)跟隨者構(gòu)成的。跟隨者分別記為1, 2, 3, 4；領(lǐng)導(dǎo)者分別記為5, 6，相應(yīng)的通信拓?fù)淙鐖D1所示。很明顯假設(shè)1和4成立。

圖1 例1對(duì)應(yīng)的通信拓?fù)鋱DFig.1 Corresponding communication topology with example 1

智能體的動(dòng)力學(xué)由等式（1）描述。令，f=(xi,t)=xisint，d(t)=[sint, 0.5sint, -sint, 1.5sint]T，很明顯，假設(shè)2, 3也成立。經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以取P=diag(2/5,3/10, 1/2, 5/7)，則可以選擇控制參數(shù)分別為b=7，a=p=3，q=5，α=30，β=40，γ=20，使得參數(shù)滿足不等式（10）；隨機(jī)生成初始狀態(tài)xF(0)=(7, 4, -8, 3)T，xS(0)=(6, -9)T，則有δ(0)=(9.4, -1.8,-14.7, 14.6)T。跟蹤誤差狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線如圖2所示。很明顯，δ逐漸收斂到0，即固定時(shí)間包含控制問(wèn)題得以解決。

圖2 帶干擾情況下的跟蹤誤差狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Time-dependent tracking error state curves with disturbances

例2 考慮的多智能體系統(tǒng)由5個(gè)跟隨智能體（分別用編號(hào)1～5表示）和2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體（分別用編號(hào)6、7表示）構(gòu)成的。相應(yīng)的通信拓?fù)淙鐖D3所示。智能體的動(dòng)力學(xué)由式（21）描述。令f(xi,t)=xicost；經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可以選擇控制參數(shù)分別為b=7，a=5，p=3，q=11，α=32，β=38，γ=22，使得滿足不等式（22）；隨機(jī)生成初始跟蹤誤差狀態(tài)為δ(0)=(2, -15,-3, 5, 12)T。跟蹤誤差狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線如圖4所示。很明顯，δ逐漸收斂到0，即固定時(shí)間包含控制問(wèn)題得以解決。

圖3 例2對(duì)應(yīng)的通信拓?fù)鋱DFig.3 Corresponding communication topology with example 2

圖4 不帶干擾情況下的跟蹤誤差狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Tracking error state curves with time without disturbances

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)有向拓?fù)淝樾蜗碌亩嘀悄荏w系統(tǒng)，提出了一種固定時(shí)間控制協(xié)議，用以解決有向拓?fù)湎路蔷€性多智能體系統(tǒng)的包含控制問(wèn)題。結(jié)果表明，該算法所提出的控制協(xié)議對(duì)未知干擾具有魯棒性，且收斂時(shí)間與智能體的初始條件無(wú)關(guān)。最后，給出兩個(gè)例子，證明了理論結(jié)果的有效性。

本研究只對(duì)非線性多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間包含控制問(wèn)題進(jìn)行了初步研究。在今后的工作中，還要很多重要問(wèn)題需要解決，主要有：

1）本文研究的有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫窃跐M足細(xì)致平衡條件下的，如果對(duì)于更具有一般性的有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，得到的結(jié)論也許是相似的，此時(shí)的應(yīng)用范圍將會(huì)更加廣泛。

2）在控制工程中，常用的是高階的控制系統(tǒng)，本文研究的是一階多智能體系統(tǒng)，在今后的研究中，考慮利用滑?？刂朴兄谘芯拷鉀Q二階控制系統(tǒng)。