李九一，周豐峻*，張 鏖，孫云厚，雷志剛，朱精忠

(1.中國(guó)人民解放軍軍事科學(xué)院 國(guó)防工程研究院，北京 100850；2.公安部特勤局，北京 100850)

螺紋連接是工程結(jié)構(gòu)中最常用的緊固方式之一，作為連接部件，螺栓螺母的緊固能力關(guān)系著包括被連接件在內(nèi)整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全性與可靠性。其松動(dòng)脫落等力學(xué)問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者研究重點(diǎn)之一。目前對(duì)螺紋連接力學(xué)性能及松動(dòng)機(jī)理的研究方法主要有實(shí)驗(yàn)檢測(cè)、理論分析和數(shù)值計(jì)算。

在對(duì)螺紋結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢測(cè)時(shí)，由于螺紋加工精度和表面粗糙度不同，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為分散，實(shí)驗(yàn)重復(fù)性差。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用有限元法對(duì)螺紋連接結(jié)構(gòu)的性能進(jìn)行了廣泛研究，并取得了一定成果。在用有限元法分析螺紋連接的力學(xué)行為時(shí)，由于螺紋升角結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以劃分優(yōu)質(zhì)的有限元網(wǎng)格。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，許多研究人員通常假定有限元模型的螺紋部分具有軸對(duì)稱(chēng)幾何特性或直接忽略模型的螺紋結(jié)構(gòu)。如：Verwaerde等采用3維實(shí)體單元模型對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析，雖然在一定程度上表征了螺紋連接結(jié)構(gòu)上的應(yīng)力分布，但模型忽略了連接處的螺紋，無(wú)法反映螺紋連接處的真實(shí)應(yīng)力分布。Noda等利用軸對(duì)稱(chēng)模型進(jìn)行螺栓連接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析，得到了相對(duì)滿意的結(jié)果，但軸對(duì)稱(chēng)模型雖然考慮了螺紋的作用，卻忽略了螺紋升角對(duì)結(jié)果的影響。

使用帶升角結(jié)構(gòu)的精確螺紋有限元模型開(kāi)展數(shù)值計(jì)算，是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)螺紋處3維應(yīng)力分布的有效方法，但由于工業(yè)生產(chǎn)中實(shí)際的需求不同，使用到的螺栓螺母緊固件種類(lèi)繁多。因此，在進(jìn)行有限元數(shù)值仿真計(jì)算時(shí)，如果需要針對(duì)不同型號(hào)的螺紋結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元數(shù)值研究，建立模型和網(wǎng)格劃分將耗費(fèi)大量精力，同時(shí)將出現(xiàn)網(wǎng)格質(zhì)量難以保證、數(shù)值計(jì)算不易收斂、仿真成本高等問(wèn)題。故尋找一種計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、建模便捷的螺紋緊固件有限元建模方法具有十分重要的意義。

本文采用ISO給定的標(biāo)準(zhǔn)螺旋線公式建立垂直于螺紋中心軸線的螺紋螺旋線幾何形狀，以此螺紋螺旋線幾何形狀為基本幾何，將其分別沿螺紋徑向和軸向，順次構(gòu)建等比例縮放和固定角度旋轉(zhuǎn)的平面螺紋螺旋線相似幾何；然后，將單個(gè)節(jié)距螺紋上所得到的全部螺旋線等間距離散成若干節(jié)點(diǎn)，并將這些離散節(jié)點(diǎn)按位置關(guān)系組合成精度較高的3維8節(jié)點(diǎn)（C3D8）單元，即獲得單個(gè)節(jié)距螺紋3維有限元模型；再將此單個(gè)節(jié)距的模型，沿螺紋中心軸線堆疊適當(dāng)個(gè)數(shù)，得到多節(jié)距的螺紋連接結(jié)構(gòu)3維有限元模型（該建模具體實(shí)施過(guò)程可查閱文獻(xiàn)[14]）。最后，通過(guò)數(shù)值算例對(duì)建立的模型進(jìn)行了驗(yàn)證，并在Qt框架下開(kāi)發(fā)螺栓螺母有限元參數(shù)化建模平臺(tái)，為實(shí)際工程提供了更為科學(xué)的支撐和更高效的設(shè)計(jì)工具。

1 有限元模型

本文螺紋輪廓線的規(guī)格由文獻(xiàn)[15]給出，為了防止螺紋齒根處發(fā)生過(guò)度的應(yīng)力集中現(xiàn)象，要求齒根半徑不得小于0.125

P

，

P

為節(jié)距。圖1為沿螺栓中心軸線的螺紋截面，其中，

r

為徑向坐標(biāo)， θ為周向坐標(biāo)，

d

為螺紋小徑，

d

為螺紋公稱(chēng)直徑，

H

為螺紋工作高度，

A

、

B

、

C

、

D

和

A

′、

B

′、

C

′、

D

′分別為輪廓線上關(guān)于θ=0相互對(duì)稱(chēng)的關(guān)鍵點(diǎn)。由

A

點(diǎn)開(kāi)始，從 θ=0 到 θ =π的螺栓外螺紋輪廓線可以被分為3個(gè)部分，即0～ θ對(duì)應(yīng)

AB

（螺紋齒根）， θ～ θ對(duì)應(yīng)

BC

（螺紋齒側(cè)）， θ～π對(duì)應(yīng)

CD

（螺紋頂部）。

圖1 沿螺栓中心軸線的螺紋截面Fig. 1 Thread section along the central axis of the bolt

將這3部分的輪廓線延展成繞螺栓軸線的平面，投影到垂直于螺栓軸的平面上，可得外螺紋輪廓線，如圖2所示。

圖2 外螺紋輪廓線示意圖Fig. 2 Sketch diagram of external thread profile

此輪廓線軌跡

r

可由式（1）給出：

式中：為外螺紋齒根半徑的上限。

同樣地，可獲得螺母的內(nèi)螺紋輪廓線軌跡

r

的數(shù)學(xué)表達(dá)：

式中：為內(nèi)螺紋齒根半徑的上限。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)不同型號(hào)螺紋連接結(jié)構(gòu)有限元模型的便捷調(diào)用，在Qt平臺(tái)上，利用OpenGL圖形庫(kù)開(kāi)發(fā)了模型建立軟件，軟件界面如圖3所示。

圖3 建模軟件界面Fig. 3 Interface of modeling software

圖4為單位節(jié)距長(zhǎng)度

P

=2、螺紋軸向單元數(shù)

ne

=96、匹配螺桿處單元層數(shù)

t

=0、螺紋向內(nèi)層數(shù)

j

=3、節(jié)距數(shù)量

n

=6條件下，螺栓（LS）螺母（LM）公稱(chēng)直徑

d

分別為10 mm、16 mm和20 mm的有限元模型對(duì)比圖。

圖4 不同公稱(chēng)直徑的螺紋有限元模型Fig. 4 Finite element models of screw threads with different nominal diameters

2 螺紋連接中的力學(xué)關(guān)系

螺紋連接結(jié)構(gòu)擰緊和受載時(shí)，力學(xué)行為的變化是一個(gè)強(qiáng)烈的狀態(tài)非線性過(guò)程，該過(guò)程通常伴有復(fù)雜的幾何非線性（大位移）和材料非線性（塑性）影響；螺紋連接結(jié)構(gòu)處于不同狀態(tài)時(shí)，其力學(xué)行為有著明顯的差別。為便于計(jì)算分析，采用下述假定：

1）螺紋結(jié)構(gòu)體的材料是連續(xù)均勻且完全彈性的；

2）作用在螺紋連接結(jié)構(gòu)上的位移和形變是微小的，且結(jié)構(gòu)體內(nèi)無(wú)初始應(yīng)力；

3）摩擦系數(shù)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)受力過(guò)程中不發(fā)生變化，系統(tǒng)能量守恒。

2.1 螺栓軸向力與擰緊轉(zhuǎn)角關(guān)系

從螺紋的幾何特征入手，當(dāng)螺母繞螺栓轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺母的軸向位移量

s

為：

式中， ?為螺母轉(zhuǎn)角，

P

為節(jié)距。如果對(duì)螺母的位移做剛性的約束，同時(shí)限制螺栓位移，則轉(zhuǎn)動(dòng)螺母時(shí)螺栓將伸長(zhǎng)變形，其伸長(zhǎng)量 δ為：

然而，實(shí)際上，被連接件不可能剛性約束螺母的位移，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)螺母，螺母發(fā)生位移的同時(shí)，螺栓也被拉長(zhǎng)，螺栓和被連接件兩者被拉長(zhǎng)的占比，取決于二者剛度

K

和

K

。轉(zhuǎn)動(dòng)螺母一方面壓縮被連接件，一方面拉伸螺栓，相當(dāng)于串聯(lián)兩個(gè)彈簧。串聯(lián)彈簧的系統(tǒng)剛度為

K

=

K

K

/(

K

+

K

)。由胡克定律中形變和力的關(guān)系，可得螺栓上的軸向力

F

為：

實(shí)際擰緊一個(gè)螺母時(shí)，在螺母和被連接件未發(fā)生接觸的旋轉(zhuǎn)期間，螺栓上不會(huì)產(chǎn)生軸向力。一旦螺母接觸被連接件后，即會(huì)產(chǎn)生軸向力，由于表面接觸區(qū)域面積較小或被連接件與周?chē)鷺?gòu)件的摩擦力影響等原因，軸向力起初會(huì)很小，但后期增長(zhǎng)很迅速，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為被連接件的貼緊過(guò)程。貼緊過(guò)程要轉(zhuǎn)多少角度無(wú)法預(yù)知，即使使用同種型號(hào)的螺栓和被連接件，貼緊過(guò)程中螺母轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也會(huì)不一樣。被連接件貼緊后，從式（5）可知軸向力

F

與轉(zhuǎn)角 ?呈線性關(guān)系。繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)螺母，螺栓繼續(xù)按比例伸長(zhǎng)，當(dāng)達(dá)到材料的屈服點(diǎn)后，同樣的轉(zhuǎn)角增量下，螺栓伸長(zhǎng)量的增量增大，軸向力增量減小，軸向力

F

和轉(zhuǎn)角 ?由直線關(guān)系變成曲線關(guān)系。圖5給出了擰緊螺母全過(guò)程的螺栓軸向力

F

和 ?之間的關(guān)系曲線（

OQ

為“空轉(zhuǎn)”螺栓，

QR

為貼緊過(guò)程，

RS

為線性段，在

S

點(diǎn)開(kāi)始屈服，

ST

為屈服后的曲線段）。

圖5 軸向力 F 和轉(zhuǎn)角 ?的關(guān)系Fig. 5 Relationship between preload F and angle?

2.2 螺紋牙的軸向力分布推導(dǎo)

圖6為旋和螺紋部分的軸向力

F

示意圖，其中，

L

為內(nèi)外螺紋嚙合長(zhǎng)度。螺栓桿受拉伸力

F

的作用，如以螺母頂面位置為原點(diǎn)，在

x

位置處將產(chǎn)生一個(gè)垂直截面的軸向力

F

，則在

x

位置將產(chǎn)生一個(gè)垂直于螺紋嚙合面的單位力

p

， 此時(shí)，在

x

位置處螺栓的伸長(zhǎng)長(zhǎng)度ε和 螺母的縮短長(zhǎng)度 ε可由式（6）求出：

圖6 旋合螺紋部分的軸向力 F示意圖Fig. 6 Schematic diagram of axial force F of screw thread

式中，

A

和

A

分別為螺栓和螺母的垂直截面面積，

E

和

E

分別為螺栓和螺母縱向的彈性模量。設(shè)作用于

x

與

x

+d

x

之間的某螺紋牙上的軸向力為 d

F

，則有：

式中，

φ

為螺紋升角， α為螺紋斜角，由式（7）可得：圖7描述了由各種原因產(chǎn)生的螺紋牙變形。如圖7（a）所示：對(duì)牙寬為

a

的 梯形截面橫梁，在

y

=

c

， 跨度為

b

的位置上，每單位寬度作用一個(gè)大小為

p

的力。基于山本晃對(duì)無(wú)摩擦螺紋模型彈性變形的理論分析可推導(dǎo)出在

y

=

c

位置處橫梁彎曲引起的變形長(zhǎng)度 δ、剪力引起的變形長(zhǎng)度 δ、 牙根傾斜引起的變形長(zhǎng)度 δ、牙根剪切引起的變形長(zhǎng)度 δ和 徑向分力引起的變形長(zhǎng)度 δ。

圖7 各種原因產(chǎn)生的螺紋牙變形Fig. 7 Deformation of thread teeth for various reasons

把上述所求得的變形分量相互累加，即獲得外螺紋和內(nèi)螺紋變形的總量 δ和 δ，分別為：

式中，

k

和

k

分別為與材料彈性模量和泊松比相關(guān)的系數(shù)。

將式（8）代入式（9），得：

取圖6中

L

=

x

， 在 ε、 ε、 δ、 δ之間可得出如下關(guān)系：

把式（7）和（10）代入式（11），并對(duì)

x

求微分，可得：

式（12）中：

式（12）的通解為：

將邊界條件

F

=0

，

F

=

F

代入式（12）得：

式中，

c

和

c

為方程待定系數(shù)。

雙曲正弦和雙曲余弦的函數(shù)式為：

聯(lián)立式（15）與（16）可得：

將

c

、

c

的值代入式（14），則式（14）變?yōu)椋?p>

將式（18）代入式（8）可得：

第

i

圈螺紋承受的軸向載荷

F

為：

定義 η為第

i

圈工作螺紋所承受的軸向載荷占總軸向力

F

的比例，則有：

式（21）表明，對(duì)于螺紋結(jié)構(gòu)式連接，軸向力在旋合各圈螺紋牙間所占比例滿足雙曲正弦函數(shù)關(guān)系，其軸向載荷比例分布如圖8所示。

圖8 軸向載荷比例分布示意圖Fig. 8 Diagram of axial load distribution

以M12標(biāo)準(zhǔn)螺栓螺母為研究對(duì)象，對(duì)螺栓軸向力分布進(jìn)行計(jì)算。螺紋的幾何參數(shù)見(jiàn)表1，螺栓、螺母彈性材料參數(shù)見(jiàn)表2，塑性應(yīng)變行為見(jiàn)表3。

表1 M12螺紋的幾何參數(shù)
Tab. 1 Geometric parameters of the M12 bolt

參數(shù)名稱(chēng) 參數(shù)值公稱(chēng)直徑/mm 12螺距/mm 1.75 dp螺紋中徑 /mm 10.863 DO螺母大徑 /mm 19.074螺栓橫截面面積/mm2 84.3螺母橫截面面積/mm2 194.15螺紋螺旋升角/(°) 2.936螺紋斜角/(°) 30

表2 螺栓螺母材料參數(shù)
Tab. 2 Material parameters of bolts and nuts

部件 材料 密度/(g·cm-3) 彈性模量/MPa 泊松比螺栓 35CrMn 7.87 213 000 0.286螺母 45鋼 7.87 209 000 0.269板 碳鋼 7.87 210 000 0.280

表3 螺栓螺母塑性應(yīng)變行為
Tab. 3 Plastic strain behavior of bolts and nuts

螺栓（35CrMn） 螺母（45鋼）應(yīng)力/MPa 塑性應(yīng)變 應(yīng)力/MPa 塑性應(yīng)變480 0 400 0 500 0.002 82 420 0.001 52 580 0.012 00 500 0.029 50 680 0.045 00 630 0.056 00 850 0.110 00 700 0.095 00 1 000 0.300 00 760 0.250 00

根據(jù)表2：取螺栓材料35CrMn，其彈性模量

E

為213 000 MPa，泊松比 ν為0.286； 取螺母材料45鋼，其彈性模量

E

為 209 000 MPa，泊松比 ν為0.269。M12螺紋中徑

d

、 螺母大徑

D

取值見(jiàn)表1?？汕蟮猛饴菁y螺栓的變形分量分別為：

同樣地，可求得內(nèi)螺紋螺母的變形分量分別為：

將式（22）和（23）代入式（9），得：

由式（24）可得，

k

=3.452 53，

k

=5.163 51。將表1中螺栓、螺母的垂直截面面積

A

、

A

，螺紋的螺旋升角

φ

和求得的

k

、

k

值代入式（13），得：

取螺母節(jié)距個(gè)數(shù)為6，單位長(zhǎng)度為1.75 mm，則螺母總高度

L

=10.5 mm。因此，將以上結(jié)果代入式（18）和（21），可以獲得第

i

圈 工作螺紋所承受的軸向載荷

F

與總軸向力

F

的 比值

F

/

F

； 通過(guò)求相臨螺紋之間

F

/

F

的差值，得各圈螺紋承受軸向力的占比 η，如表4所示。

表4 每圈螺紋上的載荷分布
Tab. 4 Load distribution on each thread

螺紋圈數(shù)i Fi·F?1ηi/%1 1.000 000 0 30.208 2 0.697 923 8 21.906 3 0.478 860 0 16.211 4 0.316 752 0 12.443 5 0.192 320 0 10.156 6 0.090 760 0 9.076 b

圖9展示了沿螺母軸線向下，第

i

圈螺紋上軸向力與總軸向力之比 η。

圖9 普通M12螺栓上軸向力的分布Fig. 9 Distribution of axial forces on the normal M12 bolt

由圖9看出，第1圈承受了約30.2%的軸向力，第2圈承受了約21.9%的軸向力，前3圈螺紋約承受全部軸向力的68.3%。

3 有效性驗(yàn)證

選用性能等級(jí)為5.8的M12粗牙標(biāo)準(zhǔn)螺紋緊固件有限元模型，在商業(yè)有限元計(jì)算軟件ABAQUS中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將數(shù)值結(jié)果與第2節(jié)理論計(jì)算結(jié)果和以往工程實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證該螺紋連接結(jié)構(gòu)有限元建模方法的有效性。

建立的整體模型結(jié)構(gòu)如圖10所示，共包含上層板、下層板、螺母和螺栓4個(gè)部件。這些部件全部采用C3D8R單元?jiǎng)澐郑Ｐ凸灿?jì)節(jié)點(diǎn)87 245個(gè)，單元77 712個(gè)。

圖10 螺紋連接結(jié)構(gòu)整體有限元模型Fig. 10 Overall finite element model of screw joint structure

在部件接觸界面之間定義以下4組接觸副：螺栓頭部下表面和上層板的上表面之間（Cont1）、上層板的下表面和下層板的上表面之間（Cont2）、下層板的下表面和螺母的上表面之間（Cont3）、螺栓外螺紋表面和螺母內(nèi)螺紋表面之間（Cont4），將以上4組接觸副全部定義為表面與表面約束（standard）。接觸行為設(shè)為切向和法向，其中，螺栓與螺母表面法向行為設(shè)為Exponential軟接觸約束，其余接觸表面的法向行為設(shè)為硬接觸約束。切向行為均采用罰公式接觸約束。通過(guò)在螺母外部加載扭轉(zhuǎn)載荷，使螺母向上轉(zhuǎn)動(dòng)從而夾緊兩塊形狀相同的板材。模型中螺栓、螺母為彈塑性材料，板為彈性材料。各部件彈性材料參數(shù)見(jiàn)表2，螺栓、螺母塑性應(yīng)變行為見(jiàn)表3。

針對(duì)本模型，在ABAQUS中進(jìn)行如下求解設(shè)置。建立靜力通用分析步，加載時(shí)間為1 s。最大增量步數(shù)設(shè)為100，初始增量步為0.01，模型考慮受幾何非線性的影響。場(chǎng)輸出變量選擇應(yīng)力、應(yīng)變等。對(duì)于螺栓軸向力加載，ABAQUS中提供了一種模擬螺栓軸向力的加載方式，即在螺栓截面上施加螺栓載荷（bolt load）。這種加載方式將導(dǎo)致在下一分析步做扭轉(zhuǎn)激勵(lì)加載時(shí)，螺栓軸向力始終維持螺栓載荷所施加的荷載值而不發(fā)生變化。顯然這與實(shí)際情況并不相符。因此，本文提出在螺母外側(cè)施加旋轉(zhuǎn)角度，以此模擬螺栓的預(yù)緊過(guò)程。圖11中分別為ABAQUS中螺栓載荷加載方式與本文提到的扭轉(zhuǎn)螺母加載方式在扭轉(zhuǎn)激勵(lì)作用下軸向力隨時(shí)間的變化曲線。對(duì)比兩條曲線發(fā)現(xiàn)：1） 由于螺栓載荷忽略了螺栓在預(yù)緊過(guò)程所受到的摩擦力矩和部件間實(shí)際接觸狀態(tài)，預(yù)緊過(guò)程呈線性增長(zhǎng)，與工程實(shí)際中螺栓預(yù)緊情況不符。2） 在1～2 s階段的扭轉(zhuǎn)激勵(lì)作用下，螺栓載荷加載方式使得軸向力維持不變，無(wú)法真實(shí)反映軸向力隨扭轉(zhuǎn)載荷變化的機(jī)理。因此，本文選用更加貼近實(shí)際工程的扭轉(zhuǎn)螺母加載方式來(lái)完成螺栓軸向力的加載。

圖11 不同預(yù)緊方式下軸向力隨時(shí)間的變化曲線Fig. 11 Axial force versus time in different preloading modes

3.1 擰緊轉(zhuǎn)角和軸向力關(guān)系驗(yàn)證

在初始分析步（Step 0）中，對(duì)模型（圖10）施加如下邊界條件：在上層板上表面施加6個(gè)自由度的固定約束，下層板

x

方向側(cè)面施加除

z

方向平移外的5個(gè)自由度固定約束，螺栓頭部?jī)H對(duì)繞

z

旋轉(zhuǎn)的方向施加固定約束。

在維持初始分析步不變的前提下，在分析步（Step 1）中，對(duì)螺母施加0.3 rad轉(zhuǎn)角，使結(jié)構(gòu)處于擰緊狀態(tài)。

在以上邊界條件下，擰緊轉(zhuǎn)角與軸向力的數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖12所示，可以看到，擰緊轉(zhuǎn)角和軸向力之間存在非線性關(guān)系。由于起初受被連接件與周?chē)鷺?gòu)件的摩擦力影響等原因，軸向力會(huì)很小，但軸向力的增長(zhǎng)很迅速。當(dāng)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)螺母，螺栓繼續(xù)按比例伸長(zhǎng)，此時(shí)，擰緊轉(zhuǎn)角和軸向力呈線性關(guān)系。當(dāng)達(dá)到材料的屈服點(diǎn)后，在同樣的轉(zhuǎn)角增量下，螺栓伸長(zhǎng)量的增量增大，軸向力增量減小，軸向力

F

和擰緊轉(zhuǎn)角?之間由直線關(guān)系變成曲線關(guān)系。數(shù)值計(jì)算的曲線變化規(guī)律與第2.1節(jié)中的理論分析相吻合。

圖12 軸向力隨轉(zhuǎn)角的變化曲線Fig. 12 Curves of axial preloading force changing with the angle of rotation

3.2 軸向力分布驗(yàn)證

為重現(xiàn)第2.2節(jié)中推導(dǎo)的無(wú)摩擦模型在彈性理論下螺栓的軸向力分布結(jié)果，在不改變模型接觸定義的情況下，將部件間的摩擦系數(shù)全設(shè)為0，并將圖10中所有部件的塑性行為全部移除，其彈性材料參數(shù)見(jiàn)表2；對(duì)于性能等級(jí)為5.8的M12螺栓按照文獻(xiàn)中的軸向力施加標(biāo)準(zhǔn)，不改變第3.1節(jié)Step 0中設(shè)置的初始邊界條件，在Step 1中對(duì)螺母重新進(jìn)行扭轉(zhuǎn)預(yù)緊，使螺栓獲得螺栓軸向力20 kN，得到M12螺栓軸向力分布Mises應(yīng)力云圖（判斷共用節(jié)點(diǎn)是否平均取值的變量變化梯度限定值為75%，下文同），如圖13所示。

圖13 M12螺栓表面應(yīng)力云圖Fig. 13 Stress contour of M12 bolt surface

在ABAQUS中創(chuàng)建自由體切片，獲得圖13中橫截面序號(hào)1～7指向的各截面

j

的截面軸向力

F

，并計(jì)算得到

F

與橫截面軸向合力的比值

F

/

F

，以及各圈螺紋承受軸向力的占比 η，見(jiàn)表5。圖14對(duì)比了以上數(shù)值計(jì)算結(jié)果與第2.2節(jié)中理論推導(dǎo)出的計(jì)算結(jié)果。

表5 各橫截面受力分布
Tab. 5 Force distribution on each cross section

橫截面序號(hào)j Fj Fj·F?1 b ηi/%1 16 430.80 1.000 31.666 2 11 227.80 0.683 19.622 3 8 003.83 0.487 15.186 4 5 508.62 0.335 12.840 5 3 398.93 0.207 12.009 6 1 425.74 0.087 8.677 7 0 0—

從圖14可知：相對(duì)軸向力的解析結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果的最大誤差發(fā)生在第5圈螺紋處，且誤差小于5%；相對(duì)軸向力的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的平均誤差在3%以?xún)?nèi)；相對(duì)軸向力的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果變化的整體趨勢(shì)具有一致性。

圖14 螺栓螺母各圈螺紋軸向力占比Fig. 14 Axial force ratio of each cross section of bolts and nuts

3.3 螺紋牙底應(yīng)力集中系數(shù)驗(yàn)證

現(xiàn)有研究資料表明，螺紋連接結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力發(fā)生在螺栓螺紋根部，位于一個(gè)螺距內(nèi)的螺母受載表面。使用第1節(jié)中獲得的帶升角的螺紋有限元模型研究螺紋根部周?chē)膽?yīng)力集中情況。螺紋在受載時(shí)，連接件中的載荷分布非常不均勻，有些螺紋可能已經(jīng)達(dá)到塑性階段，而其他螺紋僅處于彈性狀態(tài)。螺紋根部存在的嚴(yán)重應(yīng)力集中往往會(huì)導(dǎo)致連接件疲勞失效。應(yīng)力集中系數(shù)

K

為缺口平面上局部峰值應(yīng)力σ與 名義應(yīng)力 σ之比，是衡量應(yīng)力集中嚴(yán)重性的重要指標(biāo)，表達(dá)式為：

由于螺紋緊固件的名義應(yīng)力是螺栓在外力（軸向拉力）作用下缺口處產(chǎn)生的平均應(yīng)力值，故可將式（26）改寫(xiě)為：

式中，

F

為橫截面上的合力，

A

為橫截面面積。選取圖15中序列號(hào)1′～6′指向的螺栓和螺母齒根位置處的應(yīng)力峰值作為 σ的取值。

圖15 螺栓螺母應(yīng)力云圖Fig. 15 Stress contour of the bolt and nut

根據(jù)式（26）、（27），計(jì)算各螺紋圈上對(duì)應(yīng)的螺紋齒根處應(yīng)力集中系數(shù)

K

，如圖16所示。從圖16可知，計(jì)算的應(yīng)力集中系數(shù)

K

沿螺紋軸線上背離連接件的方向上逐漸減小，該分布特點(diǎn)與文獻(xiàn)[22]和[23]中的理論和數(shù)值解一致。結(jié)果表明：螺紋根部是最危險(xiǎn)的應(yīng)力集中區(qū)，峰值應(yīng)力 σ首先發(fā)生在此區(qū)域；螺栓螺母嚙合的第1圈工作螺紋應(yīng)力集中系數(shù)最大，隨著螺紋圈數(shù)的增加，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，螺栓的應(yīng)力集中值比螺母的應(yīng)力集中值略大。

圖16 各螺紋圈上對(duì)應(yīng)的螺紋齒根處應(yīng)力集中系數(shù)Fig. 16 Stress concentration factor at the root of each thread ring

3.4 螺紋表面應(yīng)力分布

在不改變模型其他設(shè)置的情況下，將螺栓/螺母的材料參數(shù)加入塑性應(yīng)變，并重新進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到螺栓上Mises應(yīng)力分布和最大主塑性應(yīng)變分布，如圖17、18所示。

圖17 Mises應(yīng)力云圖Fig. 17 Contour of the equivalent stress

由圖17可知，前3圈螺紋承受載荷最大，且應(yīng)力的較大值主要集中在螺紋的根部位置，這與第2.2節(jié)的理論推導(dǎo)結(jié)果及以往的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。由圖18可知，塑性形變首先發(fā)生在螺栓的第1圈螺紋的根部，而實(shí)際工程中螺栓的疲勞斷裂也常發(fā)生在第1圈螺紋的根部。

圖18 最大主塑性應(yīng)變?cè)茍DFig. 18 Contour of the max principal plastic strain

4 結(jié) 論

本文基于螺紋緊固件垂直于螺紋軸線的任意橫截面形狀相同的事實(shí)，選用ISO給定的標(biāo)準(zhǔn)螺旋線公式建立了完整的螺紋3維有限元模型。依據(jù)該建模方案，在Qt平臺(tái)上借助OpenGL圖形庫(kù)，開(kāi)發(fā)了一套螺栓螺母有限元參數(shù)化建模軟件；通過(guò)此建模軟件對(duì)螺紋結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)控制，可以便捷地獲取不同型號(hào)的螺紋連接件有限元模型。然后，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法模擬了螺栓的擰緊過(guò)程，將數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與相應(yīng)理論計(jì)算或以往研究進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文建立的模型的有效性和保真性。