陳仿云 余其權(quán)

一、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，構(gòu)造函數(shù)

例1（2022屆深圳市實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）已知函數(shù)f（x）=1/2x2，g（x）=alnx。

解析：

評(píng)注：本題將變形為 x1-x2h（x1）—2x1>h（x2）—2x2，使不等式的兩邊結(jié)構(gòu)統(tǒng)一。設(shè)x1>x2，構(gòu)造函數(shù)F（x）=h（x）—2x，問題轉(zhuǎn)化為F（x）在（0，+00）上為增函數(shù)，則F'（x）≥0在（0，+o）上恒成立，參變分離得a≥（2x—x2）max，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

二、尋找關(guān)系，變量化一

例2（2022屆陽春市第一中學(xué)月考）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+2lnx（a為常數(shù)）。

（1）當(dāng)a≤4時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且|x1-x2|≤3/2，證明：1f（x1）-f（x2）|≤ 1/6-41n2。

解析：

評(píng)注：本題的關(guān)鍵點(diǎn)為利用函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)求得x1，x2的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求得|f（x1）-f（x2）|=f（x1）-f（x2），代入解析式替換掉x1后得到僅含有一個(gè)變量x2的解析式，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用單調(diào)性解決問題。

三、差的代換，變量化一

例3（2021屆湛江市高三第一次模擬）已知函數(shù)f（x）=e，g（x）=2ax+1。

（1）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值集合;

（2）若a>0，且方程f（x）—g（x）=0有兩個(gè)不同的根x1，x2，證明：+2< ln（2a）。

解析：

四、商的代換，變量化一

例4（2022屆皖西七校聯(lián)考）

（1）當(dāng)a=—2時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍;

（2）

解析：

評(píng)注：

總之，證明或求解雙變量函數(shù)或不等式的基本思想是將二元函數(shù)或不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或不等式，可以合理利用雙變量之間的關(guān)系直接代入消元，也可以分散雙變量后直接構(gòu)造函數(shù)，還可以變換不等式使兩個(gè)變?cè)蔀橐粋€(gè)整體即重組雙變量后換元成單變量的函數(shù)，掌握這些常用的方法，則這類函數(shù)問題就能迎刃而解。

（責(zé)任編輯王福華）6122E2CD-BCF3-4BEC-BBFD-EF58EDAB3679