矩陣相似對(duì)角化教學(xué)設(shè)計(jì)

王北平

摘要：本文通過對(duì)傳染病傳播的預(yù)測，引入矩陣相似對(duì)角化的概念，進(jìn)一步討論相似對(duì)角化的方法，最后利用矩陣相似對(duì)角化的知識(shí)來對(duì)傳染病的傳播做預(yù)測。

關(guān)鍵詞：矩陣;相似對(duì)角化;特征值;特征向量

引言

線性代數(shù)是高等院校開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課程，這門課具有較強(qiáng)的理論性、抽象性和邏輯性。在現(xiàn)代社會(huì)，除了算術(shù)以外，線性代數(shù)是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科。但在線性代數(shù)的教學(xué)中，存在的一個(gè)很大的問題就是實(shí)際應(yīng)用太少，學(xué)生學(xué)習(xí)起來初步感受就是概念多，推理論證多，后期不免會(huì)出現(xiàn)枯燥、乏味、學(xué)習(xí)興趣不高等現(xiàn)象。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生對(duì)這門學(xué)科產(chǎn)生濃厚的興趣，在教學(xué)中，教師需要結(jié)合理論知識(shí)講一些實(shí)際應(yīng)用，通過解決實(shí)際問題，使學(xué)生更好地理解與掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。本文介紹矩陣相似對(duì)角化在教學(xué)過程中的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用。

一、問題引入

2020年春節(jié)期間一場突如其來的疫情席卷全球—新冠肺炎，各國都進(jìn)入了緊張的防疫階段。值得驕傲的是中國在習(xí)近平總書記的帶領(lǐng)下，在全國人民的共同努力下疫情得到了基本控制，通過此次疫情，相信全世界都感受到了中國的強(qiáng)大，并且都為自己是一個(gè)中國人而感到驕傲和自豪。下面我們來看一下類似這樣的傳染病是怎樣傳播的，我們又是如何對(duì)其進(jìn)行預(yù)測的？

假設(shè)發(fā)現(xiàn)疫情初始有10%的人感染，若每天有20%的健康者被感染，30%的患者被治愈，則3個(gè)月后健康者與患病者所占的比例各是多少？（暫不考慮出生率和死亡率）

分析：根據(jù)題意，設(shè)第0天（即初始）健康者與患者的占比分別為，且 ;第1天健康者與患者的占比分別為，寫成矩陣形式為;第2天健康者與患者的占比為，寫成矩陣形式為，進(jìn)而得;以此類推，第天健康者與患者的占比為，得到.

此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為如何求矩陣方冪的問題，我們知道對(duì)于一個(gè)對(duì)角矩陣，它的方冪是很容易計(jì)算的，因此我們給出矩陣對(duì)角化的定義.

二、理論構(gòu)建

定義 設(shè)為階方陣 ， 若存在可逆矩陣使，則稱矩陣使是的相似矩陣，或說矩陣與相似. 對(duì)進(jìn)行的運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.

三、應(yīng)用及推廣

當(dāng)然對(duì)于生活中比較嚴(yán)重且大規(guī)模長時(shí)間的傳染病，我們不僅要考慮每天患病者和健康者的死亡率而且還要考慮到每天健康者的的出生率，因此對(duì)于引例我們有以下兩個(gè)思考。

思考1：每天患病者的死亡率為30%，求傳染病的發(fā)展趨勢？

通過計(jì)算此種情況下，即說明經(jīng)過足夠長的時(shí)間健康者與患病者所占比例都趨于零。

思考2：每天健康者的出生率為25%，健康者的死亡率分別為5%和10%，求傳染病的發(fā)展趨勢？

通過計(jì)算此種情況下，即說明經(jīng)過足夠長的時(shí)間健康者與患病者所占比例將趨于無窮，所以必須及時(shí)采取有效的防疫措施。

四、小結(jié)

本次課我們設(shè)計(jì)了一個(gè)生活實(shí)例，使學(xué)生比較直觀的了解該課程的實(shí)用性，且能大大提高學(xué)生在今后學(xué)習(xí)中的積極性。在教與學(xué)的活動(dòng)中，讓學(xué)生體會(huì)理論與實(shí)際問題的差別，層層推進(jìn)，即加深對(duì)理論的理解，同時(shí)也應(yīng)用理論指導(dǎo)實(shí)踐，以更好地解決實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 王小俠，李燦，王文成. 線性代數(shù)應(yīng)用案例分析：第一版[M] ，科學(xué)出版社，2019.08