類(lèi)比中的“真?zhèn)巍?/h1>
2022-05-23 04:46:24曲敏
數(shù)理化解題研究 2022年14期
曲 敏
(山東省高密市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué) 261500)
數(shù)學(xué)是離不開(kāi)推理的.義務(wù)教育階段要求注重學(xué)生思考的條理性，而不要注重推理的形式.從而可見(jiàn)，推理在數(shù)學(xué)中的重要地位.推理分為合情推理和演繹推理.從小學(xué)到中學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類(lèi)比、畫(huà)圖的活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，其中以歸納、類(lèi)比在數(shù)學(xué)推理中的地位比較重要.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace，1749-1827)說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類(lèi)比.”數(shù)學(xué)中的許多結(jié)論都是經(jīng)過(guò)歸納和類(lèi)比得到的.
1 類(lèi)比中的“偽”
有些同學(xué)雖然不知道12為什么是2，3，4的最小公倍數(shù)，但是他們知道12是2，3，4的公倍數(shù)，因?yàn)?2能被這三個(gè)數(shù)整除，并且12<24，那么24肯定不是這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，因此說(shuō)明了類(lèi)比求兩個(gè)自然數(shù)最小公倍數(shù)的方法求三個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是不一定正確的.由此學(xué)生意識(shí)到類(lèi)比得出的結(jié)論并不可靠.雖然學(xué)生因?yàn)樽约旱氖《械桨脨?，但是本人鼓?lì)學(xué)生不要?dú)怵H，這一失敗給學(xué)生提供了一次親身經(jīng)歷，類(lèi)比的結(jié)論不一定正確，一掃幾日本人也為此找不到解決方法的愁云.
在課上，本人把自己總結(jié)的求三個(gè)自然數(shù)最小公倍數(shù)的方法向?qū)W生做了介紹：先求出任意兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，然后再求這個(gè)最小公倍數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù).即先求2，3的最小公倍數(shù)6，再求6，4的最小公倍數(shù)12.或者先求2，4的最小公倍數(shù)4，再求4，3的最小公倍數(shù)也是12.雖然學(xué)生學(xué)會(huì)了本人總結(jié)的方法，但是本人覺(jué)得這個(gè)方法并不是一個(gè)好的方法.于是，課后本人又在百度上搜索了一下相關(guān)的問(wèn)題.有一個(gè)方法很不錯(cuò)，解法如圖1：
圖1 圖2
短除號(hào)左邊的2是2與4的公約數(shù)，短除號(hào)下面1，2分別是2，4除以公約數(shù)2得到的，3與公約數(shù)2無(wú)關(guān)，那么短除號(hào)下面的3是原封不動(dòng)的，橢圓中的三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，因此，2，3，4的最小公倍數(shù)是2×1×3×2=12.下面再用這個(gè)方法求8，12，15的最小公倍數(shù)如圖2.
第一個(gè)短除號(hào)左邊的數(shù)4是8，12的公因數(shù)，第一個(gè)短除號(hào)下面的2，3，15是4整除8，12，15的商，但是4不能整除15，那么15原封不動(dòng).第二個(gè)短除號(hào)左邊的數(shù)3是3，15的公因數(shù)，第二個(gè)短除號(hào)下面的數(shù)是3整除2，3，15的商，3不能整除2，那么2是原封不動(dòng)的.最后橢圓中的三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，所以8，12，15的最小公倍數(shù)是4×3×2×1×5=120.探究其實(shí)質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)是1時(shí)，如果它們的最小公倍數(shù)是這三個(gè)數(shù)的乘積，這個(gè)乘積中含有一些多余的因數(shù)，如8，12相乘后，乘積中含有42，而與4×3×2×1×5=120相比，顯然多出了因數(shù)4，那么根據(jù)這一方法分析還得知12與15相乘后，乘積中就多出了因數(shù)3，所以，這三個(gè)數(shù)的乘積“摻雜”了多余的因數(shù)，顯然“大”了.
課后反思時(shí)，本人再一次梳理了本節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)，分式的通分關(guān)鍵是確定公分母，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為最簡(jiǎn)公分母.類(lèi)比單項(xiàng)式，本人發(fā)現(xiàn)每一個(gè)數(shù)都可以看成是幾個(gè)因數(shù)的乘積，根據(jù)最簡(jiǎn)公分母取字母因式的最高次冪，求2，3，4的最小公倍數(shù)可以采用以下的方法進(jìn)行：2=1×2,3=1×3,4=22， 2，3，4的最小公倍數(shù)應(yīng)該是1×22×3=12，以上因數(shù)1可以省略，這種情況僅限于質(zhì)數(shù).如2，3看作一個(gè)字母的單項(xiàng)式，系數(shù)與次數(shù)皆可省略，因此它們直接看作為指數(shù)為1的冪即可.再如求8，12，18的最小公倍數(shù)，8=23，12=22×3，18=2×32，立刻能找出它們的最小公倍數(shù)為23×32=72.以上可以看出，求兩個(gè)以上自然數(shù)的最小公倍數(shù)可以把每個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因數(shù)相乘的形式，它們的最小公倍數(shù)是相同因數(shù)的最高次冪的積.對(duì)于有些數(shù)中不存在的因數(shù)，我們可以看作是n0(n為除1之外的任意自然數(shù)).短除法的缺點(diǎn)是求多個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，過(guò)程繁瑣，書(shū)寫(xiě)麻煩，多個(gè)自然數(shù)放在一起容易漏掉某兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，把自然數(shù)看作幾個(gè)因數(shù)乘積的方法是比較直觀簡(jiǎn)練的，適用于求多個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù).把自然數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因數(shù)的乘積時(shí)，可以按照因數(shù)的大小排列，無(wú)需按照次數(shù)的大小排列，這樣有利于查找?guī)讉€(gè)自然數(shù)中含有相同的公因數(shù)和不同的公因數(shù)，防止遺漏.
2 類(lèi)比中的“真”
以上是類(lèi)比中的“偽”，盡管“偽”中的結(jié)論是錯(cuò)誤的，但是它對(duì)新的解題思路形成是非常有幫助的.下面我從類(lèi)比中的“真”的角度，來(lái)說(shuō)明類(lèi)比得出的結(jié)論可以是正確的.
對(duì)于剛剛升入初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是在小學(xué)中形成的，學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)是困難的.例如，在學(xué)習(xí)相反數(shù)的時(shí)候，學(xué)生知道4與-4是一對(duì)相反數(shù)，學(xué)生無(wú)法判斷a和-a是一對(duì)相反數(shù).因?yàn)槌跻粚W(xué)生的思維特點(diǎn)是從具體到抽象，當(dāng)他的思維中存在大量的實(shí)例時(shí)，才能上升到抽象思維的層面上，盡管這種抽象思維還不成熟.在剛剛結(jié)束的期中考試中，有一道題要求把幾個(gè)有理數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上，錯(cuò)誤率最高的是 -(-3)，學(xué)生大都標(biāo)在數(shù)軸-3的位置上.課下找了幾個(gè)做錯(cuò)的同學(xué)座談，學(xué)生不知道這個(gè)數(shù)表示的是-3的相反數(shù)，也不知道它可以轉(zhuǎn)化為(-1)×(-3).在課余時(shí)間，我又把這兩種方法講給做錯(cuò)的學(xué)生，收效甚微，甚至是今天講完明天就忘了.當(dāng)我因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題一籌莫展的時(shí)候，一個(gè)學(xué)生的提示讓我眼前突然一亮.那是學(xué)習(xí)了《整式的加減》這一章中的《去括號(hào)》一節(jié)后，一個(gè)學(xué)生跑過(guò)來(lái)說(shuō)：“今天講的這個(gè)去括號(hào)，我覺(jué)得可以用在 -(-3)上，這個(gè)括號(hào)外面是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，-3變成了+3”.學(xué)生為了驗(yàn)證她說(shuō)的是正確的，還給我舉了一個(gè)多重符號(hào)的例子.學(xué)生寫(xiě)下“-{-[+(-2020)]} ”并分析這個(gè)多重符號(hào)的題應(yīng)從去小括號(hào)開(kāi)始，去掉小括號(hào)后是 -{-[-2020]}，去掉中括號(hào)后是 -{+2020}，去掉大括號(hào)后是-2020，聽(tīng)完學(xué)生的分析后，我給了她大大的一個(gè)贊，肯定了她的解題思路是正確的，我也從中發(fā)現(xiàn)了初一學(xué)生可以應(yīng)用類(lèi)比推理獲得解題思路.
有理數(shù)的運(yùn)算也可以通過(guò)類(lèi)比的方式找出與小學(xué)學(xué)過(guò)的計(jì)算的相同之處和不同之處，對(duì)于判斷有理數(shù)的運(yùn)算是否正確，是非常有幫助的.例如，小學(xué)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律——加法運(yùn)算律和乘法運(yùn)算律對(duì)有理數(shù)來(lái)說(shuō)依然成立，乘法對(duì)加法的分配律亦是如此；小學(xué)學(xué)過(guò)的減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，有理數(shù)同樣遵循；小學(xué)里學(xué)習(xí)了除法知道除數(shù)不能為零，分?jǐn)?shù)的分母不能為零，有理數(shù)也沒(méi)有改變這樣的規(guī)定；小學(xué)學(xué)習(xí)了除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，有理數(shù)的除法運(yùn)算也是按照此規(guī)則進(jìn)行的……如果說(shuō)課前導(dǎo)入在數(shù)學(xué)中起到至關(guān)重要的作用，那么經(jīng)過(guò)類(lèi)比挑選的實(shí)例就是課前導(dǎo)入的重頭戲.因此，一節(jié)課的成敗在于是否選擇好具有典型的實(shí)例，并且盡量覆蓋面大一些，學(xué)生在實(shí)例中總結(jié)歸納，可以得到近似正確的結(jié)論，盡管結(jié)論不是最完美的.
猜想的思維基礎(chǔ)的第一位就是邏輯思維，而類(lèi)比推理也是邏輯思維中的一份子.猜想作為創(chuàng)新思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，盡管會(huì)出現(xiàn)意想不到的錯(cuò)誤，甚至得出的結(jié)論會(huì)被否定，但是不能否定它是一個(gè)擺脫傳統(tǒng)思維模式束縛的有利途徑，同時(shí)告訴學(xué)生科學(xué)研究就是這樣的，總是在失敗中徘徊，甚至是從頭再來(lái).這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)地科研態(tài)度是至關(guān)重要的.
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曲 敏
(山東省高密市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué) 261500)
數(shù)學(xué)是離不開(kāi)推理的.義務(wù)教育階段要求注重學(xué)生思考的條理性，而不要注重推理的形式.從而可見(jiàn)，推理在數(shù)學(xué)中的重要地位.推理分為合情推理和演繹推理.從小學(xué)到中學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類(lèi)比、畫(huà)圖的活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，其中以歸納、類(lèi)比在數(shù)學(xué)推理中的地位比較重要.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace，1749-1827)說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類(lèi)比.”數(shù)學(xué)中的許多結(jié)論都是經(jīng)過(guò)歸納和類(lèi)比得到的.
1 類(lèi)比中的“偽”
有些同學(xué)雖然不知道12為什么是2，3，4的最小公倍數(shù)，但是他們知道12是2，3，4的公倍數(shù)，因?yàn)?2能被這三個(gè)數(shù)整除，并且12<24，那么24肯定不是這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，因此說(shuō)明了類(lèi)比求兩個(gè)自然數(shù)最小公倍數(shù)的方法求三個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是不一定正確的.由此學(xué)生意識(shí)到類(lèi)比得出的結(jié)論并不可靠.雖然學(xué)生因?yàn)樽约旱氖《械桨脨?，但是本人鼓?lì)學(xué)生不要?dú)怵H，這一失敗給學(xué)生提供了一次親身經(jīng)歷，類(lèi)比的結(jié)論不一定正確，一掃幾日本人也為此找不到解決方法的愁云.
在課上，本人把自己總結(jié)的求三個(gè)自然數(shù)最小公倍數(shù)的方法向?qū)W生做了介紹：先求出任意兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，然后再求這個(gè)最小公倍數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù).即先求2，3的最小公倍數(shù)6，再求6，4的最小公倍數(shù)12.或者先求2，4的最小公倍數(shù)4，再求4，3的最小公倍數(shù)也是12.雖然學(xué)生學(xué)會(huì)了本人總結(jié)的方法，但是本人覺(jué)得這個(gè)方法并不是一個(gè)好的方法.于是，課后本人又在百度上搜索了一下相關(guān)的問(wèn)題.有一個(gè)方法很不錯(cuò)，解法如圖1：
圖1 圖2
短除號(hào)左邊的2是2與4的公約數(shù)，短除號(hào)下面1，2分別是2，4除以公約數(shù)2得到的，3與公約數(shù)2無(wú)關(guān)，那么短除號(hào)下面的3是原封不動(dòng)的，橢圓中的三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，因此，2，3，4的最小公倍數(shù)是2×1×3×2=12.下面再用這個(gè)方法求8，12，15的最小公倍數(shù)如圖2.
第一個(gè)短除號(hào)左邊的數(shù)4是8，12的公因數(shù)，第一個(gè)短除號(hào)下面的2，3，15是4整除8，12，15的商，但是4不能整除15，那么15原封不動(dòng).第二個(gè)短除號(hào)左邊的數(shù)3是3，15的公因數(shù)，第二個(gè)短除號(hào)下面的數(shù)是3整除2，3，15的商，3不能整除2，那么2是原封不動(dòng)的.最后橢圓中的三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，所以8，12，15的最小公倍數(shù)是4×3×2×1×5=120.探究其實(shí)質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)是1時(shí)，如果它們的最小公倍數(shù)是這三個(gè)數(shù)的乘積，這個(gè)乘積中含有一些多余的因數(shù)，如8，12相乘后，乘積中含有42，而與4×3×2×1×5=120相比，顯然多出了因數(shù)4，那么根據(jù)這一方法分析還得知12與15相乘后，乘積中就多出了因數(shù)3，所以，這三個(gè)數(shù)的乘積“摻雜”了多余的因數(shù)，顯然“大”了.
課后反思時(shí)，本人再一次梳理了本節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)，分式的通分關(guān)鍵是確定公分母，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為最簡(jiǎn)公分母.類(lèi)比單項(xiàng)式，本人發(fā)現(xiàn)每一個(gè)數(shù)都可以看成是幾個(gè)因數(shù)的乘積，根據(jù)最簡(jiǎn)公分母取字母因式的最高次冪，求2，3，4的最小公倍數(shù)可以采用以下的方法進(jìn)行：2=1×2,3=1×3,4=22， 2，3，4的最小公倍數(shù)應(yīng)該是1×22×3=12，以上因數(shù)1可以省略，這種情況僅限于質(zhì)數(shù).如2，3看作一個(gè)字母的單項(xiàng)式，系數(shù)與次數(shù)皆可省略，因此它們直接看作為指數(shù)為1的冪即可.再如求8，12，18的最小公倍數(shù)，8=23，12=22×3，18=2×32，立刻能找出它們的最小公倍數(shù)為23×32=72.以上可以看出，求兩個(gè)以上自然數(shù)的最小公倍數(shù)可以把每個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因數(shù)相乘的形式，它們的最小公倍數(shù)是相同因數(shù)的最高次冪的積.對(duì)于有些數(shù)中不存在的因數(shù)，我們可以看作是n0(n為除1之外的任意自然數(shù)).短除法的缺點(diǎn)是求多個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，過(guò)程繁瑣，書(shū)寫(xiě)麻煩，多個(gè)自然數(shù)放在一起容易漏掉某兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，把自然數(shù)看作幾個(gè)因數(shù)乘積的方法是比較直觀簡(jiǎn)練的，適用于求多個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù).把自然數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因數(shù)的乘積時(shí)，可以按照因數(shù)的大小排列，無(wú)需按照次數(shù)的大小排列，這樣有利于查找?guī)讉€(gè)自然數(shù)中含有相同的公因數(shù)和不同的公因數(shù)，防止遺漏.
2 類(lèi)比中的“真”
以上是類(lèi)比中的“偽”，盡管“偽”中的結(jié)論是錯(cuò)誤的，但是它對(duì)新的解題思路形成是非常有幫助的.下面我從類(lèi)比中的“真”的角度，來(lái)說(shuō)明類(lèi)比得出的結(jié)論可以是正確的.
對(duì)于剛剛升入初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是在小學(xué)中形成的，學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)是困難的.例如，在學(xué)習(xí)相反數(shù)的時(shí)候，學(xué)生知道4與-4是一對(duì)相反數(shù)，學(xué)生無(wú)法判斷a和-a是一對(duì)相反數(shù).因?yàn)槌跻粚W(xué)生的思維特點(diǎn)是從具體到抽象，當(dāng)他的思維中存在大量的實(shí)例時(shí)，才能上升到抽象思維的層面上，盡管這種抽象思維還不成熟.在剛剛結(jié)束的期中考試中，有一道題要求把幾個(gè)有理數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上，錯(cuò)誤率最高的是 -(-3)，學(xué)生大都標(biāo)在數(shù)軸-3的位置上.課下找了幾個(gè)做錯(cuò)的同學(xué)座談，學(xué)生不知道這個(gè)數(shù)表示的是-3的相反數(shù)，也不知道它可以轉(zhuǎn)化為(-1)×(-3).在課余時(shí)間，我又把這兩種方法講給做錯(cuò)的學(xué)生，收效甚微，甚至是今天講完明天就忘了.當(dāng)我因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題一籌莫展的時(shí)候，一個(gè)學(xué)生的提示讓我眼前突然一亮.那是學(xué)習(xí)了《整式的加減》這一章中的《去括號(hào)》一節(jié)后，一個(gè)學(xué)生跑過(guò)來(lái)說(shuō)：“今天講的這個(gè)去括號(hào)，我覺(jué)得可以用在 -(-3)上，這個(gè)括號(hào)外面是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，-3變成了+3”.學(xué)生為了驗(yàn)證她說(shuō)的是正確的，還給我舉了一個(gè)多重符號(hào)的例子.學(xué)生寫(xiě)下“-{-[+(-2020)]} ”并分析這個(gè)多重符號(hào)的題應(yīng)從去小括號(hào)開(kāi)始，去掉小括號(hào)后是 -{-[-2020]}，去掉中括號(hào)后是 -{+2020}，去掉大括號(hào)后是-2020，聽(tīng)完學(xué)生的分析后，我給了她大大的一個(gè)贊，肯定了她的解題思路是正確的，我也從中發(fā)現(xiàn)了初一學(xué)生可以應(yīng)用類(lèi)比推理獲得解題思路.
有理數(shù)的運(yùn)算也可以通過(guò)類(lèi)比的方式找出與小學(xué)學(xué)過(guò)的計(jì)算的相同之處和不同之處，對(duì)于判斷有理數(shù)的運(yùn)算是否正確，是非常有幫助的.例如，小學(xué)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律——加法運(yùn)算律和乘法運(yùn)算律對(duì)有理數(shù)來(lái)說(shuō)依然成立，乘法對(duì)加法的分配律亦是如此；小學(xué)學(xué)過(guò)的減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，有理數(shù)同樣遵循；小學(xué)里學(xué)習(xí)了除法知道除數(shù)不能為零，分?jǐn)?shù)的分母不能為零，有理數(shù)也沒(méi)有改變這樣的規(guī)定；小學(xué)學(xué)習(xí)了除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，有理數(shù)的除法運(yùn)算也是按照此規(guī)則進(jìn)行的……如果說(shuō)課前導(dǎo)入在數(shù)學(xué)中起到至關(guān)重要的作用，那么經(jīng)過(guò)類(lèi)比挑選的實(shí)例就是課前導(dǎo)入的重頭戲.因此，一節(jié)課的成敗在于是否選擇好具有典型的實(shí)例，并且盡量覆蓋面大一些，學(xué)生在實(shí)例中總結(jié)歸納，可以得到近似正確的結(jié)論，盡管結(jié)論不是最完美的.
猜想的思維基礎(chǔ)的第一位就是邏輯思維，而類(lèi)比推理也是邏輯思維中的一份子.猜想作為創(chuàng)新思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，盡管會(huì)出現(xiàn)意想不到的錯(cuò)誤，甚至得出的結(jié)論會(huì)被否定，但是不能否定它是一個(gè)擺脫傳統(tǒng)思維模式束縛的有利途徑，同時(shí)告訴學(xué)生科學(xué)研究就是這樣的，總是在失敗中徘徊，甚至是從頭再來(lái).這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)地科研態(tài)度是至關(guān)重要的.
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