李星瑞，王澤蔭，石廣田

(1.蘭州交通大學(xué)，甘肅 蘭州 730070;2.甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001;3.蘭州交通大學(xué)，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

機(jī)械制圖是一門機(jī)械類的專業(yè)基礎(chǔ)課，它是一門既有理論又有實(shí)踐的技術(shù)基礎(chǔ)課，也 是理工科類課程的基礎(chǔ)[1-2]。圖紙是機(jī)械設(shè)計(jì)、制造以及加工的“流通語言”，技術(shù)員通過圖紙實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)理念，技術(shù)工人根據(jù)圖紙加工合格零件，而《機(jī)械制圖》這門課程主要培養(yǎng)的就是技術(shù)人員的讀圖、畫圖，以及所需要的空間想象能力[3-4]。而在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，許多版本的幾何作圖教材中對“已知兩端圓弧用第三段圓弧進(jìn)行相切連接”處的條件描述不夠詳細(xì)，導(dǎo)致作圖時會產(chǎn)生異議甚至無法按照要求完成作圖。筆者采用數(shù)學(xué)分析方法，結(jié)合幾何作圖，以教材中出現(xiàn)的三種圓弧連接為研究對象，分析并舉例在繪制過程中存在的問題，得到在任意情況下完成繪制圓弧連接時已知兩圓弧的半徑、圓心間距離，所繪圓弧半徑之間的關(guān)系限定，從而準(zhǔn)確完成所有圓弧連接的繪制工作。

1 圓弧連接形式及作圖方法

用已知半徑的圓弧相切連接已知圓心位置和半徑的兩圓(或兩圓弧)，有三種連接形式：外連接、內(nèi)連接、內(nèi)外連接，連接形式如圖1所示，在圖1中，AB段圓弧為已知半徑的圓弧，O1和O2為已知圓心位置和半徑的兩圓。

圖1 圓弧連接的形式

在《機(jī)械制圖》教材中，對于上述圓弧連接的幾何作圖方法為：

(1)外連接圓?。悍謩e以O(shè)1、O2為圓心，以R+R1、R+R2為半徑畫弧，相交于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為連接弧的圓心，連接OO1、OO2，分別交兩圓于A、B兩點(diǎn)(為切點(diǎn))，再以O(shè)點(diǎn)為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

(2)內(nèi)連接圓?。悍謩e以O(shè)1、O2為圓心，以R-R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為連接弧的圓心，連接OO1、OO2并延長，分別交兩圓于A、B兩點(diǎn)(為切點(diǎn))，再以O(shè)點(diǎn)，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

(3)內(nèi)外連接圓弧：分別以O(shè)1、O2為圓心，以R+R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為連接弧的圓心，連接OO1,交圓弧與A點(diǎn)，連接OO2并延長，交圓弧與A點(diǎn)(A、B為切點(diǎn))，再以O(shè)點(diǎn)，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。該作圖方法所求圓弧與圓O1外接，與圓O2內(nèi)接[1-4]。

2 問題分析

在用上述方法進(jìn)行繪圖時，如果遇到某些特殊情況，將無法完成圓弧連接?，F(xiàn)分別對三種圓弧連接中存在的問題進(jìn)行舉例分析。

2.1 外連接圓弧

設(shè)R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，按照該已知條件繪圖，得到的結(jié)果如圖2所示，圖中半徑為R+R1、R+R2的兩圓弧沒有交點(diǎn)，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

圖2 兩圓弧不存在交點(diǎn)

2.2 內(nèi)連接圓弧

(1)設(shè)R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，則R-R1、R-R2均小于0，無法作圖。

(2)設(shè)R1=5，R2=8，R=12，O1O2=20，則得到的圖形如圖3所示，圖中半徑為R-R1、R-R2的兩圓弧沒有交點(diǎn)，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

2.3 內(nèi)外連接圓弧

(1)設(shè)R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，則R-R2小于0，無法作圖。

(2)設(shè)R1=5，R2=8，R=10，O1O2=20，則得到的圖形如圖4所示，圖中半徑為R+R1、R-R2的兩圓弧沒有交點(diǎn)，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

圖4 兩圓弧不存在交點(diǎn)

經(jīng)過上述案例分析得知，在有些情況下，無法按照教材中的作圖方法完成圓弧連接，存在上述現(xiàn)象的原因是R1、R2、R和O1O2的取值沒有受到限定。

3 圓弧連接的幾何作圖法研究

3.1 外連接圓弧

假設(shè)R1、R2和O1O2的取值不變，只增加R的值，當(dāng)R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖5所示的特殊情形，圖5中的R=(O1O2-R1-R2)/2。

圖5 圓弧外連接的特殊情形

圖5所示的特殊情形可看作是圓O將圓O1和圓O2用外切的方式連接了起來，具體的作圖方法與教材中描述的并不一致。

將圖5中的R值繼續(xù)增大，使得R>(O1O2-R1-R2)/2，然后按照《機(jī)械制圖》教材中“外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖6所示的結(jié)果，圖6(a)是以O(shè)1、O2為圓心，以R+R1、R+R2為半徑畫弧，相交于O點(diǎn)，O點(diǎn)為連接弧的圓心；圖6(b)是連接OO1、OO2，分別交兩圓于A、B兩點(diǎn)(為切點(diǎn))；圖6(c)是以O(shè)點(diǎn)為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的外連接圓弧。

圖6 圓弧外連接幾何作圖方法

3.2 內(nèi)連接圓弧

將圖3中的R值增大，使得R>(O1O2+R1+R2)/2，然后按照《機(jī)械制圖》教材中“內(nèi)連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖7所示的結(jié)果，圖7(a)是以O(shè)1、O2為圓心，以R-R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點(diǎn)，O點(diǎn)為連接弧的圓心；圖7(b)是連接OO1、OO2并延長，分別交兩圓于A、B兩點(diǎn)(為切點(diǎn))；圖7(c)是以O(shè)點(diǎn)為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內(nèi)連接圓弧。

圖7 圓弧外連接幾何作圖方法

3.3 內(nèi)外連接圓弧

將圖4中的R值增大，使得R>(O1O2-R1+R2)/2，然后按照《機(jī)械制圖》教材中“內(nèi)外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖8所示的結(jié)果，圖8(a)是以O(shè)1、O2為圓心，以R+R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點(diǎn)，O點(diǎn)為連接弧的圓心；圖8(b)是連接OO1,交圓弧于A點(diǎn)，連接OO2并延長，交圓弧于B點(diǎn)(A、B為切點(diǎn))；圖8(c)是以O(shè)點(diǎn)為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內(nèi)連接圓弧。

圖8 圓弧外連接幾何作圖方法

在該作圖方法中，所求圓弧與圓O1是外連接，與圓O2是內(nèi)連接，如果要讓所求圓弧與圓O1是內(nèi)連接，與圓O2是外連接，則可將條件變?yōu)椋篟>(O1O2+R1-R2)/2，以O(shè)1、O2為圓心，以R-R1、R+R2為半徑畫弧求得連接弧的圓心O點(diǎn)。

4 結(jié) 論

采用數(shù)學(xué)分析方法，結(jié)合幾何作圖，以教材中出現(xiàn)的三種圓弧連接為研究對象進(jìn)行了分析，要在任意情況下完成圓弧連接的繪制，需對R1、R2、R和O1O2之間的關(guān)系進(jìn)行限定。

(1)外連接圓弧時的條件：R>0，且R≥(O1O2-R1-R2)/2。

(2)內(nèi)連接圓弧時的條件：R>R2，且R≥(O1O2+R1+R2)/2，R2為兩半徑中較大者。

(3)內(nèi)外連接圓弧時的條件：R>R2，且R≥(O1O2-R1+R2)/2，R2為兩半徑中較大者，此時所求圓弧與R1外接，與R2內(nèi)接。