基于Levenberg Marquardt 的數(shù)控機床主軸負載振動的非線性擬合

林海森 鄒朝圣 廖妮蘭 廖城鴻

（廈門萬久科技股份有限公司，福建 廈門 361021）

生產(chǎn)制造，從早期的人工、機械、半自動化和自動化，到信息化、數(shù)字化,再到現(xiàn)在的智能制造，其發(fā)展趨勢已勢不可擋，而且智能制造也是全球制造業(yè)發(fā)展的趨勢[1]。智能制造離不開數(shù)控機床，在我國“智能制造2025”的環(huán)境下，數(shù)控機床主軸振動信號的采集、監(jiān)控與分析已經(jīng)成為了行業(yè)熱議的話題。如蘇健[2]等提出基于三次樣條函數(shù)的 FFT 優(yōu)化算法，研究了機床主軸的振動信號；萬海波[3]等基于 HHT 的主軸振動信號，實時監(jiān)測振動信號的時頻分布；董鑫[4]等利用譜圖小波閾值降噪、逆變換，分析了滾刀主軸振動信號。研究數(shù)控機床主軸振動量，將數(shù)據(jù)可視化對于智能化生產(chǎn)與管理具有十分重要的意義。

數(shù)控機床加工時，其主軸振動量與主軸轉(zhuǎn)速、進給速度和切削量這3個變量因素息息相關(guān)，而三者與主軸振動量是非線性關(guān)系，尋求關(guān)系函數(shù)需求解非線性方程。當(dāng)前求解非線性方程組最常用的經(jīng)典方法為牛頓法(Newton)方法，高斯牛頓法(Gauss-Newton)方法，列文伯格-馬夸爾(Levenberg-Marquardt，L-M)方法等，其中L-M算法介于牛頓法與梯度下降法之間的一種非線性優(yōu)化方法，具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點[5-6]。

L-M算法與最小二乘方法關(guān)系密切，能有效解決多元非線性曲線擬合，估算函數(shù)的未知參數(shù)，在工程應(yīng)用中很有實用價值。其使用信賴域，修正阻尼因子u，當(dāng)u很小時，步長取牛頓法(Newton)的最優(yōu)步長，當(dāng)u很大時，步長取梯度下降法（Gradient Descent）的最優(yōu)步長，得到合適的值，在迭代更新過程使方程有效收斂，最終達到求解結(jié)果[6-7]。

本文使用三維度的速度傳感器(VB-300)分別收集數(shù)控機床主軸負載時的振動速度量與主軸轉(zhuǎn)速、進給速度和切削量3個因素的關(guān)系數(shù)據(jù)，以L-M算法為基礎(chǔ)，進行多元非線性曲線擬合求得最終關(guān)系函數(shù)，實現(xiàn)數(shù)控機床主軸負載時振動量的估測，以及對加工過程中出現(xiàn)異常的報警。

1 檢測系統(tǒng)方案設(shè)計

本文選取速度傳感器(VB-300)，具有三維度的速度檢測，用于采集機床主軸振動信號，速度傳感器安裝于機床主軸右側(cè)，不影響加工，其整體布局效果如圖1所示，系統(tǒng)框架圖如圖2所示。

圖1 速度傳感器布置

圖2 系統(tǒng)框架圖

2 多元非線性擬合

2.1 主軸振動與因變量關(guān)系

數(shù)控機床主軸負載時，其振動幅度與主軸轉(zhuǎn)速x1、進給速度x2、切削量x3的變量因素相關(guān)，當(dāng)變量因素都不變的情況下，加工過程中隨著時間t的變化，主軸在3個方向的振動值Y在應(yīng)許的容差內(nèi)波動，呈現(xiàn)水平分布，如圖3所示。

圖3 主軸振動與時間關(guān)系圖

為了便于推算擬合的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)主軸負載時的振動數(shù)據(jù)，分別取3組數(shù)據(jù)進行擬合，可得數(shù)控機床的主軸轉(zhuǎn)速x1、進給速度x2、切削量x3與主軸振動幅度關(guān)系分別呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)關(guān)系（y=eAx+B）。同時，考慮擬合效果，主軸轉(zhuǎn)速數(shù)值縮小1 000倍進行擬合，即取7.2～9.6 r/min，其曲線分布如圖4～6所示。

圖4 主軸轉(zhuǎn)速與主軸振動值關(guān)系圖

2.2 基于L-M的多元非線性曲線擬合

本文基于L-M算法，分析了機床主軸負載時的振動與主軸轉(zhuǎn)速x1、進給速度x2和切削量x3三者的關(guān)系，估測主軸的速度振動值。確立初始函數(shù)關(guān)系的主流程，如圖7所示。

圖7 確立函數(shù)關(guān)系式流程圖

圖5 進給速度與主軸振動值關(guān)系圖

圖6 切削量與主軸振動值關(guān)系圖

多元非線性曲線擬合實現(xiàn)過程如下：

（1）求取參數(shù) β=(β1,β2,β3，β4,β5)的初始函數(shù)Yi=f(Xi,β)，結(jié)合上述2.1內(nèi)容中確定的不同變量的關(guān)系函數(shù)模板，進行“加、減、乘、除”方式組合，

確立初始函數(shù)關(guān)系式為

以下以Yi=f(Xi,β)進行表示計算。

（2）初始給定一組數(shù)量為m的經(jīng)驗數(shù)據(jù)(Xi,Yi)，0

（3）求取最優(yōu)參數(shù)β，可由偏差ri(β)的 平方S(β)和最小求得，用最小二乘法方式表示有

（4）由于雅克比矩陣

根據(jù)一階泰勒展開有

結(jié)合式（1）有

（5）L-M算法使用了一種帶阻尼的高斯－牛頓方法，式（2）引入阻尼項，有

其中：I為單位矩陣，正阻尼因子ui=||ri(βk)||2全局收斂[8]，0

（6）求偏差的最小值，則對式（3）求偏導(dǎo)，并令為0，則有

（7）若 ||gi(βk)||∞≤ε1則退出迭代，否則繼續(xù)，常數(shù)值 ε1=10-15。

（8）若 | |Δβ||2≤ε2(||βk||2+ε2)，則退出迭代，否則繼續(xù)，常數(shù)值ε2=10-15。

（9）更新 βk+1=βk+Δβk。

（10）計算增益比

（12）重復(fù)（6）到（11）的步驟，直至迭代結(jié)束。

2.3 異常報警監(jiān)測

本文通過擬合的曲線進行估測主軸的振動值，與實際值比較，當(dāng)超過應(yīng)許的容差時，判斷為異常，主軸停止并報警處理，保證機床加工的穩(wěn)定性。實現(xiàn)異常報警的程序流程圖，如圖8所示，其中n1為每組數(shù)據(jù)的數(shù)量、n2為數(shù)據(jù)異常的數(shù)量。

圖8 異常判斷流程圖

3 實驗結(jié)果

根據(jù)上述步驟，擬合曲線方程為確立初始函數(shù)關(guān)系式為

本文相關(guān)測試設(shè)備組成如表1所示，其測量的振動值對應(yīng)的容差參考值如表2所示，其他變量條件：

表1 主要設(shè)備

表2 容差參考表

主軸轉(zhuǎn)速7 200 r/min≤x1≤9 600 r/min；進給速度100 mm/s≤x2≤ 400 mm/s；切削量0.1 mm≤x3≤0.5 mm。

隨機選取3組數(shù)據(jù)進行估測比較，其實驗結(jié)果如表3所示。

表3 實驗數(shù)據(jù)表

綜上所述，在數(shù)控機床主軸負載時，有：

（1）主軸轉(zhuǎn)速間隔800取一組，共4組；進給速度間隔100取一組，共4組；切削量間隔0.1取一組，共5組。三者之間自由組合，共80組，保證數(shù)據(jù)的可靠性。

（2）容差值與主軸振動幅度值正相關(guān)，可減少誤差放大，提高數(shù)據(jù)估測的準確性。

（3）隨機性抽取多組數(shù)據(jù)驗證，合格率超過97%，保證數(shù)據(jù)估測的有效性。

因此，本文所述算法能很好地擬合估測主軸振動量與主軸轉(zhuǎn)速、進給速度和切削量三者的關(guān)系，保證數(shù)控機床加工的穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

本文基于Levenberg Marquardt算法，多元非線性擬合，確立主軸轉(zhuǎn)速、進給速度和切削量三者與機床主軸速度振動量的函數(shù)關(guān)系。在數(shù)控機床加工中，實時監(jiān)測主軸振動狀態(tài)，判斷主軸是否異常和刀具是否斷裂，保證數(shù)控機床加工的穩(wěn)定性，提高生產(chǎn)效率。實驗結(jié)果表明，該方式能有效地預(yù)估主軸的速度振動量，準確率超過97%。同時，對于后續(xù)數(shù)控機床主軸的平衡性、撞擊和刀具壽命管理等有很大的參考價值。