?安徽省亳州市蒙城縣第二中學 王 浩

1 引言

高中數(shù)學課本中有許多重要的數(shù)學公式及定理，課本中往往只給出基本形式及其證明，但在很多情況下，我們還會運用它們的推廣形式，即需要將它們由特殊形式推廣到一般形式.例如指數(shù)運算法則，對數(shù)運算法則，復數(shù)中的棣莫佛定理，二項式定理,等等.但這些定理一般形式的證明往往較抽象、復雜，通常我們只給出其一般形式，很少給出證明.筆者將運用數(shù)學歸納法來探究這些常用定理的推廣.

2 數(shù)學歸納法的應用

2.1 對數(shù)運算法則推廣的證明

對于對數(shù)運算法則，課本中是這樣寫的：

兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)對數(shù)的和.

若a>0,且a≠1,N1>0,N2>0,

那么 loga(N1N2)=logaN1+logaN2.

此性質可推廣為：

loga(N1N2·…·Nn)=logaN1+logaN2+…+logaNn.

即n個正數(shù)的積的對數(shù)等于這n個正數(shù)對數(shù)的和.

怎樣證明這個推廣，當時沒有說，現(xiàn)在我們可以用數(shù)學歸納法進行嚴格證明.

證明：(1)當n=2時，等式成立.

(2)假設當n=k(k≥2，k∈N)時，等式成立，即

loga(N1N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,

當n=k+1 時，

loga(N1N2·…·NkNk+1)

=logaN1+logaN2+…+loga(NkNk+1)

=logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1,

所以，當n=k+1時，等式也成立.

由(1)(2)可知，對?n≥2(n∈N*)等式都成立.

2.2 復數(shù)棣莫佛定理的證明

關于復數(shù)三角形式的乘法與乘方，兩個復數(shù)相乘，積還是一個復數(shù)，模等于各復數(shù)的模的積，它的輻角等于各復數(shù)輻角的和.

若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),那么

z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

上面定理也可推廣到n個復數(shù)相乘的情況，

z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)

+isin(θ1+θ2+…+θn)].

這一推廣也可以用數(shù)學歸納法證明如下：

證明：(1)當n=2時，等式成立.

(2)假設n=k(k≥2,k∈N*)時，等式成立，

當n=k+1時，

z1z2…zkzk+1

=z1z2…zk-1(zkzk+1)

=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rk-1(cosθk-1+isinθk-1)·rkrk+1[cos(θk+θk+1)+isin(θk+θk+1)]

=r1r2…rkrk+1[cos(θ1+θ2+…+θk+θk+1)+isin(θ1+θ2+…+θk+θk+1)],

所以,當n=k+1時，等式也成立.

由(1)(2)可知，對?n≥2(n∈N*)等式都成立.

特別地，如果r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ時，就有

zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).

這就是復數(shù)乘方公式，通常稱作棣莫佛定理.

2.3 均值不等式推廣的證明

在不等式中，已經學習了均值不等式，即兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，它們的幾何平均數(shù)又不小于它們的調和平均數(shù).

將上式推廣，對于n個正數(shù)也有相應的平均數(shù)的概念及關系.

如果a1,a2,…,an是n個正數(shù)，那么

證明：下面先用數(shù)學歸納法證明

①

不妨設0

當a1=an即a1=a2=…=an時，上式成立；

當a1

(1)當n=1時，不等式成立；

(2)假設n=k時不等式成立，即

又因為

所以

當n=k+1時,

兩邊都乘k+1次方，應用二項式定理，可得

這就是說

所以

由(1)(2)可知，對?n∈N*式①都成立.

上述證明還說明了當且僅當a1=a2=…=an時，①式中等號才成立.

下面再證：

②

證明：因為a1,a2,…,an都是正數(shù)，由①式得：

所以

綜合①②式就證得原不等式.

3 結束語

通過知識的拓展，提升學生邏輯思維及推理能力，數(shù)學歸納法作為演繹推理的一種，培養(yǎng)學生邏輯地思考問題，在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯(lián)，讓學生感受數(shù)學推理的嚴謹和理性精神，也讓學生體會數(shù)學推理與證明的獨特魅力.Z