陳貴東

本文探究用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立、構(gòu)造函數(shù)證明不等式等問題的解題策略，希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。

策略1：含參不等式恒成立問題中的“分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)法”

例1

解析：

感悟：若不等式恒成立問題中的參數(shù)可分離，則可采用分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解。即f（x，λ）≥0（xED）（λ是實(shí)參數(shù)）恒成立，將f（x，λ）≥0轉(zhuǎn)化為λ≥g（x）或≤g（x）（xED）恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為入≥g（x）max或λ≤g（x）mm（xED），用導(dǎo)數(shù)法求 g（x）的最值，對(duì)于復(fù)雜問題分離參數(shù)時(shí)需要分類討論。

策略2：依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建新函數(shù)求解恒成立問題

例2（2022屆皖豫名校聯(lián)盟體高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=2x+/—1的圖像與直線y=1相切。

（1）求實(shí)數(shù)a的值;

（2）若k<2，且f（x）≥kx—1恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值。

解析：

感悟：對(duì)于函數(shù)不等式恒成立或者有解求參的問題，常用變量分離或參變分離轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題;當(dāng)參數(shù)不易分離時(shí)，把握不等式的特征作差構(gòu)建新函數(shù)，再求新函數(shù)的最值，使得新函數(shù)的最值大于或者小于0探究出參數(shù)的范圍;或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)的條件構(gòu)建不等式求解。

策略3：把證明f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）min>g（x）max

例3（2022屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)f（x）=/，g（x）=Inx。

（1）當(dāng)a>0時(shí)，討論函數(shù)F（x）=af（x）-g（x）-1/2的單調(diào)性;

（2）當(dāng)a>1時(shí)，求證：axf（x）-g（ax）>（e-1）x+1。

解析：

感悟：有時(shí)候把證明f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）—g（x）>0后，可能會(huì)出現(xiàn)f（x）—g（x）的導(dǎo)函數(shù)很復(fù)雜，很難根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究f（x）—g（x）的最值，而f（x）的最小值及g（x）的最大值都比較容易求，可考慮利用證明f（x）min>g（x）max的方法證明原不等式，但要注意這種方法有局限性，因?yàn)閒（x）>g（x）未必有f（x）mn>g（x）max。

策略4：多變量不等式通過換元法減元構(gòu)造新函數(shù)求值域證明不等式

例4

解析：

感悟：對(duì)于多變量不等式問題，其一般的處理策略為消元或是把一個(gè)看作變量再探究其他常量或所選變量之間的關(guān)系，通過變形換元產(chǎn)生一個(gè)新變量的函數(shù)，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)確定新變量函數(shù)的值域，從而順利求解。

（責(zé)任編輯王福華）B8BA4E1B-13E7-4E67-8F90-51B88794A7F4