于 博，余水淋，康小錄，趙 青

(1.電子科技大學信息地學研究中心，成都 611731；2.上?？臻g推進研究所，上海 201112；3.上?？臻g發(fā)動機工程技術(shù)研究中心，上海 201112)

0 引 言

超聲電噴推力器(Ultrasonically aided electros-pray thruster，UAET)是一種利用超聲波源對發(fā)射極液面振動來產(chǎn)生帶電液滴，在電場作用下形成定向推力的一種推力器。與其他微推進技術(shù)相比，UAET的性能一般覆蓋1～100 μN推力、500～5000 s比沖的推進性能范圍，并且在工作過程中可以隨時調(diào)整推進性能(工況可調(diào)技術(shù))，是一種適用于微小衛(wèi)星的推進技術(shù)。目前，實驗室水平UAET樣機的工作性能距離工程化應用階段尚有差距。因此，現(xiàn)階段關(guān)于UAET的研究依然集中在性能提升方面。

關(guān)于UAET的研究歷程始于2010年，最初的研究多集中于原理驗證和工作特性的探索，例如，電場強度、超聲波頻率對液滴形成質(zhì)量、體積以及荷質(zhì)比的影響，以及駐波大小對發(fā)射液滴尺寸的影響等。同時，超聲振動機制可以增益電噴液滴的發(fā)射。接著，發(fā)射極采用柵網(wǎng)設計時可提高放電電流密度，進而提升推力和比沖，然而，這種設計方法會給柵極帶來一定的腐蝕以及在高電壓工況下的擊穿打火問題。除上述影響推進性能的因素外，流體工質(zhì)的電導率和黏性也是影響推進性能的因素之一：工質(zhì)電導率的提升可以令液滴充電速度增加，提高發(fā)射液滴的荷質(zhì)比，而工質(zhì)黏性的增加可以讓液滴在充電時有足夠的時間累積電荷，令液滴的帶電量達到一定數(shù)量時才能被牽引出駐波間斷，同樣可以提高發(fā)射液滴的荷質(zhì)比。此外，液滴的體積、黏性在羽流輸運中會影響推進性能，體積大、黏性小的液滴在羽流中更易發(fā)生破碎和對周圍環(huán)境的輻射散熱，導致液滴所持動能下降，減小推力、比沖等性能參數(shù)。其次，UAET的液滴發(fā)射并不能完全等同于泰勒錐的發(fā)射機理，在高頻超聲波源的誘導下，細小駐波尖端只有很少的時間和很小的電荷容納空間來制造帶電液滴，并且駐波的細長構(gòu)形可以觸發(fā)更高的液滴發(fā)射能力。

綜上，關(guān)于UAET性能參數(shù)的優(yōu)化與調(diào)整已存在較為完整的理論，但依然有一些未涉及的研究領(lǐng)域：駐波的形成過程對發(fā)射液滴存在顯著影響，而關(guān)于駐波相關(guān)尺寸參數(shù)的影響因素和調(diào)整方法尚處于研究不足的狀態(tài)，并且，超聲波頻率、振幅對駐波相關(guān)尺寸參數(shù)(陣列間距、高度以及駐波底面最大半徑)的影響直接關(guān)系到液滴發(fā)射能力，這也是現(xiàn)階段制約UAET性能優(yōu)化的關(guān)鍵問題。

為解決上述問題，本文將針對UAET的駐波尺寸特性進行詳細研究。由于目前試驗方法的局限，以試驗方法無法揭示微秒時間尺度、微米空間尺度的駐波形成過程的細節(jié)，因此，需要采用數(shù)值方法與試驗方法相結(jié)合來針對上述問題進行研究。首先，建立柱坐標下的液面振動微分方程，使用有限差分方法進行離散，設定振動源項為發(fā)射面邊緣的等向心振動分布，其次，以高速相機對駐波尺寸參數(shù)的測量數(shù)據(jù)驗證數(shù)值模型的計算精度，驗證數(shù)值方法的合理性。在此基礎(chǔ)上，利用該數(shù)值模型分析超聲頻率和振幅對駐波相關(guān)尺寸的影響規(guī)律和相應機理，為UAET的駐波尺寸優(yōu)化提供理論參考。

1 數(shù)值模型

1.1 物理問題的微觀描述

UAET的發(fā)射極為圓盤狀金屬電極，發(fā)射極中心有細長通道可對液滴工質(zhì)進行補給，而發(fā)射極表面通常有工質(zhì)形成的液膜覆蓋。在推力器正常工作時，發(fā)射極會產(chǎn)生振動，從而誘發(fā)液膜表面的駐波形成。因此，UAET的液膜表面振動問題屬于液體工質(zhì)的振動問題，式(1)描述了液膜空間內(nèi)各點的方向的振動位移：

(1)

其中，表示垂直于面的振動位移，(,,)為由發(fā)射極振動所產(chǎn)生的令液面邊緣向上的張力源項，為液體工質(zhì)的剪切率，表征液面波傳遞過程的能量衰減效應，系數(shù)可描述為

=

(2)

式中:為液面微元網(wǎng)格內(nèi)的表面張力，為與方向垂直的面網(wǎng)格面積，為液體工質(zhì)密度?？梢杂晌墨I[15]提出的CSF模型來進行計算，

(3)

式中:為表面張力系數(shù)，其中為Level-Set函數(shù)，與所在空間位置有關(guān)，()為曲率矢量，()為Heaviside函數(shù)，可描述為

(4)

其中，為液-氣界面的過渡區(qū)域厚度，可取=15(為邊界處最小面網(wǎng)格尺寸)。

由于(,,)無法通過試驗方法測得，故本文需要引入一些假設。首先，超聲波振源的振動是比較復雜的，當這種振動作用傳遞到液膜時會產(chǎn)生2個方面的效果：對液膜產(chǎn)生橫向振動及縱向振動。但根據(jù)其他形式表面駐波的形成機理，表面駐波只能通過橫波干涉產(chǎn)生，故本文認為縱向振動作用對駐波形成可以忽略，此為第1個假設。其次，(,,)與波源的振動參數(shù)有關(guān)，在圖1中，發(fā)射極、變幅桿以及振源是相互接觸的，因此發(fā)射極的振動頻率與振源一致，但振幅會有所不同，故(,,)的頻率與振源一致，此為第2個假設。而張力的振幅應添加經(jīng)驗系數(shù)。

圖1 UAET推力器示意圖Fig.1 Schematic diagram of UAET

需要說明的是，振源的橫向振動方向應為平面上的某個方向，本文不妨取沿軸的方向。式(5)描述了發(fā)射極表面雙振點在任意時刻的源項力(,,)的變化規(guī)律：

(,,)=

(5)

其中，坐標原點位于發(fā)射極表面的中心，為發(fā)射極半徑，為超聲波源的頻率，為微元體積元內(nèi)的液體質(zhì)量，取體網(wǎng)格內(nèi)的液體質(zhì)量，為超聲波波源的振幅，為修正振幅的經(jīng)驗參數(shù)。在后文的驗證試驗中，計算結(jié)果對是比較敏感的，當發(fā)生變化時，計算結(jié)果主要存在兩點變化特性：(1)計算結(jié)果數(shù)值與試驗值會有差異；(2)計算結(jié)果的變化趨勢(分布曲線)與試驗值的變化趨勢有差異。為了保證上述兩點都能夠達到吻合，經(jīng)多次嘗試，取0.18與試驗結(jié)果吻合較好。

1.2 離散化處理和網(wǎng)格劃分

如圖2所示，計算域分為液體計算域和真空計算域，內(nèi)部淺綠色透明部分為液體計算域，表征發(fā)射極表面上的液體工質(zhì)區(qū)域，其它區(qū)域為真空區(qū)域。在液體計算域內(nèi)，上表面與真空交界設為自由振動邊界，只受液體內(nèi)部張力的影響；側(cè)周向表面與真空交界設為固定邊界，對振動傳遞進行完全彈性反射處理，同時約束整個液體內(nèi)部各點不發(fā)生徑向、周向位移振動；底面與發(fā)射極交界設為固定補償邊界，在液體有進出時自動進行補償或移除。

圖2 計算域內(nèi)的網(wǎng)格劃分Fig.2 Mesh generation in the computational domain

在進行空間離散和時間離散處理后，式(1)可轉(zhuǎn)化為：

(6)

其中,為非負整數(shù)，取=0,1,2,3,…。式(6)屬于顯式格式下的計算方法，相比隱式來說，計算量較高，但易于收斂。考慮本文算例的計算量相對較高，因此，使用顯式格式的方法比較實用。顯式格式下的時間步長應約束在式(7)的條件內(nèi)：

(7)

在第4節(jié)中，由于超聲波振頻在30～120 kHz范圍，駐波尺寸在10～100 μm量級，故空間步長Δ和Δ取1 μm。那么，Δ應不大于2.5×10s，本文取Δ=2×10s。然而，如果振頻有所降低，那么駐波尺寸會隨之升高，空間步長和時間步長也會隨之升高。

1.3 收斂條件

本文計算的輸入條件是從=0開始的，即整個液膜表面的駐波形成過程是從非穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)的收斂過程。那么，計算的收斂條件需要按照駐波到達穩(wěn)態(tài)時的狀態(tài)特點來確定。圖3給出一個典型工況(=0.2 m，=0.052 m，=1 kHz)下駐波的形成過程(在低頻時，駐波尺寸較大，展示效果較好)。

圖3給出了液膜表面在左右兩個振點擾動下逐漸形成穩(wěn)態(tài)駐波的衍化過程，主要可分為4個階段：

(1)早期干涉階段(圖3(a)～(b))。在液面被振點擾動的最初期，液面呈現(xiàn)少量波紋以及反射波紋，在此階段，波紋與反射波紋會進行較為簡單的單次或雙次干涉。

(2)振點波紋集中階段(圖3(c)～(e))。當液面出現(xiàn)大量反射的波紋后，在振點附近的高能量波紋與大量發(fā)射而來的波紋開始產(chǎn)生多次干涉的疊加過程，導致振點附近的波紋開始變得密集，并且這種密集特性對振點向外發(fā)出的波紋會有一定程度的影響。

(3)正交波紋形成階段(圖3(f)～(g))。當振點附近的波紋更加集中時，振點對外輻射的波紋開始逐漸受到影響，波紋開始由最初的環(huán)形波紋向正交直線波紋過渡，在這個過程中，正交波紋具有較大的振幅和能量，逐漸有少量的、不穩(wěn)定的駐波形成。

(4)駐波陣列形成階段(圖3(h))。在正交波紋區(qū)與振點附近的密集波紋區(qū)相互作用趨于穩(wěn)定時，密集波紋區(qū)將不再有大小和形態(tài)上的變化，且正交波紋區(qū)開始形成規(guī)則的、穩(wěn)定的駐波陣列，駐波的間距、高度和直徑等參數(shù)將趨于恒值。

圖3 不同時間步長下的液面波紋衍化Fig.3 The ripple evolution on the liquid film at different time steps

根據(jù)圖3的計算結(jié)果，駐波相關(guān)的尺寸參數(shù)(間距、高度和直徑)應該是收斂判定的核心因素：在駐波形成過程中，非穩(wěn)態(tài)駐波的間距、高度和直徑都會隨著時間步長推移而發(fā)生變化，當且僅當計算進入穩(wěn)態(tài)過程時，上述參數(shù)可趨于恒值。因此，穩(wěn)態(tài)的判定條件應基于上述參數(shù)是否能維持恒值。而在本文特定問題中，駐波高度是最容易判定收斂的幾何參數(shù)。原因為，所有駐波陣列中最高駐波的頂點高度(,,)就是整個計算域內(nèi)在方向的最大位移(,,)(計算域內(nèi)的所有液體必然低于最高駐波的頂點)，那么，只要針對(,,)進行恒值判斷即可：

(8)

其中:從兩個方面對(,,)進行恒值判斷：(1)當前時間步長的(Δ)與前一個時間步長的((-1)Δ)的計算殘差要小于0.01%，這表示當前時刻的(,,)幾乎不變；(2)當前時間步長的(Δ)與前100個時間步長中(,,)平均值的殘差要小于0.1%，這表示一段時間內(nèi)的(,,)都必須保持穩(wěn)恒狀態(tài)。

2 模型驗證

為驗證數(shù)值模型的計算精度，開展對UAET駐波陣列的測量試驗。試驗布置如圖4所示，以高速像機來對液膜表面的駐波形貌進行拍照捕捉，并測量駐波的相關(guān)尺寸參數(shù)，再以相同工況下駐波尺寸參數(shù)的計算值與試驗值進行對比，驗證模型的正確性。

圖4 駐波陣列測量試驗布置Fig.4 The test layout of standing wave measurement

高速相機的具體設備參數(shù)如下：型號規(guī)格Memrecam HX-6，傳感器分辨率2560×1920，光感度Colours ISO 10000，最大拍攝頻率65000 Hz，覆蓋波長250～1100 nm，但在此拍攝頻率下的分辨率較低(79×118)，而本文所采用的拍攝頻率為25000 Hz，對應分辨率為 384×576(該分辨率可以勉強獲得清晰的駐波形貌)。需要說明的是，在高速相機鏡頭前需添加鏡前玻璃片(50 mm×100 mm，透光率94%)，以防UAET直接噴出的液滴對鏡頭造成腐蝕或沉積影響，玻璃片與發(fā)射極的距離為5 cm。那么，需在此距離上對高速相機進行自標定，即利用相機對消失點的捕捉來完成相機的標定，計算相機的內(nèi)參矩陣、外參矩陣以及畸變參數(shù)。在標定之后，縱向有效焦距和橫向有效焦距都在2個像素內(nèi)波動，消失點的測量誤差在0.2%以內(nèi)，可基本滿足試驗需要。

驗證試驗所使用的UAET具有3種規(guī)格的超聲波發(fā)生器，振幅均為0.052 m，頻率如下：80 kHz、90 kHz和120 kHz。推力器的工質(zhì)為HO，發(fā)射極半徑為1 cm。

駐波相關(guān)尺寸參數(shù)有3個：兩相鄰駐波間距(定義為：兩駐波中心距離)、駐波液錐的最大底面半徑以及駐波高度。然而，就目前的試驗條件而言，只有駐波間距是可以準確測量的尺寸參數(shù)。在駐波的周期性變化中，駐波液錐的底面半徑是隨著時間而發(fā)生變化的，而通過高速相機捕捉到的時刻未必是駐波達到波峰的時刻，只有每次捕捉到的駐波都處于波峰狀態(tài)時，所對應的駐波底面半徑才是最大半徑，因而照片中所示的駐波液錐半徑不能作為驗證依據(jù)；此外，在側(cè)面拍攝駐波高度的過程中，由于側(cè)面霧化液滴逸出情況比俯視方向的液滴逸出情況更加惡劣，目前為止，本實驗室尚無法拍攝到清晰的駐波高度照片，因而對駐波高度的驗證也不可行。

關(guān)于駐波間距的試驗測量數(shù)據(jù)與相應的計算結(jié)果的對比如圖5所示。在駐波間距測量的照片中，任意選擇5組駐波進行測距(每組包含11個相鄰駐波，共10個駐波間距)，每組測量結(jié)果除以10，獲得5組結(jié)果后再取平均值，以平均值作為最終的駐波間距測量結(jié)果與計算值對比，具體測距方法可參考圖5(a)、(c)、(e)。根據(jù)不同超聲頻率工況下的試驗與計算結(jié)果對比：在80 kHz時，計算誤差在5.35%；在90 kHz時，計算誤差在3.46%；在120 kHz時，計算誤差在4.72%。

圖5 駐波間距的拍攝照片與計算云圖對比Fig.5 Comparison of the photographed photos and calculated contours of standing wave intervals

誤差產(chǎn)生原因主要在于兩個方面：(1)測量儀器、方法的誤差；(2)計算模型的誤差。首先，就測量儀器而言，由消失點所產(chǎn)生的誤差在0.2%，由拍攝像素不清晰所產(chǎn)生的誤差在2像素(轉(zhuǎn)化為圖中距離為0.34 μm)，但在本文測量方法“10個為一組進行成組測量”下，每測10個間距誤差為0.34 μm，那么每個間距的誤差在0.034 μm，相對誤差在0.94%～1.01%之間。那么，試驗所帶來的最大誤差約為1.21%。

綜上，本模型的最大誤差約6.55% (5.34%+1.21%)，且計算值與試驗值在變化趨勢上一致，在一定程度上可證明后文計算結(jié)果的有效性，以及表征了駐波相關(guān)參數(shù)的計算誤差范圍。

需要說明的是，在當前試驗條件下，駐波的高度和半徑是無法直接通過試驗進行定量驗證的，只能通過駐波間距的驗證來間接證明高度和半徑計算的正確性，而在圖5的照片/云圖對比中，可以看出計算結(jié)果中的駐波的高度、半徑的大小變化趨勢與試驗值基本一致，這可以從定性角度說明高度和半徑計算的正確性。當然，在未來試驗條件達到一定水平時，將再次對高度和半徑進行驗證。

3 計算結(jié)果與分析

本節(jié)將針對波源頻率、振幅對駐波尺寸的影響規(guī)律和機理進行研究。計算輸入條件：波源振幅取0.12～0.8 m(目前能夠滿足UAET內(nèi)部空間尺寸的振源的最大振幅在0.72 m以下)；波源頻率取20 kHz～2.4 MHz；發(fā)射極半徑1 cm。

3.1 波源頻率

在本節(jié)中，波源振幅取固定值0.52 m。駐波間距關(guān)于波源頻率的變化規(guī)律如圖6所示。隨著超聲波源頻率的升高，駐波間距呈現(xiàn)出逐漸降低的趨勢，曲線呈Rational函數(shù)分布。圖7針對不同頻率下波紋的傳輸速度進行了對比：波紋的傳輸速度幾乎不會隨著頻率的升高而發(fā)生變化，從數(shù)值計算的角度來看，在液膜表面振動的微分方程(式(2))中，波源頻率與波速沒有產(chǎn)生影響，因而，根據(jù)經(jīng)典的波速與波長的關(guān)系=(為波長，為波速，為波的頻率)，隨著頻率的升高，確實將導致波長(即駐波間距)降低。

圖6 駐波間距隨波源頻率的分布曲線Fig.6 The curve of the standing wave interval as a function of the wave source frequency

圖7 波紋傳輸速度隨波源頻率的分布曲線Fig.7 The curve of the wave velocity with respect to the wave source frequency

駐波高度和底面半徑隨波源頻率的變化規(guī)律見圖8，隨著頻率升高，駐波高度和半徑均呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢，服從指數(shù)函數(shù)分布。由于駐波是由若干波紋進行干涉疊加而形成的，因此駐波高度與駐波半徑應和單個波紋的形成過程有關(guān)。圖11給出不同頻率下液膜表面形成一個波紋的所需時間、形成過程中令波紋上升的平均應力以及波紋截面輪廓。隨著波源頻率的升高，形成波紋的平均應力幾乎不變，但所需時間會降低，導致單個波紋的整體尺寸減小，進而導致波紋疊加后的駐波的尺寸減小。

圖8 駐波尺寸隨波源頻率的變化規(guī)律Fig.8 Variation of the standing wave sizes with respect to the wave source frequency

3.2 波源振幅

在本節(jié)中，波源頻率取固定值120 kHz。駐波間距關(guān)于振幅的依變規(guī)律如圖9所示，根據(jù)計算結(jié)果，隨振幅升高，駐波間距幾乎不發(fā)生變化。據(jù)波速計算公式=，波紋波長(即駐波間距)與振幅無相互作用關(guān)系，因此，調(diào)整波源振幅幾乎不影響駐波間距。

圖9 駐波間距隨波源振幅的分布曲線Fig.9 The curve of the standing wave interval as a function of the wave source amplitude

駐波高度和半徑隨振幅的變化規(guī)律如圖10所示，隨振幅升高，駐波高度和半徑均呈現(xiàn)逐漸升高的趨勢，并服從指數(shù)函數(shù)分布。這里同樣給出不同振幅下液膜表面制造一個波紋的所需時間及波紋截面輪廓，如圖12所示。隨著波源振幅的升高，波紋的形成時間幾乎不變，但形成波紋的平均應力在升高，導致單個波紋整體尺寸升高，進而駐波尺寸升高。

圖10 駐波尺寸隨波源振幅的變化規(guī)律Fig.10 Variation of the standing wave sizes with respect to the wave source amplitude

圖11 形成一個波紋的所需時間、平均應力以及波紋輪廓(不同頻率)Fig.11 Time and average stress required to form a wave and wave profiles (at different frequencies)

圖12 形成一個波紋的所需時間、平均應力以及波紋輪廓(不同振幅)Fig.12 Time and average stress required to form a wave and wave profiles (at different amplitudes)

綜上，波源頻率和振幅對駐波尺寸的影響機制是不同的，頻率影響駐波尺寸主要通過影響形成單個波紋的時間，而振幅影響駐波尺寸主要通過影響形成單個波紋的平均應力。值得注意的是，這兩種機制對波紋輪廓的影響也有不同：盡管提高頻率或降低振幅都可以減小波紋的整體尺寸，但不同振幅所對應的波紋截面幾何形狀服從圖形相似(在視覺上呈現(xiàn)按比例的放大或縮小)，并且可以保持駐波的細長構(gòu)形；而頻率對波紋截面輪廓的改變則不服從圖形相似規(guī)律，且隨著頻率升高，駐波構(gòu)形逐漸從“細長”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍珜挕?。至此，可得到一個對液滴發(fā)射性能提高的優(yōu)化思路：若要在保持細長駐波構(gòu)形(細長構(gòu)形的駐波具有更高的液滴發(fā)射能力)的基礎(chǔ)上提高液滴發(fā)射能力，最好的調(diào)整方式則是提高波源振幅。

4 結(jié) 論

超聲電噴推力器的波源頻率、振幅對駐波形成過程以及尺寸特性存在顯著影響，通過數(shù)值方法研究，獲得波源頻率與振幅對駐波三個相關(guān)尺寸的影響規(guī)律：(1)隨著波源頻率升高，駐波間距降低，降低趨勢服從Rational函數(shù)分布(見圖6)，駐波高度和半徑降低，降低趨勢服從指數(shù)函數(shù)分布(見圖8)；(2)波源振幅對駐波間距幾乎不產(chǎn)生影響，但隨著振幅升高，駐波高度和半徑均升高，升高趨勢服從無理函數(shù)分布(見圖10)。

同時，通過計算結(jié)果，揭示波源頻率和振幅對駐波尺寸特性的影響機制不同：頻率主要通過改變波紋形成的所需時間；而振幅主要通過改變波紋形成的平均應力，這兩種不同機制會影響駐波構(gòu)形的變化規(guī)律，例如，不同振幅下的駐波變化可保持“細長”構(gòu)形。