宋艷東 胡海東 秦 嶺 范 普

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

1 混合結(jié)構(gòu)柔性臂建模

1.1 假設(shè)模態(tài)法描述柔性形變

本文中，將所有連桿均視為Euler-Bernoulli 梁。根據(jù)假設(shè)模態(tài)法[1]，柔性偏差可表示為：

其中，φ (x)為模態(tài)函數(shù)，q(t)為模態(tài)坐標(biāo)。

由于混合結(jié)構(gòu)柔性臂由兩節(jié)連桿嵌套組成，因此將連桿分為固定段、重疊段和延伸段建立坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 混合結(jié)構(gòu)柔性臂坐標(biāo)系模型

由于混合結(jié)構(gòu)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)模型比較復(fù)雜且耦合程度高，因此本文將系統(tǒng)狀態(tài)變量分為剛性結(jié)構(gòu)變量u0和柔性結(jié)構(gòu)變量u2[2]。其表達(dá)式分別為：

1.2 剛性結(jié)構(gòu)部分建模

由剛體拉格朗日平衡方程[3]，可推導(dǎo)混合結(jié)構(gòu)柔性機(jī)械臂剛性結(jié)構(gòu)部分動(dòng)力學(xué)方程為：

1.3 柔性結(jié)構(gòu)部分建模

當(dāng)考慮混合結(jié)構(gòu)柔性機(jī)械臂的撓曲變形時(shí)，連桿上任意一點(diǎn)p 的位置矢量表示為：

其中，Pi為該點(diǎn)所在參考坐標(biāo)系原點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置向量；Ai為該點(diǎn)所在參考系坐標(biāo)系到基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；ηi表示該點(diǎn)的柔性偏差。

由于 Δθ1, Δθ2為微小的柔性偏差角度，所以忽略二階及以上的項(xiàng)，則p 點(diǎn)速度表達(dá)式為：

則系統(tǒng)動(dòng)能表示為：

對(duì)于p 點(diǎn)的勢(shì)能，依據(jù)動(dòng)能計(jì)算方法，可表示為：

采用拉格朗日方程[4]，

將式(6)和(8)代入式(9)，即可得柔性偏差部分動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，F(xiàn)=［f1f 200 0］T?對(duì)于上式，參數(shù)H,B,G,K都是關(guān)于剛性關(guān)節(jié)變量 θ1和k的函數(shù)，則方程(10)可視為一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)。

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

混合結(jié)構(gòu)柔性臂軌跡跟蹤控制器的總體設(shè)計(jì)思路為給定參考軌跡，將滑?？刂破骺刂屏?，輸入到剛性結(jié)構(gòu)部分動(dòng)力學(xué)模型中得到剛性關(guān)節(jié)變量的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后將實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與參考軌跡的偏差反饋至滑?？刂破髦行纬砷]環(huán)控制鏈。將剛性關(guān)節(jié)變量輸入到柔性結(jié)構(gòu)部分線性動(dòng)力學(xué)方程中進(jìn)行求解，即可得到柔性結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量的變化情況。

2.1 滑模控制器的設(shè)計(jì)

定義Lyapunov 函數(shù)

則

設(shè)計(jì)控制律為

于是

令

2.2 通過(guò)BLF 方法對(duì)部分輸出變量施加約束

定義輸出偏差為

定義Barrier Lyapunov 函數(shù)

則

設(shè)計(jì)穩(wěn)定函數(shù)

(2)定義Lyapunov 函數(shù)

對(duì)時(shí)間T 求導(dǎo)并結(jié)合式(10)、(20)，有：

3 仿真結(jié)果

兩關(guān)節(jié)變量初始狀態(tài)為：θ1=0.06rad,k=0.02m，仿真時(shí)長(zhǎng)為6s。仿真結(jié)果如圖2 所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與伸縮關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與力矩變化示意圖

圖3 柔性角度偏差 Δ Δ、模態(tài)變量q2 及末端隨時(shí)間的變化

4 結(jié)論

本文針對(duì)混合結(jié)構(gòu)柔性臂的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將系統(tǒng)分為固定段、重疊段、延伸段，并將系統(tǒng)分解為剛性部分和柔性部分分別進(jìn)行建模。設(shè)計(jì)滑?？刂破鲗?duì)剛性關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行跟蹤，并針對(duì)控制過(guò)程中出現(xiàn)柔性偏差角度變大的問(wèn)題，采用Barrier Lyapunov 函數(shù)結(jié)合反演的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)柔性偏差角度的輸出約束。