2021年高考數(shù)學全國甲卷(理)第9題的多角度破解及拓展

?湖北省武漢市常青第一中學 諶述濤

1 引言

三角函數(shù)式的化簡與求值問題一直是高考數(shù)學命題的一個基本題型，考查形式各樣，背景設置多變，有時單獨設置問題考查，有時交匯融合其他知識輔助考查，有時作為基本過程合理過渡等，?？汲Ｐ?，可以很好考查數(shù)學抽象、邏輯推理、代數(shù)運算等方面的數(shù)學能力與核心素養(yǎng)等．

2 真題呈現(xiàn)

3 真題剖析

該題條件簡單，短小精悍，難度適中，以三角函數(shù)中單角、倍角的三角函數(shù)式來設置條件，求解單角的正切值，綜合考查三角恒等變換、同角三角函數(shù)基本關系式等相關知識．

正確進行三角函數(shù)求值的關鍵就是化同角，巧變換，妙求值．具體破解時，可以從條件中的三角關系式入手，或三角恒等變換處理，通技通法；或三角函數(shù)定義處理，回歸本源；或數(shù)形結(jié)合處理，解幾直觀等．結(jié)合不同的思維視角與方法來處理與求值，很好地考查考生對三角函數(shù)綜合知識的理解與掌握程度，更深層次上強化思維的靈活性、多樣性、拓展性等．

4 真題破解

方法1：通技通法思維——三角恒等變換法.

點評:常規(guī)思維中，將已知等式左邊“化切為弦”，利用二倍角公式“化同名”，得以求解sinα的值，進一步利用三角函數(shù)中的平方關系求得cosα的值，最后由三角函數(shù)中的商數(shù)關系即可得tanα的值．利用三角恒等變換法處理三角函數(shù)中的求值問題，是破解此類問題的通技通法，注意三角函數(shù)公式的巧妙轉(zhuǎn)化與應用．

方法2：回歸定義思維——三角函數(shù)定義法.

點評:結(jié)合三角函數(shù)的定義，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)x，y，r之間的關系式，通過二倍角公式轉(zhuǎn)化原來的三角關系式，結(jié)合三角函數(shù)定義代入，并對參數(shù)進行變形與化簡，建立對應參數(shù)之間的關系，進而利用定義確定對應的正切值．利用三角函數(shù)定義思維來破解三角函數(shù)的求值問題，回歸問題本質(zhì)，也是破解三角函數(shù)求值中比較常見的一類技巧策略．

方法3：數(shù)形結(jié)合思維——解析幾何法.

圖1

解析：如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，A(0，2)，點P(cosα，sinα)在單位圓x2+y2=1上，點B在直線AP上，從而∠POx=α，設∠BOx=2α.

所以∠POx=∠BOP=α，∠OAB=∠BOx=2α，∠OPA=90°-α.

在△AOP中，|OB|=|OA|sin2α=|OP|sin(90°-α)，則有2sin2α=sin(90°-α).

整理可得4sinαcosα=cosα.

點評:數(shù)形結(jié)合思維中，抓住已知三角關系式的特征，建立平面直角坐標系，將已知的關系式轉(zhuǎn)化為兩直線的斜率之積為-1的關系，進而化“數(shù)”為“形”，借助兩直線的垂直，通過平面幾何的直觀形象，利用解直角三角形建立相應的關系式，得以確定sinα的值，進一步利用三角函數(shù)中的平方關系求得cosα的值，最后由三角函數(shù)中的商數(shù)關系即可得tanα的值．利用數(shù)形結(jié)合思維來直觀想象，是一種不錯的技巧方法，要求準確識破條件中三角關系式的特征，可以作為我們學習的一個拓展與延伸．

方法4：數(shù)形結(jié)合思維——平面幾何法.

圖2

解析：如圖2所示，點B，P在單位圓O上，且OA⊥OB，|OA|=2，∠POB=α.

四邊形OFPE為矩形，點C在直線AP上，且∠POC=∠POB=α.

則有|PE|=|OF|=cosα，|OE|=|PF|=sinα，可得|AE|=2-sinα.

而∠PAE=2α=∠COB，則知∠ACO=∠AEP=90°，且|OC|=|OF|=cosα.

點評:巧妙構(gòu)建對應的平面幾何圖形，利用幾何圖形中邊與角的關系，并結(jié)合解直角三角形加以合理轉(zhuǎn)化與應用．過程比較繁雜，巧妙構(gòu)建單角與雙角之間的聯(lián)系，以及對應的三角函數(shù)值之間的比值與轉(zhuǎn)化，數(shù)形直觀，邏輯推理．平面幾何圖形的變化多端，對于我們來說也是一個很好的拓展與延伸．

5 變式拓展

對于三角函數(shù)式的化簡或求值問題，在其他高考試卷中也有類似的真題，與以上問題剛好相反，通過單角的正切值，來求解涉及單角、雙角的三角函數(shù)式的值問題．

點評:對于該問題的破解，可以通過三角關系式的齊次化思維、統(tǒng)一思維、各個擊破思維以及三角函數(shù)定義思維等方式來處理，結(jié)合不同的思維方法來處理與求值，都可以達到破解的目的．

6 教學啟示

6.1 掌握通技通法，熟記基本公式

在進行三角函數(shù)式的化簡或求值時，一定要掌握最常見的三角恒等變換法，對三角函數(shù)式進行切化弦、化同名、化同角等常規(guī)處理，掌握破解問題的通技通法，前提條件就是熟練記憶三角函數(shù)中的一些基本公式，方便靈活應用，巧妙變換．在實際教學過程中，要督促學生對基本公式的理解與記憶．

6.2 回歸定義本源，類比幾何本質(zhì)

三角函數(shù)問題是建立在三角函數(shù)定義的基礎上，往往回歸三角函數(shù)的定義本源，問題也可以得以很好處理；同時三角函數(shù)更是初中平面幾何基礎上的拓展與延伸，離不開幾何本質(zhì)與圖形特征．在實際教學過程中，要適當滲透三角函數(shù)定義的本源回歸，以及平面幾何本質(zhì)的數(shù)形結(jié)合與直觀應用．Z