羅偉

導(dǎo)數(shù)是高考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、探究函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題，命制的題目具有結(jié)果獨(dú)特、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法，如何合理地構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，下面舉例談?wù)剺?gòu)造函數(shù)的一些常用方法。

題型一、構(gòu)造可導(dǎo)的積的形式函數(shù)

例1

解析：

題型二、構(gòu)造可導(dǎo)的商的形式函數(shù)

例2

解析：

點(diǎn)評(píng)：

題型三、對(duì)局部進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)

例3

證明：

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一類不等式的證明或求參數(shù)問(wèn)題，若直接構(gòu)造函數(shù)無(wú)法解決，則我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）·g（x），其中f（x）與g（x）某一個(gè)函數(shù)可（）/）明顯判斷出與零的大小關(guān)系，則另外一個(gè)函數(shù)即為構(gòu)造對(duì)象，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，順利解決問(wèn)題。

題型四、先放縮再構(gòu)造函數(shù)

例4設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+?x+1+ax+b（a，bER，a，b為常數(shù)），曲線 y=f（x）與直線y=3/2x在點(diǎn)（0，0）處相切。

（1）求a，b的值;

（2）

解析：（1）a=0，b=—1。（過(guò)程略）

（2）

點(diǎn)評(píng)：若待求的函數(shù)式較為復(fù)雜時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、已成立的不等式等將函數(shù)式的一部分進(jìn)行放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)，這樣可以獲得事半功倍的效果。例如：要證f（x）g（x）→ f（x）>h（x）（新構(gòu)造的函數(shù)）>g（x）。

題型五、變形后再構(gòu)造函數(shù)

例5

解析：

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一類指數(shù)式的不等式，可以先對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使函數(shù)式得以化簡(jiǎn)，再構(gòu)造函數(shù);或者對(duì)主元的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行換元，將分式化為整式進(jìn)行換元，這樣可以簡(jiǎn)化構(gòu)造的函數(shù)。例如：本題如果直接構(gòu)造函數(shù)，極值點(diǎn)不能具體求x出，需要整體代換，過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，沒(méi)有上述方法簡(jiǎn)潔易行。

（責(zé)任編輯王福華）