導彈敏捷轉(zhuǎn)彎段的新型非奇異終端滑?？刂?/h1>
2022-05-26 07:19:30趙新運于劍橋
宇航學報 2022年4期
趙新運，于劍橋
(北京理工大學宇航學院，北京 100081)
0 引 言
在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭中，實現(xiàn)導彈的快速大角度機動從而對目標進行有效的攻擊具有重要意義，如防空導彈在制導末端對機動逃逸目標進行有效攔截，空空導彈對位于載機后半球的目標進行有效攻擊等，這都需要導彈具有敏捷轉(zhuǎn)彎的能力。只依靠氣動舵不足以控制敏捷導彈的姿態(tài)運動，需要引入額外的控制方式，直接力/氣動力復合控制和推力矢量/氣動力復合控制是敏捷導彈普遍采用的兩種方式。
導彈在敏捷轉(zhuǎn)彎的過程中，其攻角往往會超過90°，動力學模型具有極強的非線性，常規(guī)的自動駕駛儀不再適用，且大攻角時氣動力具有極大的不確定性。由于系統(tǒng)具有快時變性、不確定性和強非線性等特點，所以非線性控制器性能的優(yōu)劣直接決定了敏捷導彈的性能。文獻[1]基于模型預(yù)測與自抗擾技術(shù)設(shè)計了直接力/氣動力復合控制律，重點研究了脈沖發(fā)動機的點火邏輯。文獻[2]提出一種有限時間內(nèi)收斂的非奇異積分滑模面，結(jié)合動態(tài)控制分配技術(shù)，設(shè)計了直接力/氣動力復合控制律?；谝环N固定時間收斂的函數(shù)，文獻[4]設(shè)計了相應(yīng)的滑模面，并結(jié)合動態(tài)控制分配技術(shù)設(shè)計了直接力/氣動力復合控制律。以上文獻雖然設(shè)計了直接力/氣動力復合控制系統(tǒng)，但是均未考慮大攻角階段，具有一定的局限性，并且以上文獻側(cè)重于直接力/氣動力系統(tǒng)的實現(xiàn)問題和控制分配問題。文獻[5]基于線性滑模面設(shè)計了直接力/氣動力復合控制系統(tǒng)，實現(xiàn)了導彈在鉛垂平面內(nèi)的180°掉頭轉(zhuǎn)彎。文獻[6]基于一種分段線性滑模面，采用等效控制和切換控制的方法分別設(shè)計了氣動舵控制律和直接力控制律，比線性滑模面的滑動速度快，但是其是漸近收斂的。文獻[7]以直接力作為唯一輸入，基于終端滑模實現(xiàn)了導彈的大角度機動，但是未考慮系統(tǒng)到達滑模面前的運動特性。文獻[8]考慮了大攻角下氣動力的不確定性，以直接力作為唯一輸入，基于線性滑模面和觀測器實現(xiàn)了對后方導彈的大角度機動攔截。此外，H∞方法、四回路增益調(diào)度方法等也被用于導彈的敏捷轉(zhuǎn)彎段。雖然滑模控制方法在敏捷轉(zhuǎn)彎控制中取得了一些成果，但在系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點時，如何在極大不確定性下提高系統(tǒng)收斂速度仍值得繼續(xù)研究。
滑?？刂凭哂袠O強的魯棒性，傳統(tǒng)滑模控制采用線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到平衡態(tài)，而終端滑模可以實現(xiàn)有限時間收斂，但控制項會出現(xiàn)奇異問題。文獻[11]提出的非奇異終端滑模(Non-singular terminal sliding mode,NTSM)控制方法，在保證有限時間收斂的同時，避免了奇異問題，在航空航天、機器人和伺服系統(tǒng)等非線性領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。擴張狀態(tài)觀測器(Extended state observer,ESO)是由中國科學院韓京清首次提出，能用來實時估計系統(tǒng)中不確定量的大小，實現(xiàn)模型和未知外擾的補償，而且不依賴于原系統(tǒng)模型，在不確定系統(tǒng)控制器的設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。
因此，本文針對具有快時變性、不確定性和強非線性等特點的敏捷導彈的直接力/氣動力復合控制律設(shè)計問題，提出了一種新型非奇異終端滑?？刂品椒āＪ紫?，建立了俯仰通道的小攻角動力學模型和大攻角動力學模型，并用傳統(tǒng)的非奇異終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了控制律。然后，針對敏捷轉(zhuǎn)彎時系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點的問題，為縮短到達平衡態(tài)的時間，設(shè)計了一種組合非奇異終端滑模面，提高了系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度，設(shè)計了改進的變系數(shù)雙冪次趨近律，提高了系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面的速度，并利用擴張狀態(tài)觀測器實時估計系統(tǒng)內(nèi)外擾動，消除了觀測誤差對系統(tǒng)造成的干擾，抑制了抖振。最后，證明了所提方法的有限時間收斂特性，通過仿真對比校驗了所提方法的有效性。
1 敏捷導彈動力學模型及問題描述
考慮一類直接力裝置，其安裝在彈體質(zhì)心之前，如圖1所示，假設(shè)該裝置可以在彈體坐標系的軸和軸提供變化連續(xù)可調(diào)節(jié)的直接力，定義直接力噴流裝置的閥門開度為,∈[-1,1]，沿軸和軸時為正，直接力噴流裝置的最大推力為。
圖1 直接力/氣動力復合控制導彈彈體配置Fig.1 The configuration of the missile with reaction-jet and aerodynamic compound control
導彈在敏捷轉(zhuǎn)彎過程中會經(jīng)歷大攻角階段，攻角小于40°時氣動參數(shù)可由DATCOM計算，攻角大于40°時，彈體表現(xiàn)為非流線體，造成氣流分離，文獻[5]將導彈假設(shè)為圓柱體，構(gòu)造了攻角、雷諾數(shù)和馬赫數(shù)的函數(shù)來求解氣動參數(shù)。此外，大攻角下氣動舵失效，因此分別建立俯仰通道的小攻角動力學模型和大攻角動力學模型。敏捷導彈的受力分析如圖2所示，小攻角動力學模型為
圖2 導彈受力分析圖Fig.2 Force analysis diagram of the missile
(1)
式中：是速度;=2是動壓；是空氣密度；是主發(fā)動機推力；是重力加速度；是主發(fā)動機開關(guān)；,,,,是氣動參數(shù)；是特征面積；是特征長度；是質(zhì)量；是轉(zhuǎn)動慣量；?是俯仰角；是攻角；是彈道傾角；是俯仰角速度；||≤是氣動舵舵偏角；是氣動舵能達到的最大舵偏角；∈[-1,1]是直接力噴流裝置的閥門開度;是直接力噴流裝置的最大推力；是直接力噴流裝置到導彈質(zhì)心的距離。
大攻角飛行時，式(1)中的力矩方程改為
(2)
式中：為氣動參數(shù)；為導彈質(zhì)心到壓心的距離。
控制器的設(shè)計目標是使得俯仰角?與期望俯仰角?的誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，并且保證控制器在未建模動態(tài)、系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動、外界干擾等影響下的魯棒性和跟蹤精度，在此基礎(chǔ)上盡可能提高系統(tǒng)收斂到平衡態(tài)的速度。因此，可以將速度、攻角作為系統(tǒng)內(nèi)部變化，則控制對象的狀態(tài)方程可寫為
(3)
(4)
小攻角階段氣動舵和直接力裝置同時工作，根據(jù)二者執(zhí)行機構(gòu)的特性，將氣動舵作為等效控制，將直接力作為切換控制；大攻角階段氣動舵失效，直接力裝置單獨控制系統(tǒng)，原理框圖如圖3所示。以俯仰角作為導彈敏捷轉(zhuǎn)彎時的控制指令，定義俯仰角跟蹤誤差及其導數(shù)為
圖3 控制系統(tǒng)原理框圖Fig.3 Schematic diagram of control system
(5)
可得系統(tǒng)誤差的狀態(tài)方程為
(6)
2 新型非奇異終端滑?？刂破?/h2>
本節(jié)先使用傳統(tǒng)的非奇異終端滑模控制方法對系統(tǒng)(3)設(shè)計控制律，通過分析其不足之處進而引出新型非奇異終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計。傳統(tǒng)的非奇異終端滑模面為
(7)
式中：>0;1<<2,,是正奇數(shù)。
進入滑模面后，從任意初始狀態(tài)(0)收斂到原點的所需時間為
(8)
基于指數(shù)趨近律的控制為
(9)
(10)
式中：>0,>0,sgn(·)是符號函數(shù)。
傳統(tǒng)非奇異終端滑模控制方法起到處理不確定性作用的是“-sgn()”這一項，由于大攻角時系統(tǒng)具有極大的不確定性，因此不確定性干擾的上界要取到很大的值才能保證系統(tǒng)的魯棒性，這將使得系統(tǒng)的抖振更加嚴重。當系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面=0上運動時有
(11)
“1<<2,,是正奇數(shù)”是為了避免控制中出現(xiàn)負指數(shù)項，即避免奇異問題，但是這使得式(11)中的指數(shù)1/2<<1，當||>1時，其收斂速度較慢。而敏捷轉(zhuǎn)彎時系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點，使得系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后仍有||>1，因此，提高||>1時系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度是新型滑模面的設(shè)計目標。
2.1 組合非奇異終端滑模面
基于上述分析，設(shè)計一種組合非奇異終端滑模面
=
(12)
式中：>0,1<<2,1<<2,>。
系統(tǒng)進入滑模面=0后，從任意初始狀態(tài)(0)收斂到原點的所需時間為
(13)
當=0且|(0)|<1時有
(14)
化簡后有
(15)
積分有
(16)
解得
(17)
當=0且|(0)|≥1時有
(18)
化簡后有
(19)
積分有
(20)
解得從(0)收斂到||=1的所需時間為
(21)
根據(jù)式(16)，得到從||=1收斂到原點的所需時間為
(22)
因此，從初始狀態(tài)(0)收斂到原點的所需時間為
(23)
綜合式(17)和式(23)，證畢。
當系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面=0上運動時有式(15)和式(19)。以||=1為界限，將系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面=0上的運動分為兩個階段，當||<1時有式(15),||的指數(shù)12<1<1，有利于增加此滑動階段的收斂速度；當||>1時有式(19),||的指數(shù)>1，顯著增加了此滑動階段的收斂速度，且當||越大時，||減小的速率越大，則系統(tǒng)進入滑模面=0后，從大初始狀態(tài)(0)收斂到原點的過程中，擁有更快的收斂速度，縮短了系統(tǒng)在滑動階段的收斂時間。
當取=,=時，對于||<1時的組合非奇異終端滑模面與傳統(tǒng)的非奇異終端滑模面具有相同的形式。為了公平起見，式(7)和式(12)中的參數(shù)分別取==13,=7,=5,==14,=3,=15，得到系統(tǒng)進入滑模面后收斂到原點所需的時間與初始狀態(tài)的關(guān)系如圖4所示，可見組合非奇異終端滑模面縮短了||>1時系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂時間。
圖4 不同初始狀態(tài)e1(0)對應(yīng)的收斂時間Fig.4 Convergence time with different e1(0)
2.2 改進的雙冪次趨近律
(1+||)
(24)
式中：>0,>0,>1,0<<1。
在趨近律(24)的作用下，從任意初始狀態(tài)(0)收斂到滑模面=0的所需時間為
(25)
不妨令>0,對式(24)進行放縮有
sgn()](1+)
(26)
(27)
積分有
(28)
解得
(29)
(30)
積分有
(31)
解得
(32)
根據(jù)式(29)，得到從|(0)|=1收斂到=0的所需時間為
(33)
因此，從初始狀態(tài)|(0)|>1收斂到=0的所需時間為
(34)
當<0時,只需將式(26)～(28)、式(30)～(31)中的不等式符號變號,可得到相同結(jié)論。綜合式(29)和式(34)，證畢。
2.3 基于擴張狀態(tài)觀測器的干擾項估計
大攻角階段，氣動力具有極大的不確定性，和未建模動態(tài)、外部干擾等嚴重影響了控制器的性能。傳統(tǒng)的非奇異終端滑?？刂品椒ú捎檬?10)中“-sgn()”這一項來處理不確定性，為保證系統(tǒng)的魯棒性，需要將不確定性干擾的上界取很大的值，這無疑會使得系統(tǒng)的抖振更加嚴重。擴張狀態(tài)觀測器可以實時估計系統(tǒng)內(nèi)外擾動，消除觀測誤差對系統(tǒng)造成的干擾，實現(xiàn)對不確定性的估計與補償，現(xiàn)將不確定性擴張到狀態(tài)變量中，設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器為
(35)
式中：,是,的估計值，=-是估計誤差，05<<1,=2-1,=1,=+-1,>1,>1,>0,>0,sgmf()為
(36)
式中：>0,>0。
式(35)中的估計誤差將在有限時間內(nèi)收斂到零，即|-|≤,>0,→0，相關(guān)證明見參考文獻[24]的定理1及其推論。
2.4 穩(wěn)定性分析
至此，根據(jù)式(12)、式(24)和式(35)，設(shè)計基于組合非奇異終端滑模面、改進的變系數(shù)雙冪次趨近律和擴張狀態(tài)觀測器的新型控制律為
(37)
(38)
控制律(37)～(38)均無負指數(shù)項，因此不會發(fā)生奇異現(xiàn)象。
若選取滑模面(12)，在控制律(37)～(38)的作用下，系統(tǒng)(3)的跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零。
選取李雅普諾夫函數(shù)
(39)
對式(39)求導有
(40)
將式(6)代入式(40)得
(41)
將式(37)～(38)代入式(41)得
(42)
式中：=1+||,為
(43)
當≠0即>0時，對式(42)進行變換有
(44)
(45)
等價于滑模變量在有限時間≤內(nèi)收斂到
(46)
(47)
解得從(0)≥收斂到的時間為
(48)
同理，對式(42)進行變換有
(49)
(50)
等價于滑模變量在有限時間≤內(nèi)收斂到
(51)
(52)
解得從(0)≥收斂到的時間為
(53)
綜合式(46)和式(51)，滑模變量在有限時間內(nèi)收斂到
(54)
注意到式(54)中的擴張狀態(tài)觀測器估計誤差在有限時間收斂到零，因此滑模變量可在有限時間內(nèi)收斂到零。
當=0即=0時，將式(37)～(38)代入式(6)得
(55)
結(jié)合定理1，證畢。
3 仿真校驗
將傳統(tǒng)的非奇異終端滑模控制與本文提出的新型非奇異終端滑?？刂朴糜诿艚蒉D(zhuǎn)彎的姿態(tài)角跟蹤，進行對比仿真以校驗本文所提出方法的性能。仿真所需要的導彈結(jié)構(gòu)參數(shù)和氣動參數(shù)見參考文獻[5],直接力噴流裝置的最大推力=6000 N，主發(fā)動機在俯仰角大于100°時點火，主發(fā)動機推力=5000 N，初始攻角、彈道傾角和俯仰角均為零，初始速度為100 m/s，初始位置為(0 m,0 m)，氣動舵偏角的最大值=20°，氣動舵和直接力噴流裝置的動態(tài)特性均由一階慣性環(huán)節(jié)描述，氣動舵的時間常數(shù)=1180，直接力噴流裝置的時間常數(shù)=1500。定義系統(tǒng)內(nèi)外干擾總和為=2sin3,傳統(tǒng)的非奇異終端滑?？刂坡傻膮?shù)=13,=7,=5,=44,=44,=22,本文控制律的參數(shù)=13,=14,=37,=15,=44,=44,=3,=04,=08,=101,=5,=005,=200,=50,=003。并給定俯仰角指令?=π。
仿真結(jié)果如圖5～12所示。彈道曲線如圖5所示，NTSM方法和本文方法均能實現(xiàn)180°掉頭轉(zhuǎn)彎，且本文方法的轉(zhuǎn)彎半徑更小。俯仰角、攻角和彈道傾角曲線如圖6所示，導彈在直接力裝置和氣動舵的作用下迅速建立攻角，攻角最大值在150°左右，最終攻角趨于零，彈道傾角在2～3 s時迅速增加，最終基本與俯仰角相等，趨于180°，且本文方法率先建立起攻角，當攻角達到最大值時率先衰減。
圖5 彈道曲線Fig.5 Curves of trajectory
圖6 俯仰角、攻角和彈道傾角變化曲線Fig.6 Curves of pitch angle,attack of angle and flight path angle
俯仰角的響應(yīng)曲線如圖7所示，NTSM方法和本文方法均能快速響應(yīng)俯仰角指令，均無超調(diào)，NTSM方法的上升時間為1.030 s，本文方法的上升時間為0.619 s，縮短了0.411 s，NTSM方法到達穩(wěn)態(tài)值的時間為2.262 s，本文方法到達穩(wěn)態(tài)值的時間為1.827 s，縮短了0.435 s。俯仰角速度變化曲線如圖8所示，在敏捷轉(zhuǎn)彎初始階段，本文方法的俯仰角速度大于NTSM的，使得本文方法的俯仰角變化比NTSM的更快。
圖7 指令俯仰角和實際俯仰角變化曲線Fig.7 Curves of command pitch angle and actual pitch angle
圖8 俯仰角速度變化曲線Fig.8 Curves of pitch angular velocity
速度變化曲線如圖9所示，NTSM方法和本文方法的速度均是先減小至20 m/s左右然后增大，且本文方法的速度減小得快，增加得也快。氣動舵指令曲線如圖10所示，直接力指令如圖11所示，NTSM方法出現(xiàn)了明顯的抖振現(xiàn)象，本文方法控制量變化平滑，抑制了抖振，這得益于改進的變系數(shù)雙冪次趨近律和擴張狀態(tài)觀測器對不確定性的動態(tài)補償。不確定量變化曲線如圖12所示，擴張狀態(tài)觀測器精確實時地估計了擾動的大小。
圖9 速度曲線Fig.9 Curves of velocity
圖10 氣動舵指令曲線Fig.10 Curves of elevator deflection command
圖11 直接力指令曲線Fig.11 Curves of reaction-jet command
圖12 不確定量變化曲線Fig.12 Curves of uncertainty
4 結(jié) 論
本文提出的導彈敏捷轉(zhuǎn)彎段的新型非奇異終端滑?？刂品椒ň哂腥缦聝?yōu)勢：
1)該控制方法保證系統(tǒng)在未建模動態(tài)、系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動、外界干擾等影響下仍具有較強的魯棒性和較高的跟蹤精度。
2)該控制方法不僅能夠提高系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度，而且能夠提高系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面的速度，并抑制了抖振，實現(xiàn)了跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，解決了系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點的問題，大大縮短了系統(tǒng)的收斂時間。
3)該控制方法中的擴張狀態(tài)觀測器可以實時估計系統(tǒng)內(nèi)外擾動，消除了觀測誤差對系統(tǒng)造成的干擾，實現(xiàn)了不確定性的動態(tài)補償。
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導彈在敏捷轉(zhuǎn)彎的過程中，其攻角往往會超過90°，動力學模型具有極強的非線性，常規(guī)的自動駕駛儀不再適用，且大攻角時氣動力具有極大的不確定性。由于系統(tǒng)具有快時變性、不確定性和強非線性等特點，所以非線性控制器性能的優(yōu)劣直接決定了敏捷導彈的性能。文獻[1]基于模型預(yù)測與自抗擾技術(shù)設(shè)計了直接力/氣動力復合控制律，重點研究了脈沖發(fā)動機的點火邏輯。文獻[2]提出一種有限時間內(nèi)收斂的非奇異積分滑模面，結(jié)合動態(tài)控制分配技術(shù)，設(shè)計了直接力/氣動力復合控制律?；谝环N固定時間收斂的函數(shù)，文獻[4]設(shè)計了相應(yīng)的滑模面，并結(jié)合動態(tài)控制分配技術(shù)設(shè)計了直接力/氣動力復合控制律。以上文獻雖然設(shè)計了直接力/氣動力復合控制系統(tǒng)，但是均未考慮大攻角階段，具有一定的局限性，并且以上文獻側(cè)重于直接力/氣動力系統(tǒng)的實現(xiàn)問題和控制分配問題。文獻[5]基于線性滑模面設(shè)計了直接力/氣動力復合控制系統(tǒng)，實現(xiàn)了導彈在鉛垂平面內(nèi)的180°掉頭轉(zhuǎn)彎。文獻[6]基于一種分段線性滑模面，采用等效控制和切換控制的方法分別設(shè)計了氣動舵控制律和直接力控制律，比線性滑模面的滑動速度快，但是其是漸近收斂的。文獻[7]以直接力作為唯一輸入，基于終端滑模實現(xiàn)了導彈的大角度機動，但是未考慮系統(tǒng)到達滑模面前的運動特性。文獻[8]考慮了大攻角下氣動力的不確定性，以直接力作為唯一輸入，基于線性滑模面和觀測器實現(xiàn)了對后方導彈的大角度機動攔截。此外，H∞方法、四回路增益調(diào)度方法等也被用于導彈的敏捷轉(zhuǎn)彎段。雖然滑模控制方法在敏捷轉(zhuǎn)彎控制中取得了一些成果，但在系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點時，如何在極大不確定性下提高系統(tǒng)收斂速度仍值得繼續(xù)研究。
滑?？刂凭哂袠O強的魯棒性，傳統(tǒng)滑模控制采用線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到平衡態(tài)，而終端滑模可以實現(xiàn)有限時間收斂，但控制項會出現(xiàn)奇異問題。文獻[11]提出的非奇異終端滑模(Non-singular terminal sliding mode,NTSM)控制方法，在保證有限時間收斂的同時，避免了奇異問題，在航空航天、機器人和伺服系統(tǒng)等非線性領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。擴張狀態(tài)觀測器(Extended state observer,ESO)是由中國科學院韓京清首次提出，能用來實時估計系統(tǒng)中不確定量的大小，實現(xiàn)模型和未知外擾的補償，而且不依賴于原系統(tǒng)模型，在不確定系統(tǒng)控制器的設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。
因此，本文針對具有快時變性、不確定性和強非線性等特點的敏捷導彈的直接力/氣動力復合控制律設(shè)計問題，提出了一種新型非奇異終端滑?？刂品椒āＪ紫?，建立了俯仰通道的小攻角動力學模型和大攻角動力學模型，并用傳統(tǒng)的非奇異終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了控制律。然后，針對敏捷轉(zhuǎn)彎時系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點的問題，為縮短到達平衡態(tài)的時間，設(shè)計了一種組合非奇異終端滑模面，提高了系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度，設(shè)計了改進的變系數(shù)雙冪次趨近律，提高了系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面的速度，并利用擴張狀態(tài)觀測器實時估計系統(tǒng)內(nèi)外擾動，消除了觀測誤差對系統(tǒng)造成的干擾，抑制了抖振。最后，證明了所提方法的有限時間收斂特性，通過仿真對比校驗了所提方法的有效性。
1 敏捷導彈動力學模型及問題描述
考慮一類直接力裝置，其安裝在彈體質(zhì)心之前，如圖1所示，假設(shè)該裝置可以在彈體坐標系的軸和軸提供變化連續(xù)可調(diào)節(jié)的直接力，定義直接力噴流裝置的閥門開度為,∈[-1,1]，沿軸和軸時為正，直接力噴流裝置的最大推力為。
圖1 直接力/氣動力復合控制導彈彈體配置Fig.1 The configuration of the missile with reaction-jet and aerodynamic compound control
導彈在敏捷轉(zhuǎn)彎過程中會經(jīng)歷大攻角階段，攻角小于40°時氣動參數(shù)可由DATCOM計算，攻角大于40°時，彈體表現(xiàn)為非流線體，造成氣流分離，文獻[5]將導彈假設(shè)為圓柱體，構(gòu)造了攻角、雷諾數(shù)和馬赫數(shù)的函數(shù)來求解氣動參數(shù)。此外，大攻角下氣動舵失效，因此分別建立俯仰通道的小攻角動力學模型和大攻角動力學模型。敏捷導彈的受力分析如圖2所示，小攻角動力學模型為
圖2 導彈受力分析圖Fig.2 Force analysis diagram of the missile
(1)
式中：是速度;=2是動壓；是空氣密度；是主發(fā)動機推力；是重力加速度；是主發(fā)動機開關(guān)；,,,,是氣動參數(shù)；是特征面積；是特征長度；是質(zhì)量；是轉(zhuǎn)動慣量；?是俯仰角；是攻角；是彈道傾角；是俯仰角速度；||≤是氣動舵舵偏角；是氣動舵能達到的最大舵偏角；∈[-1,1]是直接力噴流裝置的閥門開度;是直接力噴流裝置的最大推力；是直接力噴流裝置到導彈質(zhì)心的距離。
大攻角飛行時，式(1)中的力矩方程改為
(2)
式中：為氣動參數(shù)；為導彈質(zhì)心到壓心的距離。
控制器的設(shè)計目標是使得俯仰角?與期望俯仰角?的誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，并且保證控制器在未建模動態(tài)、系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動、外界干擾等影響下的魯棒性和跟蹤精度，在此基礎(chǔ)上盡可能提高系統(tǒng)收斂到平衡態(tài)的速度。因此，可以將速度、攻角作為系統(tǒng)內(nèi)部變化，則控制對象的狀態(tài)方程可寫為
(3)
(4)
小攻角階段氣動舵和直接力裝置同時工作，根據(jù)二者執(zhí)行機構(gòu)的特性，將氣動舵作為等效控制，將直接力作為切換控制；大攻角階段氣動舵失效，直接力裝置單獨控制系統(tǒng)，原理框圖如圖3所示。以俯仰角作為導彈敏捷轉(zhuǎn)彎時的控制指令，定義俯仰角跟蹤誤差及其導數(shù)為
圖3 控制系統(tǒng)原理框圖Fig.3 Schematic diagram of control system
(5)
可得系統(tǒng)誤差的狀態(tài)方程為
(6)
2 新型非奇異終端滑?？刂破?/h2>
本節(jié)先使用傳統(tǒng)的非奇異終端滑模控制方法對系統(tǒng)(3)設(shè)計控制律，通過分析其不足之處進而引出新型非奇異終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計。傳統(tǒng)的非奇異終端滑模面為
(7)
式中：>0;1<<2,,是正奇數(shù)。
進入滑模面后，從任意初始狀態(tài)(0)收斂到原點的所需時間為
(8)
基于指數(shù)趨近律的控制為
(9)
(10)
式中：>0,>0,sgn(·)是符號函數(shù)。
傳統(tǒng)非奇異終端滑模控制方法起到處理不確定性作用的是“-sgn()”這一項，由于大攻角時系統(tǒng)具有極大的不確定性，因此不確定性干擾的上界要取到很大的值才能保證系統(tǒng)的魯棒性，這將使得系統(tǒng)的抖振更加嚴重。當系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面=0上運動時有
(11)
“1<<2,,是正奇數(shù)”是為了避免控制中出現(xiàn)負指數(shù)項，即避免奇異問題，但是這使得式(11)中的指數(shù)1/2<<1，當||>1時，其收斂速度較慢。而敏捷轉(zhuǎn)彎時系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點，使得系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后仍有||>1，因此，提高||>1時系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度是新型滑模面的設(shè)計目標。
2.1 組合非奇異終端滑模面
基于上述分析，設(shè)計一種組合非奇異終端滑模面
=
(12)
式中：>0,1<<2,1<<2,>。
系統(tǒng)進入滑模面=0后，從任意初始狀態(tài)(0)收斂到原點的所需時間為
(13)
當=0且|(0)|<1時有
(14)
化簡后有
(15)
積分有
(16)
解得
(17)
當=0且|(0)|≥1時有
(18)
化簡后有
(19)
積分有
(20)
解得從(0)收斂到||=1的所需時間為
(21)
根據(jù)式(16)，得到從||=1收斂到原點的所需時間為
(22)
因此，從初始狀態(tài)(0)收斂到原點的所需時間為
(23)
綜合式(17)和式(23)，證畢。
當系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面=0上運動時有式(15)和式(19)。以||=1為界限，將系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面=0上的運動分為兩個階段，當||<1時有式(15),||的指數(shù)12<1<1，有利于增加此滑動階段的收斂速度；當||>1時有式(19),||的指數(shù)>1，顯著增加了此滑動階段的收斂速度，且當||越大時，||減小的速率越大，則系統(tǒng)進入滑模面=0后，從大初始狀態(tài)(0)收斂到原點的過程中，擁有更快的收斂速度，縮短了系統(tǒng)在滑動階段的收斂時間。
當取=,=時，對于||<1時的組合非奇異終端滑模面與傳統(tǒng)的非奇異終端滑模面具有相同的形式。為了公平起見，式(7)和式(12)中的參數(shù)分別取==13,=7,=5,==14,=3,=15，得到系統(tǒng)進入滑模面后收斂到原點所需的時間與初始狀態(tài)的關(guān)系如圖4所示，可見組合非奇異終端滑模面縮短了||>1時系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂時間。
圖4 不同初始狀態(tài)e1(0)對應(yīng)的收斂時間Fig.4 Convergence time with different e1(0)
2.2 改進的雙冪次趨近律
(1+||)
(24)
式中：>0,>0,>1,0<<1。
在趨近律(24)的作用下，從任意初始狀態(tài)(0)收斂到滑模面=0的所需時間為
(25)
不妨令>0,對式(24)進行放縮有
sgn()](1+)
(26)
(27)
積分有
(28)
解得
(29)
(30)
積分有
(31)
解得
(32)
根據(jù)式(29)，得到從|(0)|=1收斂到=0的所需時間為
(33)
因此，從初始狀態(tài)|(0)|>1收斂到=0的所需時間為
(34)
當<0時,只需將式(26)～(28)、式(30)～(31)中的不等式符號變號,可得到相同結(jié)論。綜合式(29)和式(34)，證畢。
2.3 基于擴張狀態(tài)觀測器的干擾項估計
大攻角階段，氣動力具有極大的不確定性，和未建模動態(tài)、外部干擾等嚴重影響了控制器的性能。傳統(tǒng)的非奇異終端滑?？刂品椒ú捎檬?10)中“-sgn()”這一項來處理不確定性，為保證系統(tǒng)的魯棒性，需要將不確定性干擾的上界取很大的值，這無疑會使得系統(tǒng)的抖振更加嚴重。擴張狀態(tài)觀測器可以實時估計系統(tǒng)內(nèi)外擾動，消除觀測誤差對系統(tǒng)造成的干擾，實現(xiàn)對不確定性的估計與補償，現(xiàn)將不確定性擴張到狀態(tài)變量中，設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器為
(35)
式中：,是,的估計值，=-是估計誤差，05<<1,=2-1,=1,=+-1,>1,>1,>0,>0,sgmf()為
(36)
式中：>0,>0。
式(35)中的估計誤差將在有限時間內(nèi)收斂到零，即|-|≤,>0,→0，相關(guān)證明見參考文獻[24]的定理1及其推論。
2.4 穩(wěn)定性分析
至此，根據(jù)式(12)、式(24)和式(35)，設(shè)計基于組合非奇異終端滑模面、改進的變系數(shù)雙冪次趨近律和擴張狀態(tài)觀測器的新型控制律為
(37)
(38)
控制律(37)～(38)均無負指數(shù)項，因此不會發(fā)生奇異現(xiàn)象。
若選取滑模面(12)，在控制律(37)～(38)的作用下，系統(tǒng)(3)的跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零。
選取李雅普諾夫函數(shù)
(39)
對式(39)求導有
(40)
將式(6)代入式(40)得
(41)
將式(37)～(38)代入式(41)得
(42)
式中：=1+||,為
(43)
當≠0即>0時，對式(42)進行變換有
(44)
(45)
等價于滑模變量在有限時間≤內(nèi)收斂到
(46)
(47)
解得從(0)≥收斂到的時間為
(48)
同理，對式(42)進行變換有
(49)
(50)
等價于滑模變量在有限時間≤內(nèi)收斂到
(51)
(52)
解得從(0)≥收斂到的時間為
(53)
綜合式(46)和式(51)，滑模變量在有限時間內(nèi)收斂到
(54)
注意到式(54)中的擴張狀態(tài)觀測器估計誤差在有限時間收斂到零，因此滑模變量可在有限時間內(nèi)收斂到零。
當=0即=0時，將式(37)～(38)代入式(6)得
(55)
結(jié)合定理1，證畢。
3 仿真校驗
將傳統(tǒng)的非奇異終端滑模控制與本文提出的新型非奇異終端滑?？刂朴糜诿艚蒉D(zhuǎn)彎的姿態(tài)角跟蹤，進行對比仿真以校驗本文所提出方法的性能。仿真所需要的導彈結(jié)構(gòu)參數(shù)和氣動參數(shù)見參考文獻[5],直接力噴流裝置的最大推力=6000 N，主發(fā)動機在俯仰角大于100°時點火，主發(fā)動機推力=5000 N，初始攻角、彈道傾角和俯仰角均為零，初始速度為100 m/s，初始位置為(0 m,0 m)，氣動舵偏角的最大值=20°，氣動舵和直接力噴流裝置的動態(tài)特性均由一階慣性環(huán)節(jié)描述，氣動舵的時間常數(shù)=1180，直接力噴流裝置的時間常數(shù)=1500。定義系統(tǒng)內(nèi)外干擾總和為=2sin3,傳統(tǒng)的非奇異終端滑?？刂坡傻膮?shù)=13,=7,=5,=44,=44,=22,本文控制律的參數(shù)=13,=14,=37,=15,=44,=44,=3,=04,=08,=101,=5,=005,=200,=50,=003。并給定俯仰角指令?=π。
仿真結(jié)果如圖5～12所示。彈道曲線如圖5所示，NTSM方法和本文方法均能實現(xiàn)180°掉頭轉(zhuǎn)彎，且本文方法的轉(zhuǎn)彎半徑更小。俯仰角、攻角和彈道傾角曲線如圖6所示，導彈在直接力裝置和氣動舵的作用下迅速建立攻角，攻角最大值在150°左右，最終攻角趨于零，彈道傾角在2～3 s時迅速增加，最終基本與俯仰角相等，趨于180°，且本文方法率先建立起攻角，當攻角達到最大值時率先衰減。
圖5 彈道曲線Fig.5 Curves of trajectory
圖6 俯仰角、攻角和彈道傾角變化曲線Fig.6 Curves of pitch angle,attack of angle and flight path angle
俯仰角的響應(yīng)曲線如圖7所示，NTSM方法和本文方法均能快速響應(yīng)俯仰角指令，均無超調(diào)，NTSM方法的上升時間為1.030 s，本文方法的上升時間為0.619 s，縮短了0.411 s，NTSM方法到達穩(wěn)態(tài)值的時間為2.262 s，本文方法到達穩(wěn)態(tài)值的時間為1.827 s，縮短了0.435 s。俯仰角速度變化曲線如圖8所示，在敏捷轉(zhuǎn)彎初始階段，本文方法的俯仰角速度大于NTSM的，使得本文方法的俯仰角變化比NTSM的更快。
圖7 指令俯仰角和實際俯仰角變化曲線Fig.7 Curves of command pitch angle and actual pitch angle
圖8 俯仰角速度變化曲線Fig.8 Curves of pitch angular velocity
速度變化曲線如圖9所示，NTSM方法和本文方法的速度均是先減小至20 m/s左右然后增大，且本文方法的速度減小得快，增加得也快。氣動舵指令曲線如圖10所示，直接力指令如圖11所示，NTSM方法出現(xiàn)了明顯的抖振現(xiàn)象，本文方法控制量變化平滑，抑制了抖振，這得益于改進的變系數(shù)雙冪次趨近律和擴張狀態(tài)觀測器對不確定性的動態(tài)補償。不確定量變化曲線如圖12所示，擴張狀態(tài)觀測器精確實時地估計了擾動的大小。
圖9 速度曲線Fig.9 Curves of velocity
圖10 氣動舵指令曲線Fig.10 Curves of elevator deflection command
圖11 直接力指令曲線Fig.11 Curves of reaction-jet command
圖12 不確定量變化曲線Fig.12 Curves of uncertainty
4 結(jié) 論
本文提出的導彈敏捷轉(zhuǎn)彎段的新型非奇異終端滑?？刂品椒ň哂腥缦聝?yōu)勢：
1)該控制方法保證系統(tǒng)在未建模動態(tài)、系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動、外界干擾等影響下仍具有較強的魯棒性和較高的跟蹤精度。
2)該控制方法不僅能夠提高系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度，而且能夠提高系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面的速度，并抑制了抖振，實現(xiàn)了跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，解決了系統(tǒng)初始狀態(tài)遠離平衡點的問題，大大縮短了系統(tǒng)的收斂時間。
3)該控制方法中的擴張狀態(tài)觀測器可以實時估計系統(tǒng)內(nèi)外擾動，消除了觀測誤差對系統(tǒng)造成的干擾，實現(xiàn)了不確定性的動態(tài)補償。
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