李 鋒，王 騰，湯寶平，田大慶*

(1.四川大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065；2.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用廣泛且容易損壞的零部件，對(duì)其進(jìn)行有效的故障診斷有助于預(yù)防設(shè)備事故發(fā)生。滾動(dòng)軸承長(zhǎng)期在變工況條件（如不同轉(zhuǎn)速、不同負(fù)載等）下工作，一方面，這些變工況條件不但對(duì)滾動(dòng)軸承的性能、可靠性有著巨大的影響，同時(shí)導(dǎo)致軸承新工況（當(dāng)前實(shí)時(shí)的運(yùn)行工況，即目標(biāo)域）樣本的類(lèi)標(biāo)簽很難甚至無(wú)法獲?。涣硪环矫?，正是軸承工況的多變性，造成歷史工況下（輔助域）的有標(biāo)簽樣本往往是富余的，而變工況又使得歷史工況樣本與新工況樣本的概率分布（包括邊緣概率分布和條件概率分布）存在差異。因此，僅利用歷史工況下的有標(biāo)簽樣本對(duì)滾動(dòng)軸承的新工況待測(cè)樣本進(jìn)行故障診斷有重要的實(shí)際意義，但也有較大的挑戰(zhàn)性。

近年來(lái)，一些學(xué)者通過(guò)支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）、最近鄰分類(lèi)器（nearest neighbor classifier，NNC）、自適應(yīng)增強(qiáng)（adaptive boosting，AdaBoost）等傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)變工況條件下的滾動(dòng)軸承故障診斷做了一定研究，但都是基于歷史工況樣本和新工況樣本分布一致性的假設(shè)，因此，在變工況條件下的泛化能力較差。遷移學(xué)習(xí)的主要思想是通過(guò)將輔助域中的知識(shí)遷移到目標(biāo)域，來(lái)解決目標(biāo)域中類(lèi)標(biāo)簽樣本匱乏下的分類(lèi)問(wèn)題。該方法可以縮小因變工況、不同測(cè)試環(huán)境等因素引起的數(shù)據(jù)概率分布差異，并且能夠少依賴(lài)甚至不依賴(lài)新工況下的故障類(lèi)標(biāo)簽，為變工況條件下的滾動(dòng)軸承故障診斷提供了全新解決方式。現(xiàn)有的遷移學(xué)習(xí)方法主要有實(shí)例重加權(quán)法和特征表示法兩種類(lèi)型，本文研究的是特征表示法這一類(lèi)遷移學(xué)習(xí)方法?，F(xiàn)階段，基于特征表示的遷移學(xué)習(xí)在變工況下滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用已經(jīng)有了一些進(jìn)展，如：康守強(qiáng)等將遷移成分分析方法（transfer component analysis，TCA）用于變工況下滾動(dòng)軸承故障診斷；Xue等采用了一種基于混合熵特征和聯(lián)合分布適配（joint distribution adaptation，JDA）相結(jié)合的方法進(jìn)行變工況下滾動(dòng)軸承故障模式識(shí)別；Zhang 等采用增強(qiáng)遷移聯(lián)合匹配（enhanced transfer joint matching，Enhanced TJM）進(jìn)行變工況下滾動(dòng)軸承故障診斷。但上述基于特征表示的軸承故障診斷方法主要從以數(shù)據(jù)分布為中心的角度出發(fā)，旨在通過(guò)最小化公共子空間中輔助域樣本與目標(biāo)域樣本之間的分布差異來(lái)進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)，而樣本中的子空間結(jié)構(gòu)和局部幾何結(jié)構(gòu)信息往往會(huì)被忽略。

Razzaghi等提出的低秩和判別重構(gòu)矩陣遷移子空間學(xué)習(xí)（transfer subspace learning via low-rank and discriminative reconstruction matrix，TSLLRDRM）從以結(jié)構(gòu)為中心的角度出發(fā)，側(cè)重尋求一個(gè)公共子空間，使得輔助域樣本和目標(biāo)域樣本可以很好地對(duì)齊。該方法雖然重視樣本中子空間結(jié)構(gòu)和局部幾何結(jié)構(gòu)信息，但忽略了兩域樣本的分布差異。本文對(duì)TSLLRDRM進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新型無(wú)監(jiān)督遷移學(xué)習(xí)方法——類(lèi)間排斥松弛判別遷移學(xué)習(xí)（inter-class repulsive slack discriminant transfer learning，IRSDTL）。在IRSDTL中，構(gòu)造一個(gè)非負(fù)擴(kuò)展松弛矩陣，將嚴(yán)格二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣轉(zhuǎn)化為擴(kuò)展松弛標(biāo)簽矩陣，從而增加輔助域中不同類(lèi)標(biāo)簽向量之間的距離；同時(shí)，使公共子空間維數(shù)不再局限于類(lèi)標(biāo)簽的數(shù)量，減少了原TSLLRDRM的輔助域分類(lèi)誤差，并提高了原TSLLRDRM的泛化能力。其次，在原TSLLRDRM基礎(chǔ)上，引入了聯(lián)合分布差異最小化兩域樣本分布差異，實(shí)現(xiàn)了以結(jié)構(gòu)為中心和以數(shù)據(jù)分布為中心兩種方法優(yōu)勢(shì)的結(jié)合，并提高了原TSLLRDRM的遷移性能。最后，構(gòu)造類(lèi)間排斥力項(xiàng)，以增加兩域中某類(lèi)標(biāo)簽子域樣本到其他類(lèi)標(biāo)簽子域樣本之間的距離，進(jìn)而在原TSLLRDRM基礎(chǔ)上提高了本方法對(duì)兩域樣本的類(lèi)判別學(xué)習(xí)能力。本文提出的IRSDTL能在新工況（目標(biāo)域）樣本的類(lèi)標(biāo)簽不存在的情況下，僅利用歷史工況（輔助域）中的有標(biāo)簽樣本對(duì)目標(biāo)域待測(cè)樣本進(jìn)行較高準(zhǔn)確率的故障診斷。

1 類(lèi)間排斥松弛判別遷移學(xué)習(xí)

在遷移學(xué)習(xí)的公共子空間中，一些潛在因素由于兩域樣本分布近似可被共享，因此，提出假設(shè)：在公共子空間中目標(biāo)域（t）樣本可由輔助域（s）樣本線性表示，即：

式中：

A

為映射矩陣，

A

∈R

，

m

為輸入樣本特征的維度，

d

為公共子空間的維度；

X

和

X

分別為輸入的目標(biāo)域和輔助域樣本集，

X

∈R

，

X

∈R

；

P

為重構(gòu)系數(shù)矩陣，

P

∈R

，

n

和

n

分別為輔助域和目標(biāo)域樣本的個(gè)數(shù)。由于滾動(dòng)軸承輔助域和目標(biāo)域樣本中都存在一定環(huán)境噪聲，故引入稀疏矩陣

E

來(lái)模擬這些噪聲，

E

∈R。于是，式（1）可進(jìn)一步表示為：

通過(guò)對(duì)重構(gòu)系數(shù)矩陣

P

施加低秩和稀疏約束，以保留樣本的全局子空間結(jié)構(gòu)和局部幾何結(jié)構(gòu)的信息，使兩域樣本在公共子空間具有相似的幾何性質(zhì)；并對(duì)噪聲矩陣

E

施加稀疏約束，以初步減輕噪聲帶來(lái)的影響。由于秩最小化問(wèn)題是非凸的，一般將秩約束問(wèn)題用核范數(shù)代替，則IRSDTL的初始目標(biāo)函數(shù)可表示為：

式中： ||·||表 示矩陣的核范數(shù)，用于代替低秩約束；λ和 β為權(quán)重參數(shù)，用于控制不同項(xiàng)的影響；| |·||表示矩陣的1范數(shù)，用于表示稀疏約束。

1.1 非負(fù)擴(kuò)展松弛矩陣

由于環(huán)境噪音干擾，在歷史工況（輔助域）下所提取的滾動(dòng)軸承狀態(tài)特征樣本往往存在交叉、混疊現(xiàn)象，造成樣本可區(qū)分性差。因此，構(gòu)造非負(fù)擴(kuò)展松弛矩陣來(lái)增大映射后輔助域不同類(lèi)別特征樣本間距離，增大滾動(dòng)軸承歷史工況下不同類(lèi)別樣本間的區(qū)分性，進(jìn)而減少輔助域分類(lèi)誤差。定義一個(gè)判別學(xué)習(xí)函數(shù) φ (

A

,

Y

,

X

)：

式中：

Y

為擴(kuò)展二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣，

Y

∈R，由已知的輔助域二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣

Y

擴(kuò)展而來(lái)，

Y

∈R（

C

為標(biāo)簽類(lèi)別的總數(shù)目），即在

Y

中所有的單個(gè)二進(jìn)制標(biāo)簽向量

y

后增加（

d

?

C

）個(gè) “0”，可得

Y

； α為正則化參數(shù)； | |·||表 示矩陣的F范數(shù)；

Y

+

B

⊙

K

為擴(kuò)展松弛標(biāo)簽矩陣。

Y

+

B

⊙

K

中， ⊙ 為Hadamard積算子；

K

為非負(fù)擴(kuò)展松弛矩陣，

K

∈R，

K

為

K

的元素，為極小的正數(shù)；

B

為矩陣，若

Y

=1， 則

B

=1， 若

Y

=0 ，則

B

=?1。在判別學(xué)習(xí)函數(shù) φ(

A

,

Y

,

X

)中，通過(guò)擴(kuò)展二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣使得公共子空間維度不再局限于標(biāo)簽類(lèi)別的數(shù)目，進(jìn)而使得降維維度從特殊到一般。在此基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步增加不同類(lèi)別樣本間的區(qū)分性，構(gòu)造非負(fù)擴(kuò)展松弛矩陣

K

，獲得的擴(kuò)展松弛標(biāo)簽矩陣

Y

+

B

⊙

K

中不同類(lèi)標(biāo)簽向量之間的距離大于原有擴(kuò)展二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣

Y

中不同類(lèi)標(biāo)簽向量之間的距離。將嚴(yán)格二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣轉(zhuǎn)化為擴(kuò)展松弛標(biāo)簽矩陣后，樣本更具區(qū)分性，降低了輔助域分類(lèi)誤差。聯(lián)合式（3）、（4），IRSDTL的目標(biāo)函數(shù)更新為：

1.2 聯(lián)合分布差異

由于滾動(dòng)軸承長(zhǎng)期在變工況條件下工作，這些變工況條件使得歷史工況下的樣本與新工況下的樣本的分布差異較大。為此，引入聯(lián)合分布差異來(lái)最小化輔助域和目標(biāo)域樣本分布差異，以更好地實(shí)現(xiàn)從輔助域向目標(biāo)域的跨域遷移。聯(lián)合分布差異由邊緣分布差異

D

(

D

,

D

)及 條件分布差異

D

(

D

,

D

)組成，表達(dá)式分別為：

式中：

D

表示輔助域；

D

表示目標(biāo)域；

D

表示輔助域第

c

類(lèi)樣本的子域；

D

表示目標(biāo)域第

c

類(lèi)樣本的子域；

n

表示輔助域第

c

類(lèi)樣本的數(shù)目；

n

表示目標(biāo)域第

c

類(lèi)樣本的數(shù)目；

x

和

x

分別表示輔助域和目標(biāo)域中任意一個(gè)樣本；

X

為目標(biāo)域和輔助域樣本組成的集合，

X

=[XsXt]∈Rm×n ；N0為邊緣分布的最大均值差異（maximum mean discrepancy，MMD）矩陣；

N

為第

c

類(lèi)樣本的條件分布的最大均值差異矩陣。

N

、

N

的計(jì)算式分別為：

聯(lián)立式（6）和（7），則可得聯(lián)合分布差異

Dist

，其表達(dá)式為：

式中， t r(·)表 示矩陣的跡，

C

表示樣本類(lèi)別的總數(shù)目。于是，可以通過(guò)最小化聯(lián)合分布差異

Dist

來(lái)減小兩域樣本的分布差異。將式（10）并入式（5），則IRSDTL的目標(biāo)函數(shù)更新為：

式中， σ為權(quán)重參數(shù)。

1.3 類(lèi)間排斥力項(xiàng)

雖然減小聯(lián)合分布差異能夠縮小輔助域和目標(biāo)域中滾動(dòng)軸承狀態(tài)特征樣本的分布差異，但由于在兩域中都存在環(huán)境噪聲干擾，因此兩域中所提取的滾動(dòng)軸承特征樣本都存在交叉、混疊現(xiàn)象，致使映射后兩域中不同類(lèi)標(biāo)簽子域樣本的判別性仍有不足。為此，構(gòu)造類(lèi)間排斥力項(xiàng)來(lái)增加滾動(dòng)軸承在兩域中某類(lèi)標(biāo)簽子域樣本到其他類(lèi)標(biāo)簽子域樣本之間的距離，進(jìn)一步提高對(duì)兩域樣本的類(lèi)判別學(xué)習(xí)能力。類(lèi)間排斥力項(xiàng)

M

表達(dá)式為：

式中，

M

、

M

、

M

、

M

分別表示 輔 助 域 樣 本 到 輔助域樣本、輔助域樣本到目標(biāo)域樣本、目標(biāo)域樣本到輔助域樣本和目標(biāo)域樣本到目標(biāo)域樣本的散布矩陣。以散布矩陣

M

和

M

為例，計(jì)算式分別為：

式中，

r

表示除第

c

類(lèi)外的其他類(lèi)別，

D

和

n

分別表示目標(biāo)域樣本中除第

c

類(lèi)外的其他類(lèi)別的樣本集及其數(shù)目。其余兩種散布矩陣

M

和

M

的計(jì)算式與式（13）和（14）類(lèi)似。通過(guò)兩域間的散布矩陣可以計(jì)算出不同類(lèi)標(biāo)簽子域樣本的距離，以散布矩陣

M

為例，可以通過(guò)式（15）得到輔助域中類(lèi)別為

c

的樣本到目標(biāo)域中其他類(lèi)別（除類(lèi)別

c

外）樣本的距離之和

D

：

D

、

D

和

D

的計(jì)算公式與式（15）類(lèi)似，分別可通過(guò)散布矩陣

M

、

M

、

M

計(jì)算得到。在式（12）和（15）的基礎(chǔ)上計(jì)算

D

、

D

、

D

和

D

之和，可推導(dǎo)出最大化類(lèi)間距離的表達(dá)式為：

將式（16）并入式（11）中，則IRSDTL的目標(biāo)函數(shù)更新為：

式中， σ為權(quán)重參數(shù)。

1.4 IRSDTL整體框架（IRSDTL參數(shù)）的優(yōu)化

由于式（17）是非凸的，通過(guò)添加兩個(gè)輔助變量

P

、

P

來(lái)放松原始問(wèn)題。則式（17）轉(zhuǎn)換為：

將式（18）借助增廣拉格朗日乘子法轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束問(wèn)題，如式（19）所示：

式中：

Y

、

Y

和

Y

均為拉格朗日乘子，

Y

∈R

，

Y

∈R，

Y

∈R；μ(μ>0)為懲罰參數(shù)。采用交替方向乘子法求解式（19）的步驟如下：1）首先更新

A

，這一步所需解決的優(yōu)化問(wèn)題為：

式（20）求解結(jié)果為：

式中，

A

為

A

的局 部 最優(yōu) 解，

G

=

Y

+

B

⊙

K

,

G

=2）其次更新

P

，求解如下函數(shù)：

式（22）封閉形式的解為：

式中，

P

為

P

的局部最優(yōu)解，3）更新

P

和

E

，需分別解決優(yōu)化問(wèn)題如下：

式中，

P

為

P

的 局部最優(yōu)解，

E

為

E

的局部最優(yōu)解。使用軟閾值函數(shù)得到式（24）和（25）求解結(jié)果，分別為：

式中， s oft(

z

,

a

)=sign(

z

)max(|

z

|?

a

,0)。4）更新

P

，求解如下函數(shù)：

式中，

P

為

P

的局部最優(yōu)解。

使用奇異值閾值（singular value thresholding，SVT）求解式（28），結(jié)果為：

式中，

U

和

V

分別表示對(duì)

G

進(jìn)行奇異值分解得到的正交矩陣，為軟閾值操作，為

G

奇異值的，

r

為

G

的秩。5）更新

K

，求解如下函數(shù)：

式中，

K

為

K

的局部最優(yōu)解。令

R

=

A

X

?

Y

，則式（30）的結(jié)果為：

最后，拉格朗日乘子

Y

、

Y

、

Y

及 懲罰參數(shù) μ通過(guò)式（32）更新：

式中， ρ （ ρ>1）為迭代步長(zhǎng)。

通過(guò)式（20）～（32），不斷迭代更新

A

、

P

、

K

等矩陣，最終輸出優(yōu)化后的映射矩陣

A

。通過(guò)優(yōu)化后的映射矩陣

A

，得到降維后的輔助域低維訓(xùn)練特征樣本集

Z

和 目標(biāo)域低維待測(cè)特征樣本集

Z

， 其表達(dá)式分別為：

2 基于IRSDTL的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

圖1描述了所提出的基于IRSDTL的滾動(dòng)軸承故障診斷方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。該過(guò)程主要包括4個(gè)步驟：1）從歷史工況（含標(biāo)簽）和新工況（不含標(biāo)簽）的滾動(dòng)軸承的狀態(tài)信號(hào)中，提取時(shí)域和頻域特征，并采用集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）提取時(shí)頻域特征；然后，將以上時(shí)域、頻域和時(shí)頻域特征歸一化處理，構(gòu)成原始維度為

m

（

m

=27）的輔助域和目標(biāo)域的狀態(tài)特征樣本集。2）將輔助域樣本集及其類(lèi)標(biāo)簽和目標(biāo)域待測(cè)樣本集輸入IRSDTL中，通過(guò)優(yōu)化IRSDTL整體遷移學(xué)習(xí)框架的方式獲得優(yōu)化后的映射矩陣

A

；然后，將原始兩域樣本映射到公共子空間中，分別得到輔助域訓(xùn)練樣本和目標(biāo)域待測(cè)樣本的低維特征向量

z

（

z

∈

Z

），

z

（

z

∈

Z

）。3）將輔助域訓(xùn)練樣本的低維特征向量及其類(lèi)標(biāo)簽輸入到最小二乘支持向量機(jī)（least squares support vector machine，LSSVM）中以建立LSSVM的分類(lèi)訓(xùn)練模型。4）將目標(biāo)域待測(cè)樣本輸入訓(xùn)練好的LSSVM模型中，完成待測(cè)樣本類(lèi)標(biāo)簽的判別，實(shí)現(xiàn)故障診斷。

圖1 基于IRSDTL的滾動(dòng)軸承故障診斷方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程Fig. 1 Implementation of the IRSDTL-based fault diagnosis method for rolling bearings

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

表1給出了本文所使用的滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息，包括滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的來(lái)源及實(shí)驗(yàn)工況（滾動(dòng)軸承的轉(zhuǎn)速和所傳遞的功率或所受徑向載荷）。

表1 實(shí)驗(yàn)工況
Tab. 1 Detailed working conditions

數(shù)據(jù)來(lái)源 工況 轉(zhuǎn)速/(r·min-1) 功率/kW 徑向載荷/lbs C1 1 772 0.74 —C2 1 730 2.22 —C3 1 750 1.48 —辛辛那提大學(xué) C4 2 000 — 6 000凱斯西儲(chǔ)大學(xué)

如表1所示，本文所使用的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室滾動(dòng)軸承數(shù)據(jù)中心，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示。采用該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驅(qū)動(dòng)端滾動(dòng)軸承（型號(hào)為SKF6205-2RS）振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。該實(shí)驗(yàn)室利用電火花加工的方式在3個(gè)驅(qū)動(dòng)端滾動(dòng)軸承的內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體上分別加工直徑為0.335 6 mm，深度為0.279 mm的小槽，模擬內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體單點(diǎn)點(diǎn)蝕（斷裂）故障。用信號(hào)采集儀以12 kHz的采樣頻率，采集C1、C2和C3（表1）3種工況下滾動(dòng)軸承的振動(dòng)加速度信號(hào)。截取每512個(gè)連續(xù)的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)點(diǎn)作為1個(gè)樣本。采集每種工況下，內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障、外圈點(diǎn)蝕故障、滾動(dòng)體點(diǎn)蝕故障及正常狀態(tài)的樣本各220個(gè)，也就是說(shuō)每種工況下共有220×4個(gè)樣本。

圖2 凱斯西儲(chǔ)大學(xué)滾動(dòng)軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig. 2 Fault simulation experimental platform of rolling bearings in Case Western Reserve University

另外，表1中C4工況的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自辛辛那提大學(xué)的滾動(dòng)軸承測(cè)試，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示。該實(shí)驗(yàn)室將4個(gè)ZA-2 115雙列滾子軸承安裝在軸承試驗(yàn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)軸上，使用轉(zhuǎn)速為2 000 r/min的電機(jī)通過(guò)皮帶驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)軸，并利用彈簧機(jī)構(gòu)在旋轉(zhuǎn)軸和軸承上施加6 000 lbs的徑向載荷。以20 kHz的采樣頻率采集故障期間的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)點(diǎn)，并截取每512個(gè)連續(xù)點(diǎn)作為1個(gè)樣本。與C1、C2和C3工況下數(shù)據(jù)點(diǎn)相似，C4工況下，采集到內(nèi)圈故障、外圈故障、滾動(dòng)體故障以及正常狀態(tài)的樣本均為220個(gè)，即C4工況下共采集220×4個(gè)樣本。

圖3 辛辛那提大學(xué)滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig. 3 Accelerated rolling bearing life cycle degradation test platform in University of Cincinnati

為了更真實(shí)地模擬工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境，對(duì)表1中所有工況下的全部故障的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)加入高斯白噪聲，使這些數(shù)據(jù)的信噪比為-2 dB。

3.2 基于IRSDTL的故障診斷方法參數(shù)設(shè)置

IRSDTL參數(shù)設(shè)置如下：正則化項(xiàng)權(quán)重參數(shù)α=0.3； 重 構(gòu)系數(shù)矩 陣

P

的權(quán)重 參 數(shù) λ =0.2 ；噪聲 矩 陣

E

的權(quán)重參數(shù) β=0.01； 聯(lián)合分布差異項(xiàng)權(quán)重參數(shù)σ=0.1； 類(lèi)間排斥力項(xiàng)權(quán)重參數(shù)σ=0.3； 映射矩陣

A

的映射維度

d

=5； 迭代步數(shù)

T

=20。IRSDTL中其余無(wú)需人工設(shè)置的參數(shù)初始化如下： ρ=1.01， μ=0.02 ， μ=10，

E

=0，

K

=1，

M

=0，

Y

=

Y

=

Y

=0，

P

=

P

=

P

=0。在LSSVM分類(lèi)器中，正則化參數(shù) δ =4 ，核參數(shù)θ =1。參數(shù)設(shè)置好后在本文所有實(shí)驗(yàn)中保持不變。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1）實(shí)驗(yàn)1

實(shí)驗(yàn)1中，將C1工況下的樣本作為輔助域有標(biāo)簽樣本，將C3工況下的樣本作為目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽樣本用于方法測(cè)試。實(shí)驗(yàn)之前，輔助域用作訓(xùn)練樣本的有標(biāo)簽樣本和目標(biāo)域中用作訓(xùn)練樣本的無(wú)標(biāo)簽樣本數(shù)量均取為 2 20×4（4表示4種狀態(tài)類(lèi)型：正常狀態(tài)+3種故障），這意味著目標(biāo)域中所有無(wú)標(biāo)簽樣本均參與訓(xùn)練IRSDTL（優(yōu)化IRSDTL的框架，即優(yōu)化IRSDTL的參數(shù)）。然后，將所提出方法和其他4種遷移學(xué)習(xí)方法（JDA、TJM、聯(lián)合幾何和統(tǒng)計(jì)對(duì)齊（joint geometrical and statistical alignment，JGSA）、TSLLRDRM）得到的診斷準(zhǔn)確率進(jìn)行比較（被用來(lái)對(duì)比的4種遷移學(xué)習(xí)方法所采用的特征提取方式和分類(lèi)器均與所提出的基于IRSDTL的故障診斷方法相同）。表2為5種方法對(duì)目標(biāo)域待測(cè)樣本的故障診斷準(zhǔn)確率和平均故障診斷準(zhǔn)確率。

表2 實(shí)驗(yàn)1中5種遷移學(xué)習(xí)方法對(duì)測(cè)試集的故障診斷準(zhǔn)確率
Tab. 2 Fault diagnosis accuracy rates of five transfer learning-based methods on the testing sample set in Experiment 1

不同狀態(tài)下的故障診斷準(zhǔn)確率 /% 平均診斷準(zhǔn)確率/%內(nèi)圈故障 外圈故障 滾動(dòng)體故障 正常狀態(tài)基于IRSDTL的方法 94.55 100.00 95.00 100.00 97.39基于JDA的方法 68.18 85.00 60.45 85.45 74.77基于TJM的方法 75.91 86.82 65.45 95.91 81.02基于JGSA的方法 80.91 91.82 81.36 98.18 88.07基于TSLLRDRM的方法 94.09 86.36 81.82 93.64 88.98方法

同時(shí)，為了直觀地驗(yàn)證IRSDTL遷移和分類(lèi)的有效性，利用t-分布隨機(jī)鄰域嵌入（t-distributed stochastic neighbor embedding，t-SNE）算法將IRSDTL公共子空間中的5維特征降維到2維平面，并以散點(diǎn)圖形式呈現(xiàn)，如圖4所示。

由圖4可知，對(duì)在IRSDTL公共子空間中的輔助域5維訓(xùn)練特征樣本集和目標(biāo)域5維待測(cè)特征樣本集進(jìn)行降維后，相同狀態(tài)（相同類(lèi)別）樣本較好地聚合在一起，且不同狀態(tài)（不同類(lèi)別）樣本之間相對(duì)較為分散，其原因是：IRSDTL在保證輔助域和目標(biāo)域樣本全局子空間結(jié)構(gòu)和局部幾何結(jié)構(gòu)較好對(duì)齊的前提下，減少了兩域樣本分布差異，同時(shí)增大了兩域不同類(lèi)別樣本之間距離，從而提高了方法的遷移性能和類(lèi)判別能力。因此，所提出的基于IRSDTL的故障診斷方法具有比其他4種遷移學(xué)習(xí)方法更高的故障診斷準(zhǔn)確率，如表2所示。此外，所提出的故障診斷方法將內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障誤診為正常狀態(tài)的誤診率分別為0、0、0.45%；將正常狀態(tài)誤診為內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障的誤診率均為0，說(shuō)明該方法一定程度上能有效避免無(wú)法發(fā)現(xiàn)故障或故障誤報(bào)的情況。

圖4 IRSDTL公共子空間中的5維特征經(jīng)t-SNE降維后的散點(diǎn)圖Fig. 4 Scatter plot of 5-dimension features in the common subspace of IRSDTL after dimension reduction by t-SNE

2）實(shí)驗(yàn)2

實(shí)驗(yàn)2中，將C2工況下的樣本作為輔助域有標(biāo)簽樣本，將C3工況下的樣本作為目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽樣本用于方法測(cè)試。實(shí)驗(yàn)過(guò)程與實(shí)驗(yàn)1類(lèi)似，比較了所提出的方法和其他4種遷移學(xué)習(xí)方法所得到的故障診斷準(zhǔn)確率（表3）；并利用t-SNE算法將IRSDTL公共子空間中的5維特征降維到2維平面，其散點(diǎn)結(jié)果如圖5所示。

圖5的結(jié)果與圖4類(lèi)似，對(duì)在IRSDTL公共子空間中的輔助域5維訓(xùn)練特征樣本集和目標(biāo)域5維待測(cè)特征樣本集降維后，兩域中4種狀態(tài)（3種故障狀態(tài)和正常狀態(tài)）的相同狀態(tài)樣本較好地聚合在一起，而不同狀態(tài)樣本之間相對(duì)較為分散。該可視化結(jié)果表明，在以C2工況下的樣本作為輔助域有標(biāo)簽樣本，以C3工況下的樣本作為目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽樣本的條件下，IRSDTL仍然具有較好的遷移性和分類(lèi)性。因此，基于IRSDTL的故障診斷方法具有比其他4種遷移學(xué)習(xí)方法更高的故障診斷準(zhǔn)確率，這在表3所展示的對(duì)比結(jié)果中得到了印證。另外，本文方法將3種故障狀態(tài)誤診為正常狀態(tài)的誤診率都為0，而將正常狀態(tài)誤診為3種故障狀態(tài)的誤診率也都0，進(jìn)一步說(shuō)明該方法能有效避免無(wú)法發(fā)現(xiàn)故障或故障誤報(bào)的情況。

表3 實(shí)驗(yàn)2中5種遷移學(xué)習(xí)方法對(duì)測(cè)試集的故障診斷準(zhǔn)確率
Tab. 3 Fault diagnosis accuracy rates of five transfer learning-based methods on the testing sample set in Experiment 2

方法 不同狀態(tài)下的故障診斷準(zhǔn)確率/% 平均診斷準(zhǔn)確率/%內(nèi)圈故障 外圈故障 滾動(dòng)體故障 正常狀態(tài)基于IRSDTL的方法 76.36 100.00 88.18 100.00 91.14基于JDA的方法 70.00 63.18 55.45 86.36 68.75基于TJM的方法 67.27 85.91 70.45 98.18 80.45基于JGSA的方法 63.18 92.73 83.18 95.91 83.75基于TSLLRDRM的方法 73.64 96.36 74.55 100.00 86.14

圖5 IRSDTL公共子空間中的5維特征經(jīng)t-SNE降維后的散點(diǎn)圖Fig. 5 Scatter plot of 5-dimension features in the common subspace of IRSDTL after dimension reduction by t-SNE

3）實(shí)驗(yàn)3

實(shí)驗(yàn)3中，將C1、C2和C3工況下樣本混合作為輔助域有標(biāo)簽樣本，將C4工況下樣本作為目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽樣本用作測(cè)試。具體而言，將C1工況下的 7 0×4（對(duì)每種狀態(tài)從原有的220個(gè)樣本中隨機(jī)選取70個(gè)，下文同）個(gè)有標(biāo)簽樣本、C2工況下的 70×4個(gè)有標(biāo)簽樣本和C3工況下的 80×4個(gè)有標(biāo)簽樣本混合作為輔助域中的訓(xùn)練樣本（共 2 20×4）；同時(shí)，將C4工況下的無(wú)標(biāo)簽樣本作為目標(biāo)域當(dāng)前待測(cè)樣本，其數(shù)量為 220×4，且這些當(dāng)前待測(cè)樣本均參與訓(xùn)練IRSDTL。將所提出方法對(duì)滾動(dòng)軸承ZA-2 115的4種狀態(tài)下當(dāng)前待測(cè)樣本的診斷準(zhǔn)確率及平均診斷準(zhǔn)確率與其他4種遷移學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了比較，結(jié)果如表4所示；同時(shí)利用t-SNE算法將IRSDTL公共子空間中的5維特征降維到2維平面，其散點(diǎn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 IRSDTL公共子空間中的5維特征經(jīng)t-SNE降維后的散點(diǎn)圖Fig. 6 Scatter plot of 5-dimension features in the common subspace of IRSDTL after dimension reduction by t-SNE

表4 實(shí)驗(yàn)3中5種遷移學(xué)習(xí)方法對(duì)測(cè)試集的故障診斷準(zhǔn)確率
Tab. 4 Fault diagnosis accuracy rates of five transfer learning-based methods on the testing sample set in Experiment 3

方法 不同狀態(tài)下的故障診斷準(zhǔn)確率/% 平均診斷準(zhǔn)確率/%內(nèi)圈故障 外圈故障 滾動(dòng)體故障 正常狀態(tài)基于IRSDTL的方法 97.73 100.00 90.91 100.00 97.16基于JDA的方法 71.82 57.27 65.45 45.91 60.11基于TJM的方法 54.55 98.64 58.18 72.73 71.02基于JGSA的方法 62.73 94.09 80.00 98.64 83.86基于TSLLRDRM的方法 78.64 91.82 81.36 100.00 87.95

由圖6可視化結(jié)果可知，在將C1、C2和C3工況下樣本混合作為輔助域有標(biāo)簽樣本，以C4工況下樣本作為目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽樣本的條件下，IRSDTL仍然具有較好的遷移性和分類(lèi)性。因此，基于IRSDTL的故障診斷方法仍然具有比其他4種遷移學(xué)習(xí)方法更高的故障診斷準(zhǔn)確率。另外，在實(shí)驗(yàn)中，所提出的方法將3種故障狀態(tài)誤診為正常狀態(tài)的誤診率均為0，將正常狀態(tài)誤診為3種故障狀態(tài)的誤診率也均為0，說(shuō)明該方法能有效避免無(wú)法發(fā)現(xiàn)故障或故障誤報(bào)的情況。

3.4 所提出方法的魯棒性分析

為驗(yàn)證本文方法的魯棒性，將實(shí)驗(yàn)1、2和3中的輔助域有標(biāo)簽樣本分別作為實(shí)驗(yàn)4、5和6的輔助域訓(xùn)練樣本集，同時(shí)從實(shí)驗(yàn)1、2和3的目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽樣本中按比例隨機(jī)選樣，分別作為實(shí)驗(yàn)4、5和6的目標(biāo)域待測(cè)樣本集。實(shí)驗(yàn)4、5、6中，在增大輔助域訓(xùn)練樣本數(shù)量與目標(biāo)域待測(cè)樣本數(shù)量的比值

g

（只減少目標(biāo)域中無(wú)標(biāo)簽訓(xùn)練樣本的數(shù)量）的條件下，將所提出的基于IRSDTL的故障診斷方法的平均診斷準(zhǔn)確率與其他4種遷移學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，相比其他4種遷移學(xué)習(xí)方法，所提出故障診斷方法對(duì)目標(biāo)域無(wú)標(biāo)簽訓(xùn)練樣本數(shù)量具有更好的魯棒性。隨著目標(biāo)域訓(xùn)練樣本數(shù)量的減少，其平均故障診斷準(zhǔn)確率波動(dòng)相對(duì)最小、更為平穩(wěn)且整體上高于其他4種遷移學(xué)習(xí)方法。因此，IRSDTL對(duì)目標(biāo)域樣本依賴(lài)程度相對(duì)較低，在目標(biāo)域待測(cè)樣本（待測(cè)樣本均參與了訓(xùn)練IRSDTL）數(shù)量較少的情況下，仍能較平穩(wěn)地實(shí)現(xiàn)從輔助域向目標(biāo)域的跨域遷移和類(lèi)判別，目標(biāo)域樣本的數(shù)量對(duì)基于IRSDTL的故障診斷方法的故障診斷準(zhǔn)確率影響較小。

圖7 在不同輔助域和目標(biāo)域樣本數(shù)比值 g 下，5種遷移學(xué)習(xí)方法的平均診斷準(zhǔn)確率對(duì)比Fig. 7 Comparison of the average diagnosis accuracy of the five transfer learning-based methods with differentg

4 結(jié) 論

1）所提出的基于IRSDTL的故障診斷方法在已有的TSLLRDRM基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)非負(fù)擴(kuò)展松弛矩陣，將嚴(yán)格二進(jìn)制標(biāo)簽矩陣轉(zhuǎn)化為擴(kuò)展松弛標(biāo)簽矩陣，增加輔助域中不同類(lèi)標(biāo)簽向量之間的距離，同時(shí)使公共子空間維數(shù)不再局限于類(lèi)標(biāo)簽的數(shù)量，減少了TSLLRDRM的輔助域分類(lèi)誤差，并提高了TSLLRDRM的泛化能力。

2）IRSDTL引入了聯(lián)合分布差異，從而將以結(jié)構(gòu)為中心和以數(shù)據(jù)分布為中心兩種方法的優(yōu)勢(shì)結(jié)合了起來(lái)，既重視樣本的結(jié)構(gòu)信息，又關(guān)注樣本的分布差異，提高了原TSLLRDRM的遷移能力；同時(shí)，構(gòu)造了類(lèi)間排斥力項(xiàng)，增加兩域中某類(lèi)標(biāo)簽子域樣本到其他類(lèi)標(biāo)簽子域樣本之間的距離，提高了TSLLRDRM對(duì)兩域樣本的類(lèi)判別性能。

3）采用交替方向乘子法優(yōu)化IRSDTL的整體框架，以放寬IRSDTL的目標(biāo)函數(shù)的凸限制，從而便捷地得到IRSDTL參數(shù)的最優(yōu)解。

4）IRSDTL的以上優(yōu)勢(shì)使得IRSDTL從輔助域向目標(biāo)域跨域遷移學(xué)習(xí)時(shí)具有更好的遷移性能和分類(lèi)準(zhǔn)確率。因此，該方法在新工況樣本的類(lèi)標(biāo)簽不存在情況下，僅利用歷史工況中的有標(biāo)簽樣本就能對(duì)新工況待測(cè)樣本進(jìn)行更準(zhǔn)確和較好魯棒性的故障診斷。